课件12张PPT。第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率25.1.1 随机事件知识点一知识点二知识点一确定性事件、随机事件
在一定条件下,有些事件必然发生,这样的事件称为必然事件.相反地,有些事件必然不会发生,这样的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件统称确定性事件.
在一定条件下,可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件.
名师解读:理解确定性事件与随机事件时:
(1)确定性事件是由现象本身的特殊性决定的,确定性事件是任何人都改变不了的事实;
(2)随机现象发生与否具有偶然性.不能因为某现象一次发生了就把它说成确定性,也不要某次试验不发生就说成不可能发生;
(3)有些随机现象发生的可能性非常大,也有的随机现象发生的可能性非常小,但随机现象发生的可能性再大也不会成为必然事件,再小也不能成为不可能事件.知识点一知识点二例1 下列事件中,确定性事件是( )
A.掷一枚一元的硬币,有币值的一面朝上
B.任意买一张福利彩票,中了一等奖
C.袋子里装有除颜色外其余都相同的红球3个、白球1个,从中任意摸出一球恰是红球
D.在地球上,上抛出去的篮球会下落
解析:根据确定性事件和随机事件的概念分析:A,掷一枚一元的硬币,有币值的一面朝上是随机事件,故本选项错误;B,任意买一张福利彩票,中了一等奖是随机事件,故本选项错误;C,袋子里装有除颜色外其余都相同的红球3个、白球1个,从中任意摸出一球恰是红球是随机事件,故本选项错误;D,在地球上,上抛出去的篮球会下落是必然事件,故本选项正确.
答案:D知识点一知识点二解答这类问题,结合生活经验和事件发生的情况进行判断. 知识点一知识点二知识点二随机事件发生的可能性大小
不确定性事件发生的可能性的大小由它在整体问题中所占的比例的大小来确定,它占整体的比例大,则发生的可能性就大,占整体的比例小,则发生的可能性就小.知识点一知识点二名师解读:(1)“不可能发生”就是每次都没有机会发生,或说发生的机会是0.
(2)“必然发生”就是每次一定发生,或说发生的机会是100%.
(3)“可能发生”是指有时会发生,有时不会发生,或说发生的机会介于0和100%之间.
(4)“不太可能发生”是指发生的机会很小,但不是0,所以它不等于“不可能”.
(5)“很有可能发生”是指发生的机会很大,但不是100%.它不等于“必然发生”.知识点一知识点二例2 有一个均匀的正二十面体形状的骰子,其中一个面标有“1”,两个面标有“2”,三个面标有“3”,四个面标有“4”,五个面标有“5”,其余的面标有“6”,将这个骰子掷出后,标有“6”的面朝上的可能性是( )
解析:标有“6”的面数为5,共有20个面,故标有“6”的面朝上的可能性为 .
答案:C拓展点拓展点随机事件的几个类型
例题 从一副扑克牌中抽出4张红桃、3张梅花、2张黑桃放在一起洗匀,从中一次抽出8张牌,恰好有红桃、梅花、黑桃三种牌都被抽到,这个事件是( )
A.必然事件 B.随机事件
C.不可能事件 D.以上都不对
解析:可以分情况研究:(1)若这8张牌中抽出了全部的红桃与梅花共7张,一定还有1张黑桃;(2)若抽出了全部的梅花与黑桃共5张,则还会有3张红桃;(3)若抽出了全部的红桃与黑桃共6张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.
答案:A拓展点【点评】本题考查的是可能性大小的判断,解决这类题目要注意具体情况具体对待.一般地,必然事件的可能性大小为1,不可能事件发生的可能性大小为0,随机事件发生的可能性大小在0至1之间.拓展点解答这类问题,要注意分情况讨论,不要被表面现象所迷惑. 课件17张PPT。25.1.2 概率知识点一知识点二知识点一概率的含义
一般地,对应随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率.
名师解读:对于通过试验得出的概率,概率是大量试验的结果,对具体的几次试验不一定能体现出这种规律性的结果.必然事件的概率为100%,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为P(0
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B.“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖
D.在同一年出生的367名学生中,至少有两人的生日是同一天知识点一知识点二解析:根据概率的意义分析各个选项,找到正确选项即可.A,“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性,故错误;B,“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛一枚硬币正面朝上与反面朝上的机会是一样的,故错误;C,“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故错误;D,在同一年出生的367名学生,由于一年中至多有366天,因而至少有两人的生日是同一天.
答案:D知识点一知识点二概率只是反映事件发生机会的大小.概率只要小于1,再大也不一定发生,只要大于0,再小也有可能发生.概率是大量试验的结果,不受其中一次或几次的影响而变化. 知识点一知识点二知识点二概率的求法
一般地,如果一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率 .
名师解读:求一个事件的概率,就是求该随机事件发生的可能性的大小.知识点一知识点二例2 一个布袋中有8个红球和16个白球,它们除颜色外都相同.
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率;
(2)现从袋中取走若干个白球,并放入相同数量的红球.搅拌均匀后,要使从袋中摸出一个球是红球的概率是 ,问取走了多少个白球?(要求通过列式或列方程解答)知识点一知识点二分析:根据概率的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率.知识点一知识点二对于简单的题目直接套用公式即可,求一步试验事件的概率是概率计算中最常见、最简单的一种题型,只要通过列举法找出所有的等可能结果,再从中确定所求事件的结果数,利用概率计算公式即可解决. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一“古典型”概率
例1 从1,2,3,4这四个数字中,任意抽取两个不同数字组成一个两位数,则这个两位数能被3整除的概率是( )
解析:列举出所有情况,看能被3整除的数的情况占总情况的多少即可.
第一个数字有4种选择,第二个数字有3种选择,易得共有4×3=12种可能,而被3整除的有4种可能(12,21,24,42),所以任意抽取两个数字组成两位数,则这个两位数被3整除的概率为 .
答案:A拓展点一拓展点二拓展点三解决古典型概率问题,直接根据“一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= ”计算即可. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二“几何型”概率
例2 如图是两个可以自由转动的转盘,转盘被等分成若干个扇形,转动转盘,通过多次试验,转盘停止后,指针指向黄色区域的机会分别是( )拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三几何概型的求解与古典概型的求解思路是一样的,都属于“比例解法”,即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度(面积或体积)”与“试验的基本事件所占总长度(或面积或体积)”之比来计算. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三概率的应用
例3 小亮看到路边上有人摆摊玩“有奖掷币”游戏,规则是:交2元钱可以玩一次掷硬币游戏,每次同时掷两枚硬币,如果出现两枚硬币正面朝上,奖金5元;如果是其他情况,则没有奖金(每枚硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况).小亮拿不定主意究竟是玩还是不玩,请同学们帮帮忙!
(1)求出中奖的概率;
(2)如果有100人,每人玩一次这种游戏,大约有几人中奖?奖金约是多少元?摆摊者约获利多少元?
(3)通过以上“有奖”游戏,你从中可得到什么启示?拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数;二者的比值就是其发生的概率的大小;
(2)100乘以相应概率即为获奖人数,获奖人数乘以5即为奖金数,100×2-25×5即为获利钱数;
(3)只要积极向上有理即可.
解:(1)掷两枚硬币出现的情况是(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反),故出现两枚硬币都朝上的概率即中奖的概率是 ;
(2)由(1)可得中奖的概率是 ,则如果有100人,每人玩一次这种游戏,大约有100× =25(人)中奖,奖金约25×5=125(元),摆摊者约获利为100×2-125=75(元);
(3)谨慎参加类似的活动.(只要合理就行).拓展点一拓展点二拓展点三解决这类实际问题,一般通过计算概率,利用概率的情况进行说明.本题的第(3)问的答案不唯一,只要具有积极意义即可. 课件23张PPT。25.2 用列举法求概率知识点一知识点二知识点三知识点一用列举法求概率
在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们就可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率.
名师解读:先列举出所有可能出现的结果数,再一一列举出所求的每一件事可能发生的结果数,然后代入概率公式进行计算.知识点一知识点二知识点三例1 任意掷一枚均匀的硬币两次,则两次都不是正面朝上的概率是( )
解析:首先利用列举法可得任意掷一枚均匀的硬币两次,等可能的结果有:正正,正反,反正,反反,∴两次都不是正面朝上的概率是 .
答案:B知识点一知识点二知识点三用列举法求概率适合于结果总数较少的问题,注意列举出所有可能出现的情况时,不要出现漏掉其中的一部分的情况. 知识点一知识点二知识点三知识点二用列表法求概率
列表法就是用表格将所有的情况全部用表格列出,找出其中可能发生的情况,然后利用概率公式计算即可.
名师解读:列表法适合于各种情况的求概率的问题,一般用于求含有两个变量的事件的概率.知识点一知识点二知识点三例2 从一副扑克牌中取出的两组牌,分别是黑桃1,2,3,4和方块1,2,3,4,将它们背面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?
分析:由于摸出黑桃的结果有4种,摸出方片的结果也有4种,所以总共有16种情况,比较复杂,我们可以列表表示,从中找出和为5的所有情况,即可以求出要求的概率.知识点一知识点二知识点三解:方法一:用下表列举所有可能得到的牌面数字之和: 从上表可知,共有16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共出现4次,
因此牌面数字之和等于5的概率为 .知识点一知识点二知识点三方法二:由于摸出黑桃的结果有4种,摸出方片的结果也有4种,所以总共有16种情况,其中和为5的情况有“黑桃1方片4,黑桃4方片1,黑桃2方片3,黑桃3方片2”四种情况,所以牌面数字之和为5的概率为 .知识点一知识点二知识点三当结果总数比较少时,一般用列举法比较方便;当结果总数比较多时,易采用列表法. 知识点一知识点二知识点三知识点三用树状图法求概率
树状图法就是通过树状图把所有等可能事件的结果表示出来,看起来一目了然,以便能求得事件的概率.
名师解读:树状图法适用于求两步及两步以上事件的概率,尤其是事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时,用这种方法求概率最有效.知识点一知识点二知识点三例3 书架上有两套同样的教材,每套分上、下两册,在这四册教材中随机抽取两册,恰好组成一套教材的机会是( )
分析:首先根据题意画树状图,然后根据树状图求得所有等可能的结果与恰好组成一套教材的情况数,再根据概率公式求解即可求得答案.知识点一知识点二知识点三解:画树状图如图所示,
由图可知一共有12种等可能的结果,恰好组成一套教材的有4情况,∴恰好组成一套教材的机会是 .
答案:B知识点一知识点二知识点三注意列表法与树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果,适合于两步及两步以上事件的概率的求解. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一灵活选用方法求随机事件的概率
例1 4张背面图案完全相同的卡片A,B,C,D,其正面分别画有不同的图案(如图所示),现将这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张,放回洗匀再摸出一张.
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸出卡片所有可能的结果;(卡片用A,B,C,D表示)
(2)求摸出的两张卡片正面图案都是中心对称图形的概率.拓展点一拓展点二拓展点三分析:(1)由于所有等可能的情况总数有限,所以可以采用任何方法;
(2)中心对称图形是绕某点旋转180°后能够和原来的图形完全重合,那么B,D是中心对称图形,看所求的情况占总情况的多少即可.
解:(1)画树状图如下:
列表如下:拓展点一拓展点二拓展点三(2)由图可知只有卡片B,D才是中心对称图形.所有可能的结果有16种,其中满足摸出的两张卡片图形都是中心对称图形(记为事件A)有4种,即(B,B),(B,D),(D,B),(D,D).拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,选择哪种方法,主要根据结果总数灵活选择,如果结果总数较小时,易用列举法(枚举法);结果总数较多时,易采用列表法;当事件是三步或三步以上时,易采用“树状图法”. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二摸球“放回”与“不放回”的概率
例2 在一个不透明的袋子中装有2个红球,1个白球,它们除颜色外其余均相同,随机从中摸出一球,记录下颜色后将它放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一球,则
(1)两次都摸到红球的概率是多少?
(2)两次摸到的球一红一白的概率是多少?
分析:(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况,再利用概率公式即可求得答案;
(2)首先由(1)求得两次摸到的球一红一白的情况,再利用概率公式即可求得答案.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)画树状图如下:
∵共有9种等可能的结果,两次都摸到红球的有4种情况,∴两次都摸到红球的概率是 .
(2)∵两次摸到的球一红一白的有4种情况,∴两次摸到的球一红一白的概率是 .拓展点一拓展点二拓展点三列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意是放回试验还是不放回试验. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三游戏的公平性
例3 一袋装有四个上面分别标有数字1,2,3,4,除数字外其他完全相同的小球.摇匀后,甲从中任意抽取1个,记下数字后放回摇匀,乙从中任意抽一个,记下数字,然后把这两个数相加(每次抽取前均看不清小球).
(1)请用列表或树状图的方法求两数和为3的概率;
(2)甲与乙按上述方法做游戏,当两数之和为3时,甲胜,反之乙胜.若甲胜一次得9分,那么乙胜一次得多少分,这个游戏对双方才公平?
分析:(1)本题考查概率问题中的公平性问题,解决本题的关键是计算出各种情况的概率,然后比较即可.
(2)根据题意可使用列表法求参与者的概率.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三在其他条件相同时,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平. 课件8张PPT。25.3 用频率估计概率知识点知识点用频率估计概率
对于一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.因此我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.知识点名师解读:频率与概率的区别与联系
1.联系:
(1)事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数;
(2)当试验次数无限增大时,事件发生的频率会逐渐稳定于概率附近,概率的值可能是频率的某个具体值,也可能不是频率的具体的某个值;
(3)频率具有稳定性,概率具有确定性.
2.区别:(1)频率反映了随机事件发生的频繁程度;概率反映了随机事件发生的可能性的大小;
(2)频率具有随机性,是近似值,能近似地反映事件出现可能性的大小;概率是理论值,是由事件的本质所决定的,它能精确地反映事件发生可能性的大小.知识点例题 小明练习射击,共射击60次,其中有38次击中靶子,由此可估计,小明射击一次击中靶子的概率是( )
A.38% B.60%
C.约63% D.无法确定
解析:根据频率=频数÷数据总数计算.
∵小明练习射击,共射击60次,其中有38次击中靶子,
∴射中靶子的频率 ,
故小明射击一次击中靶子的概率约是63%.
答案:C知识点大量反复试验下频率的稳定值即概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 拓展点拓展点频率估计概率的实际应用
例题 袋中有红球、黄球、蓝球、白球若干个,小刚又放入5个黑球后,小颖通过多次摸球试验后,发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25%,30%,30%,10%,5%,试估计袋中红球、黄球、蓝球及白球各有多少个?
分析:在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手求解.拓展点解:小刚放入5个黑球后,小颖发现摸到黑球的频率为5%,则可以由此估计袋中共有球 =100(个),
说明此时袋中可能有100个球(包括5个黑球),则有红球100×25%=25(个),
黄球100×30%=30(个),蓝球100×30%=30(个),白球100×10%=10(个).拓展点解答此题关键是要先计算出口袋中黑球的个数. 课件14张PPT。章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题一随机事件和确定事件
例1 下列事件是随机事件的是( )
A.晴天的早晨,太阳从东方升起
B.测量某天的最低气温,结果为-150 ℃
C.打开数学课本时刚好翻到第60页
D.在一次体育考试中,小王跑100米用了4秒钟
解析:根据确定性事件和随机事件的定义对各选项进行判断:A,晴天的早晨,太阳从东方升起,它是必然事件;B,测量某天的最低气温,结果为-150 ℃,它是不可能事件;C,打开数学课本时刚好翻到第60页,它是随机事件;D,在一次体育考试中,小王跑100米用了4秒,它是不可能事件.
答案:C专题一专题二专题三专题四解答这类问题可以结合生活实际和事件的概率的大小进行判断,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率在0和1之间专题一专题二专题三专题四专题二用树状图法或列表法求概率
例2 有2个信封A,B,信封A装有四张卡片,上面分别写有1,2,3,4,信封B装有三张卡片,上面分别写有5,6,7,每张卡片除了数字没有任何区别.从这两个信封中随机抽取两张卡片.
(1)请你用列表法或画树状图的方法描述所有可能的结果;
(2)把卡片上的两个数相加,求“得到的和是3的倍数”的概率.
分析:(1)利用列表法展示所有12种等可能性的结果数;
(2)找出所得的两个数字之和为3的倍数的结果数,然后根据概率公式计算.专题一专题二专题三专题四解:(1)列表如下:
由上表可知共有12种不同结果.
(2)由(1)得到共有12种等可能性的结果,其中“所得的两个数字之和为3的倍数”(记为事件A)的结果有4个,所以所求的概率
专题一专题二专题三专题四解答这类问题,一般利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数,再找出某事件所占有的结果数,然后根据概率公式计算即可. 专题一专题二专题三专题四专题三用频率估计概率
例3 某校篮球队进行篮球投篮训练,下表是某队员投篮的统计结果.根据上表,你估计该队员一次投篮命中的概率大约是( )
A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.72专题一专题二专题三专题四解析:利用频率估计概率时,要进行大量试验,试验次数越多,用频率估计概率就越精确.
由表可知,故当投篮次数为200次时,其频率最具有代表性,据此估计该队员一次投篮命中的概率大约是0.72.
答案:D专题一专题二专题三专题四解答利用频率估计概率的问题,试验次数越多,得到的概率估计值越精确. 专题一专题二专题三专题四专题四概率的实际应用
例4 某校举办艺术节,其中A班和B班的节目总成绩并列第一,学校决定从A,B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛,B班班长想法是:用八张扑克牌,将数字为1,2,3,5的四张牌给A班班长,将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行:A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,如果和为偶数,则A班去;如果和为奇数,则B班去.
(1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率.
(2)B班班长设计的游戏规则公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你设计一种公平的游戏规则.专题一专题二专题三专题四分析:(1)利用列表法得出所有可能结果,即可求出A班去参赛的概率;
(2)根据(1)中所求数据即可得出A班去的概率,以及B班去的概率,进而修改规则得出答案.
解:(1)所有可能的结果如下表.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四判断游戏是否公平,题型有二,一是直接由概率来加以判断,若概率相等,则游戏公平;二是计算每次游戏的平均得分,从而进行判断,若得分相等,则游戏公平.因此,第(2)小题规则修改不唯一,只要使得A,B两班的概率相等即可.