3.3 探索与表达规律培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．已知正六边形ABCDEF (每条边都相等)在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E 所对应的数为0.连续翻转2000次后，在数轴上1998这个数对应( )
A．点A B．点D C．点E D．点F
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：翻转一次后，点F不变，点E对应的数字为0；翻转二次后，点E不变，点D对应的数字为1；翻转三次后，点D不变，点C对应的数字为2；翻转四次后，点C不变，点B对应的数字为3；翻转五次后，点B不变，点A对应的数字为4；翻转六次后，点A不变，点F对应的数字为5，即每翻转6次记为一轮，每个点对应的数字增加6，则连续翻转2000次后，因为，所以从第333轮开始第二次翻转：点E对应的数字为：.
故答案为：C .
【分析】解题的关键是寻找数字变化规律，即每转动六次，每个顶点对应的数字增加6，可以把这6次记作一轮，然后用总次数除以6，余数即为新一轮操作次数。
2．（2025七上·温州期中）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如： 11，43=13+15+17+19，…。若m3分裂后，其中有一个奇数是2 025，则m 的值是 （ )
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意，得：
23可“分裂”成2个连续奇数的和，其中最小的奇数是1×2+1=3，最大的奇数是2×3-1=5；
33可“分裂”成3个连续奇数的和，其中最小的奇数是2×3+1=7，最大的奇数是3×4-1=12；
43可“分裂”成4个连续奇数的和，其中最小的奇数是3×4+1=13，最大的奇数是4×5-1=19；
……
m3可“分裂”成m个连续奇数的和，其中最小的奇数是(m-1)m+1，最大的奇数是m(m+1)-1，
当m=44时，其中最小的奇数是(44-1)×44+1=1891，最大的奇数是44×(44+1)-1=1979；
当m=45时，其中最小的奇数是(45-1)×45+1=1891，最大的奇数是45×(45+1)-1=2069，
∵1891<2025<2069，
∴m=45符合题意.
故选：B.
【分析】由给出的23，33，43的三个式子，可以发现最小和最大的奇数存在规律，依此分析解答即可.
3．（2024七上·重庆市月考）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（ ）
A． B． C．510 D．512
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察所给图形可知，
左上角的数字依次为：，，，，…，
所以第n个图形中左上角的数可表示为：．
右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，
所以第n个图形中右上角的数字可表示为：．
下方的数字为同一个图形中左上角数字的，
所以第n个图形中下方的数字可表示为：．
当时，
，即a=1024，
，即b=1026，
，即c=512
所以．
故答案为：B．
【分析】观察各个图形三个位置的数发现：左上角的数，符号为奇负偶正，数的绝对值是2的幂，故第n个图形中左上角的数可表示为(-2)n，右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，第n个图形中右上角的数字可表示为(-2)n+2，下方的数字为同一个图形中左上角数字的一半，故第n个图形中下方的数字可表示为：，据此将n=10代入算出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入待求式子按有理数减法法则计算可得答案.
4．（2024七上·南宁期中）如图，某点从数轴上的A点出发，第1次向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动2个单位长度至C点，第3次从C点向右移动3个单位长度至D点，第4次从D点向左移动4个单位长度至E点，依此类推，经过n次移动后该点到原点的距离为50个单位长度，则符合条件的n的和为（ ）
A．205 B．202 C．199 D．196
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：第1次点A向右移动1个单位长度至点B，则B表示的数，；
第2次从点B向左移动2个单位长度至点C，则C表示的数为；
第3次从点C向右移动3个单位长度至点D，则D表示的数为；
第4次从点D向左移动4个单位长度至点E，则点E表示的数为…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：，
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：，
当移动次数为奇数时，，
解得：，
当移动次数为偶数时，，
解得：．
，
故选：C．
【分析】本题考查了数轴，以及数轴上点的坐标变化和平移规律，根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，得到点到原点的距离，结合对奇数项、偶数项分别探究，的得出找出其中的规律，写出相应的表达式，进而得到答案．
5．（2024七上·仙居期末）已知，依此类推，则等于（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
按照上面代数式呈现的规律可知，每3项循环一次，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据找到规律为每3项循环一次，，即可得解．
6．（2024七上·新昌期末）如图，点O在直线AB上，点，，，…，在射线OA上，点，，，…在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从，按此规律，则动点M到达点处所需时间为（ ）秒．
A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：所需时间为2+3π秒；所需时间为4+10π秒；所需时间为6+21π秒；所需时间为秒，达所需时间为即10+55π秒
故答案为：A
【分析】找规律，先找到偶数对应所用的时间，得到规律，再代入10得到答案。
7．（2024七上·深圳期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（ ）
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ①②③④ …… 继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：．
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
=1-+=1-= .
故答案为：B.
【分析】根据已知材料将原式化为1-+，再计算即可.
8．（2022七上·芜湖期中）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（ ）
A．9801 B．10000 C．10201 D．10500
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
则
故答案为：B．
【分析】先求出规律，所以，再计算即可。
二、填空题
9． x，y，z都是有理数，且xyz<0，x+y+z>0.若 ），则 .
【答案】-1
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵ xyz<0，x+y+z>0.
∴3个有理数ェ，y，z中必有2个正数，1个负数，于是，，的值中有2个1，1个-1，
∵，
∴a=-1，
∴，
∵，
，
∴
=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据xyz<0，x+y+z>0，可知x，y，z中两正一负，根据有理数的除法和绝对值，即可得，，的值中有2个1，1个-1，进而得a=-1，再根据-1的偶次方为1，奇次方为-1，即可求的值.
10．（2024七上·武侯期中）十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，……，按照这个规律，在第 层第 个数（从左往右数）．
【答案】10；253
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设在第层，则第层的与连线的数为：，层与之连线的数为：；…，则在第层
由图可知，
从第3层至第8层数字都是向左边发散，第9，10层的数字是向右发散，即：
的左边有1个数，
的左边有3个数，
的左边有7个数，
的左边有15个数，
的左边有31个数，
的左边有63个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多1个数，的左边有个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多2个数，的左边有个数，
和是在同一层，且在的左侧，
从左往右数，是第个数，
故答案为：10；253.
【分析】由图可知，向右发散的都是真分数，规律为，向左发散的都是假分数，规律是，据此逆推可得所在的层数，再根据每数的发散方向及左侧数的数量规律" 从到的过程中，每个逆向生长的真分数左侧的分数数量依次增加 确定其在该层的具体位置即可.
11．（2024七上·平湖期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是 （用含的代数式表达）．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个位上的数字的平方，即中的是中的平方，中的是中的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用填补；第二行从左向右是这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之积的倍，即是中，乘积为两位的填中间两个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
12．已知n个数x1，x2，…， xn，每个数只能取0，1，-1中的一个.若 则 的值为 .
【答案】2016
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：2017=4×504+1，
∴原式x1+x2+...+xn=2016
故答案为：2016.
【分析】根据已知条件，分析xi取值为0、-1、1时的特点，通过x1+x2+...+xn=2016，确定1和-1的个数，进而求出答案.
13．（2025七上·新昌期中） 如图，定义一种对正整数n的 “” 运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）。 两种运算交替重复进行。例如，取，则有如图所示的运算：
若5，则第2025次“” 运算的结果是 ．
【答案】4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】
第1次运算：
是奇数
第2次运算：
是偶数
第3次运算：
是奇数
第4次运算：
是偶数
即从第2次运算开始每2次一个循环，运算结果为1和4交替出现
第2025次“F”运算的结果为：4
故正确答案为：4
【分析】先分别计算出前4次的运算结果，可发现从第2次运算开始每2次一个循环，则用2025减去1再除以2取余得余数为0，则第2025次“F”运算的结果为4.
三、解答题
14． 研究下列式子，你能发现什么规律？
第1个式子：；第2个式子：；第3个式子：；…
（1）第4个式子是 ；
（2）请用含为正整数的式子表示你发现的规律；
（3）请用你所发现的规律进行计算：.
【答案】（1）
（2）解：由题易知，第个式子：
（3）解：根据（2）的结论，令，得，
则
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：（1）观察式子可以发现等式左边是两个多项式的积，第一个多项多为(x-1)，第二个多项式在(x+1)的基础上，依次增加xn，等式右边为x(n+1)-1，可以确定第4个式子，即n=4时，式子为：；
故答案为：；
【分析】（1）观察题目给出的三个式子可以发现等式左侧和右侧的规律，然后可以确定第四个式子；
（2）在（1）的基础上归纳出第n个式的规律即可；
（3）根据（2）的结论，令，，计算化简即可.
15．（2024七上·铜陵期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式．
（2）结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式．
（3）通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：根据题中所给出的规律可知：，
故答案为：；
（2）解：由图示可知点的总数是，所以，
故答案为：；
（3）解：由（1）（2）可知，
故答案为：．
【分析】（1）根据前几幅图中图形的数量与序号的关系可得规律，再求解即可；
（2）结合图形可得等量关系式；
（3）根据前几幅图中图形的数量与序号的关系可得规律，再求解即可.
（1）解：根据题中所给出的规律可知：，
故答案为：；
（2）解：由图示可知点的总数是，所以，
故答案为：；
（3）解：由（1）（2）可知，
故答案为：．
16．（2024七上·金东期中）设一列数，，，…，中，对于，均有（s是常数），已知，，，．
（1）直接写出下列数中相等的数：，，，，，，，，．
（2）求出s和t的值．
（3）计算：
【答案】（1）答案为：，，；
（2）解：由题意，得：，
即，
解得：；
∴，，
（3）解：原式
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
【分析】（1）由得，同理可求：，，；
（2）由（1）中规律得，即可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）由（1）中规律得，代入数值即可求解．
（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
（2）解：由题意，得：，即，
解得：；
∴，，
；
（3）解：原式．
17．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……
（1）试利用图形揭示的规律计算：＝ ▲ ．
并使用代数方法证明你的结论．
（2）请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形．
【答案】（1）解：，设 ，
，
，即，
；
（2）解：如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去，
则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ，
的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ，
；
故答案为：.
【分析】（1）设①，则
，利用②-①求出S即可；
（2）将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去即可.
18．（2023七上·宁远期中）大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的结论是，（n是正整数）．
现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式，并且填空：
，
，
，
① ▲ ，…
将前两个等式的两边相加，可以得到．
将三个等式的两边相加，可以得．
根据以上知识完成填空：
②计算： ▲ ；
③计算： ▲ ；
④计算： ▲ ；
⑤依据上面的材料，试计算：；
⑥猜想： ▲ ．
【答案】解：①
②
③
④
⑤∵，
∴，
，
，
⑥
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①由题意得，，
故答案为：；
②由题意得，
故答案为：；
③由②的规律得，
，
故答案为：；
④由②③规律得，
，
故答案为：；
⑤∵，
∴，
，
，
⑥由⑤的规律可得，
；
故答案为：
【分析】根据探索数与式的规律的方法求解。规律是：等式的左边是两个连续正整数的积，等式的右边是这两个正整数与后一个正整数的积减去这两个正整数与前一个正整数的积，它们的差的三分之一。
①根据观察得到的规律直接写；
②按照前面的规律进行解答；
③ 按照前面的规律进行解答；
④ 根据②③的结果进行求解；
⑤ 根据④的结果求解；
⑥ 根据前面的规律，逆向求解。
19．（2023七上·恩施期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n 和为S
1
2
3
4
5
（1）若时，求S的值；
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式：；
（3）根据上题的规律计算：的值．
【答案】（1）解：若时，则S的值为；
（2）解：；
（3）解：
．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】 （1）直接由题目中提供的规律将加法转化为乘法求得其和即可；
（2）由题意可以分析得出规律： Sn ＝2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
（3）首先把所给的式子变形为（2+4+6+……+102+……+212）-（2+4+6+……+100），然后再利用规律进行计算即可，关键是确定有几个加数，加数的个数为最后一个加数÷2，由此解答即可．
20．（2025七上·成华月考）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“258”翻译成明文为“CZ”．
（1）明文“A”对应的密文为“ ”（写出符合条件的一种情况即可），密文“483847”翻译成明文为“ ”；
（2）为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文I”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”．
密文I： 1 2 3 4 …
密文Ⅱ： 7 10 13 16 …
①若密文I中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为 ▲ ；
②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文．
【答案】（1）1（答案不唯一）；
（2）解：①增加3；
②由题知，
（m为正整数）
则，
当时，，此时明文为Y；
当时，，此时明文为Z；
当时，，此时明文为Y；
当时，，此时明文为Z；
，
所以该明文为Y或Z
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题知，明文“A”对应的密文为“1”（答案不唯一），密文“483847”翻译成明文为：“”
故答案为：1（答案不唯一），
（2）①由所给表格可知，
密文I中正整数每增加1，密文Ⅱ中正整数增加3，
故答案为：增加3
【分析】（1）根据题目中给到的秘文和明文的对应关系，找出规律，继续解答；
（2）根据表格中密文的对应关系，找出规律，建立方程解答即可.
1 / 13.3 探索与表达规律培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．已知正六边形ABCDEF (每条边都相等)在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E 所对应的数为0.连续翻转2000次后，在数轴上1998这个数对应( )
A．点A B．点D C．点E D．点F
2．（2025七上·温州期中）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如： 11，43=13+15+17+19，…。若m3分裂后，其中有一个奇数是2 025，则m 的值是 （ )
A．44 B．45 C．46 D．47
3．（2024七上·重庆市月考）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（ ）
A． B． C．510 D．512
4．（2024七上·南宁期中）如图，某点从数轴上的A点出发，第1次向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动2个单位长度至C点，第3次从C点向右移动3个单位长度至D点，第4次从D点向左移动4个单位长度至E点，依此类推，经过n次移动后该点到原点的距离为50个单位长度，则符合条件的n的和为（ ）
A．205 B．202 C．199 D．196
5．（2024七上·仙居期末）已知，依此类推，则等于（ ）．
A． B． C． D．3
6．（2024七上·新昌期末）如图，点O在直线AB上，点，，，…，在射线OA上，点，，，…在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从，按此规律，则动点M到达点处所需时间为（ ）秒．
A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π
7．（2024七上·深圳期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（ ）
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如 ①②③④ …… 继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：．
A．1 B． C． D．
8．（2022七上·芜湖期中）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（ ）
A．9801 B．10000 C．10201 D．10500
二、填空题
9． x，y，z都是有理数，且xyz<0，x+y+z>0.若 ），则 .
10．（2024七上·武侯期中）十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，……，按照这个规律，在第 层第 个数（从左往右数）．
11．（2024七上·平湖期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是 （用含的代数式表达）．
12．已知n个数x1，x2，…， xn，每个数只能取0，1，-1中的一个.若 则 的值为 .
13．（2025七上·新昌期中） 如图，定义一种对正整数n的 “” 运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）。 两种运算交替重复进行。例如，取，则有如图所示的运算：
若5，则第2025次“” 运算的结果是 ．
三、解答题
14． 研究下列式子，你能发现什么规律？
第1个式子：；第2个式子：；第3个式子：；…
（1）第4个式子是 ；
（2）请用含为正整数的式子表示你发现的规律；
（3）请用你所发现的规律进行计算：.
15．（2024七上·铜陵期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式．
（2）结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式．
（3）通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式 ．
16．（2024七上·金东期中）设一列数，，，…，中，对于，均有（s是常数），已知，，，．
（1）直接写出下列数中相等的数：，，，，，，，，．
（2）求出s和t的值．
（3）计算：
17．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……
（1）试利用图形揭示的规律计算：＝ ▲ ．
并使用代数方法证明你的结论．
（2）请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形．
18．（2023七上·宁远期中）大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的结论是，（n是正整数）．
现在我们来研究一个类似的问题：
观察下面三个特殊的等式，并且填空：
，
，
，
① ▲ ，…
将前两个等式的两边相加，可以得到．
将三个等式的两边相加，可以得．
根据以上知识完成填空：
②计算： ▲ ；
③计算： ▲ ；
④计算： ▲ ；
⑤依据上面的材料，试计算：；
⑥猜想： ▲ ．
19．（2023七上·恩施期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n 和为S
1
2
3
4
5
（1）若时，求S的值；
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式：；
（3）根据上题的规律计算：的值．
20．（2025七上·成华月考）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“258”翻译成明文为“CZ”．
（1）明文“A”对应的密文为“ ”（写出符合条件的一种情况即可），密文“483847”翻译成明文为“ ”；
（2）为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文I”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”．
密文I： 1 2 3 4 …
密文Ⅱ： 7 10 13 16 …
①若密文I中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为 ▲ ；
②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：翻转一次后，点F不变，点E对应的数字为0；翻转二次后，点E不变，点D对应的数字为1；翻转三次后，点D不变，点C对应的数字为2；翻转四次后，点C不变，点B对应的数字为3；翻转五次后，点B不变，点A对应的数字为4；翻转六次后，点A不变，点F对应的数字为5，即每翻转6次记为一轮，每个点对应的数字增加6，则连续翻转2000次后，因为，所以从第333轮开始第二次翻转：点E对应的数字为：.
故答案为：C .
【分析】解题的关键是寻找数字变化规律，即每转动六次，每个顶点对应的数字增加6，可以把这6次记作一轮，然后用总次数除以6，余数即为新一轮操作次数。
2．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意，得：
23可“分裂”成2个连续奇数的和，其中最小的奇数是1×2+1=3，最大的奇数是2×3-1=5；
33可“分裂”成3个连续奇数的和，其中最小的奇数是2×3+1=7，最大的奇数是3×4-1=12；
43可“分裂”成4个连续奇数的和，其中最小的奇数是3×4+1=13，最大的奇数是4×5-1=19；
……
m3可“分裂”成m个连续奇数的和，其中最小的奇数是(m-1)m+1，最大的奇数是m(m+1)-1，
当m=44时，其中最小的奇数是(44-1)×44+1=1891，最大的奇数是44×(44+1)-1=1979；
当m=45时，其中最小的奇数是(45-1)×45+1=1891，最大的奇数是45×(45+1)-1=2069，
∵1891<2025<2069，
∴m=45符合题意.
故选：B.
【分析】由给出的23，33，43的三个式子，可以发现最小和最大的奇数存在规律，依此分析解答即可.
3．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察所给图形可知，
左上角的数字依次为：，，，，…，
所以第n个图形中左上角的数可表示为：．
右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，
所以第n个图形中右上角的数字可表示为：．
下方的数字为同一个图形中左上角数字的，
所以第n个图形中下方的数字可表示为：．
当时，
，即a=1024，
，即b=1026，
，即c=512
所以．
故答案为：B．
【分析】观察各个图形三个位置的数发现：左上角的数，符号为奇负偶正，数的绝对值是2的幂，故第n个图形中左上角的数可表示为(-2)n，右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，第n个图形中右上角的数字可表示为(-2)n+2，下方的数字为同一个图形中左上角数字的一半，故第n个图形中下方的数字可表示为：，据此将n=10代入算出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入待求式子按有理数减法法则计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：第1次点A向右移动1个单位长度至点B，则B表示的数，；
第2次从点B向左移动2个单位长度至点C，则C表示的数为；
第3次从点C向右移动3个单位长度至点D，则D表示的数为；
第4次从点D向左移动4个单位长度至点E，则点E表示的数为…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：，
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：，
当移动次数为奇数时，，
解得：，
当移动次数为偶数时，，
解得：．
，
故选：C．
【分析】本题考查了数轴，以及数轴上点的坐标变化和平移规律，根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，得到点到原点的距离，结合对奇数项、偶数项分别探究，的得出找出其中的规律，写出相应的表达式，进而得到答案．
5．【答案】A
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
按照上面代数式呈现的规律可知，每3项循环一次，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据找到规律为每3项循环一次，，即可得解．
6．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：所需时间为2+3π秒；所需时间为4+10π秒；所需时间为6+21π秒；所需时间为秒，达所需时间为即10+55π秒
故答案为：A
【分析】找规律，先找到偶数对应所用的时间，得到规律，再代入10得到答案。
7．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
=1-+=1-= .
故答案为：B.
【分析】根据已知材料将原式化为1-+，再计算即可.
8．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
则
故答案为：B．
【分析】先求出规律，所以，再计算即可。
9．【答案】-1
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵ xyz<0，x+y+z>0.
∴3个有理数ェ，y，z中必有2个正数，1个负数，于是，，的值中有2个1，1个-1，
∵，
∴a=-1，
∴，
∵，
，
∴
=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据xyz<0，x+y+z>0，可知x，y，z中两正一负，根据有理数的除法和绝对值，即可得，，的值中有2个1，1个-1，进而得a=-1，再根据-1的偶次方为1，奇次方为-1，即可求的值.
10．【答案】10；253
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设在第层，则第层的与连线的数为：，层与之连线的数为：；…，则在第层
由图可知，
从第3层至第8层数字都是向左边发散，第9，10层的数字是向右发散，即：
的左边有1个数，
的左边有3个数，
的左边有7个数，
的左边有15个数，
的左边有31个数，
的左边有63个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多1个数，的左边有个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多2个数，的左边有个数，
和是在同一层，且在的左侧，
从左往右数，是第个数，
故答案为：10；253.
【分析】由图可知，向右发散的都是真分数，规律为，向左发散的都是假分数，规律是，据此逆推可得所在的层数，再根据每数的发散方向及左侧数的数量规律" 从到的过程中，每个逆向生长的真分数左侧的分数数量依次增加 确定其在该层的具体位置即可.
11．【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个位上的数字的平方，即中的是中的平方，中的是中的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用填补；第二行从左向右是这个两位数的个位上的数字与十位上的数字之积的倍，即是中，乘积为两位的填中间两个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
12．【答案】2016
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：2017=4×504+1，
∴原式x1+x2+...+xn=2016
故答案为：2016.
【分析】根据已知条件，分析xi取值为0、-1、1时的特点，通过x1+x2+...+xn=2016，确定1和-1的个数，进而求出答案.
13．【答案】4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【解答】
第1次运算：
是奇数
第2次运算：
是偶数
第3次运算：
是奇数
第4次运算：
是偶数
即从第2次运算开始每2次一个循环，运算结果为1和4交替出现
第2025次“F”运算的结果为：4
故正确答案为：4
【分析】先分别计算出前4次的运算结果，可发现从第2次运算开始每2次一个循环，则用2025减去1再除以2取余得余数为0，则第2025次“F”运算的结果为4.
14．【答案】（1）
（2）解：由题易知，第个式子：
（3）解：根据（2）的结论，令，得，
则
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：（1）观察式子可以发现等式左边是两个多项式的积，第一个多项多为(x-1)，第二个多项式在(x+1)的基础上，依次增加xn，等式右边为x(n+1)-1，可以确定第4个式子，即n=4时，式子为：；
故答案为：；
【分析】（1）观察题目给出的三个式子可以发现等式左侧和右侧的规律，然后可以确定第四个式子；
（2）在（1）的基础上归纳出第n个式的规律即可；
（3）根据（2）的结论，令，，计算化简即可.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）解：根据题中所给出的规律可知：，
故答案为：；
（2）解：由图示可知点的总数是，所以，
故答案为：；
（3）解：由（1）（2）可知，
故答案为：．
【分析】（1）根据前几幅图中图形的数量与序号的关系可得规律，再求解即可；
（2）结合图形可得等量关系式；
（3）根据前几幅图中图形的数量与序号的关系可得规律，再求解即可.
（1）解：根据题中所给出的规律可知：，
故答案为：；
（2）解：由图示可知点的总数是，所以，
故答案为：；
（3）解：由（1）（2）可知，
故答案为：．
16．【答案】（1）答案为：，，；
（2）解：由题意，得：，
即，
解得：；
∴，，
（3）解：原式
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
【分析】（1）由得，同理可求：，，；
（2）由（1）中规律得，即可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）由（1）中规律得，代入数值即可求解．
（1）解：∵，
∴，
同理可求：，，；
（2）解：由题意，得：，即，
解得：；
∴，，
；
（3）解：原式．
17．【答案】（1）解：，设 ，
，
，即，
；
（2）解：如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去，
则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ，
的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ，
；
故答案为：.
【分析】（1）设①，则
，利用②-①求出S即可；
（2）将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去即可.
18．【答案】解：①
②
③
④
⑤∵，
∴，
，
，
⑥
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①由题意得，，
故答案为：；
②由题意得，
故答案为：；
③由②的规律得，
，
故答案为：；
④由②③规律得，
，
故答案为：；
⑤∵，
∴，
，
，
⑥由⑤的规律可得，
；
故答案为：
【分析】根据探索数与式的规律的方法求解。规律是：等式的左边是两个连续正整数的积，等式的右边是这两个正整数与后一个正整数的积减去这两个正整数与前一个正整数的积，它们的差的三分之一。
①根据观察得到的规律直接写；
②按照前面的规律进行解答；
③ 按照前面的规律进行解答；
④ 根据②③的结果进行求解；
⑤ 根据④的结果求解；
⑥ 根据前面的规律，逆向求解。
19．【答案】（1）解：若时，则S的值为；
（2）解：；
（3）解：
．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】 （1）直接由题目中提供的规律将加法转化为乘法求得其和即可；
（2）由题意可以分析得出规律： Sn ＝2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
（3）首先把所给的式子变形为（2+4+6+……+102+……+212）-（2+4+6+……+100），然后再利用规律进行计算即可，关键是确定有几个加数，加数的个数为最后一个加数÷2，由此解答即可．
20．【答案】（1）1（答案不唯一）；
（2）解：①增加3；
②由题知，
（m为正整数）
则，
当时，，此时明文为Y；
当时，，此时明文为Z；
当时，，此时明文为Y；
当时，，此时明文为Z；
，
所以该明文为Y或Z
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题知，明文“A”对应的密文为“1”（答案不唯一），密文“483847”翻译成明文为：“”
故答案为：1（答案不唯一），
（2）①由所给表格可知，
密文I中正整数每增加1，密文Ⅱ中正整数增加3，
故答案为：增加3
【分析】（1）根据题目中给到的秘文和明文的对应关系，找出规律，继续解答；
（2）根据表格中密文的对应关系，找出规律，建立方程解答即可.
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