(共31张PPT)
第5章 直角三角形
5.3 直角三角形全等的判定
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。
01
理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。
02
能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。
03
02
新知导入
回顾
全等三角形的判定定理有哪些？
全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
02
新知导入
全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
想一想：前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
03
新知探究
思考
问题1：在Rt△ABC和Rt△A B C 中，∠C=∠C =90°，若有一锐角和一边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
AAS或ASA
03
新知探究
思考
问题2：在Rt△ABC和Rt△A B C 中，∠C=∠C =90°，若有两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
SAS
03
新知探究
思考
问题3：在Rt△ABC和Rt△A B C 中，∠C=∠C =90°，若有一条直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
03
新知探究
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证： Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
思考：AAS证明核心思维是将AAS转化为ASA，用三角形内角和定理解决角相等，再用已学的ASA判定全等。你能利用转化思想进行证明吗？
将它转化为什么定理进行证明？
可以利用什么得到该条件？
03
新知探究
证明：在Rt△ABC中，由勾股定理得，，
同理，在Rt△A′B′C′中， .
由于AB=A′B′，AC=A′C′，
因此=，从而BC=B′C′.
在 △ABC与△A′B′C′中，
因此△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
03
新知探究
“斜边、直角边” 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
几何语言
在Rt△ABC和Rt△中，
∴ Rt△ABC≌Rt△(HL).
03
新知探究
如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD.
求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
例1
证明:因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC=∠CDB=90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
所以Rt△BEC ≌ Rt△CDB（HL）.
03
新知探究
已知一直角边和斜边作直角三角形.
例2
如图，已知线段.
求作 Rt△ABC，使得斜边AB=，一条直角边BC=.
问题1：要先确定哪条边？
问题2：定好了BC=，接下来要满足“直角”这个条件，该怎么做？
问题3：作完垂线后，怎么确定点A的位置？
问题4：最后一步需要做什么，才能形成完整的Rt△ABC？
03
新知探究
作法 ：（1）作一条直线l，在直线l 上截取BC=；
（2）过点C作直线l 的垂线CD；
（3）以点B为圆心，以为半径画圆弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD=CB
B．∠A=∠C
C．∠ADB=∠CBD
D．AB=CD
A
04
课堂练习
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE等于（ ）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
C
04
课堂练习
3.如图，∠B=∠D=90°,CB=CD,∠1=25°，则∠2= （ ）
A．25°
B．40°
C．65°
D．60°
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，在△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90^ ，AC=CD=12，BC=13，则点A，D之间的距离为 ．
04
课堂练习
5.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠CAB=∠CAD=60°，点E在AB上，AE=3，BE=2，CD=CE，则AD的长度为 ．
7
04
课堂练习
6.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=70°，若点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
100°或140°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD，AE=DB，AC=DF，若∠D=30°，求∠C的度数．
解：∵FE⊥AD，CB⊥AD，
∴∠FED=∠CBA=90°，
∵AE=DB，
∴AE+EB=EB+BD，
即AB=DE，
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD，AE=DB，AC=DF，若∠D=30°，求∠C的度数．
在Rt△ABC与Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠C=90°∠A=60°．
05
课堂小结
“斜边、直角边” 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
几何语言
在Rt△ABC和Rt△中，
∴ Rt△ABC≌Rt△(HL).
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等
D．面积相等
D
06
作业布置
2.如图，∠C=90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC=MD，如果AC=8，AB=10，那么BD的长度为（ ）
A．8
B．2
C．10
D．6
B
06
作业布置
3.如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20°
B．40°
C．60°
D．70°
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD，
（1）求证：△ACB≌△BDA．
（2）若∠ABC=30°，AC=8，求AB的长度．
（1）证明：∵∠ACB=∠BDA=90°，
∴△ACB和△BDA为直角三角形，
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD，
（1）求证：△ACB≌△BDA．
（2）若∠ABC=30°，AC=8，求AB的长度．
（2）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
∵AC=8，
∴AB=2×8=16，
即AB的长度是16.
07
板书设计
“斜角、直角边”定理：
几何语言：
已知一直角边和斜边作直角三角形：
5.3 直角三角形全等的判定
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
《5.3 直角三角形全等的判定》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《直角三角形全等的判定》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第三节第一课时的内容。本节课是一般三角形全等判定的特殊延伸，新增HL判定，衔接SSS、SAS等方法，完善全等判定体系。以“已知直角边和斜边作直角三角形”操作切入，经作图验证、全等推理证HL，串联作图与判定逻辑，既夯实几何推理基础，又强化“一般到特殊”思想，为后续直角三角形应用铺垫。
学习者分析 学生已掌握一般三角形全等判定、基础尺规作图，能简单证明全等，但对直角三角形全等特殊性认知不足；作图时直角构造、线段截取易出错，HL与SAS易混淆，应用时忽略直角前提，符号语言表达不规范。
教学目标 1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。 3.能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。 4.体会特殊与一般几何关系，养成严谨探究习惯。
教学重点 HL判定理解与证明；指定条件直角三角形规范作图；HL的实际应用。
教学难点 HL与一般全等判定区分；作图中直角与线段截取精准衔接；证明中对应关系梳理。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】全等三角形的判定定理有哪些？ 全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 教师提问：前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：直角三角形全等的判定 【思考】问题1：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，若有一锐角和一边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 问题2：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，若有两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 问题3：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，若有一条直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 教师提问： AAS证明核心思维是将AAS转化为ASA，用三角形内角和定理解决角相等，再用已学的ASA判定全等。你能利用转化思想进行证明吗？ 将它转化为什么定理进行证明？ 可以利用什么得到该条件？ 证明：在Rt△ABC中，由勾股定理得，， 同理，在Rt△A′B′C′中， . 由于AB=A′B′，AC=A′C′， 因此=，从而BC=B′C′. 在 △ABC与△A′B′C′中， 因此△ABC≌△A′B′C′（SSS）. 【归纳】“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 几何语言 在Rt△ABC和Rt△中， ∴ Rt△ABC≌Rt△(HL).学生活动2： 学生根据已学知识回答，讲述原因 认真思考 认真思考，回答问题 先独立证明，再合作交流 认真听讲 认真听讲，了解直角三角形全等的判定定理活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例1如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD. 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：因为BD，CE是△ABC的高， 所以∠BEC=∠CDB=90°. 在Rt△BEC和Rt△CDB中， 所以Rt△BEC ≌ Rt△CDB（HL）. 例2已知一直角边和斜边作直角三角形. 如图，已知线段. 求作Rt△ABC，使得斜边AB=，一条直角边BC=. 教师提问： 问题1：要先确定哪条边？ 问题2：定好了BC=，接下来要满足“直角”这个条件，该怎么做？ 问题3：作完垂线后，怎么确定点A的位置？ 问题4：最后一步需要做什么，才能形成完整的Rt△ABC？ 教师讲授： 作法 ：（1）作一条直线l，在直线l 上截取BC=； （2）过点C作直线l 的垂线CD； （3）以点B为圆心，以为半径画圆弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真作图 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： “斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 几何语言 在Rt△ABC和Rt△中， ∴ Rt△ABC≌Rt△(HL).学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A． B． C． D． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE等于（ ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3.如图，，则 （ ） A． B． C． D． 选做题： 4.如图，在和中，，，，则点，之间的距离为 ． 5.如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为 ． 6.如图所示，在等腰中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 【综合拓展类作业】 7.如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．面积相等 2.如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，那么的长度为（ ） A． B． C． D． 3.如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ） A．20° B．40° C．60° D．70° 【综合拓展类作业】 4.如图，已知，， （1）求证：． （2）若，，求的长度．
教学反思 本节课聚焦HL与直角三角形作图，多数学生掌握核心内容，但存在不足：作图步骤混乱、直角构造偏差，未重视重合验证；HL与SAS混淆，忽略直角前提；符号语言书写不规范。后续需细化作图分步示范，增设定理对比练习，规范书写模板，强化作图与证明逻辑衔接，提升综合应用能力
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第5章 直角三角形
5.3 直角三角形全等的判定
学习目标与重难点
学习目标：
1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。
2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。
3.能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。
学习重点：
HL判定理解与证明；指定条件直角三角形规范作图；HL的实际应用。
学习难点：
HL与一般全等判定区分；作图中直角与线段截取精准衔接；证明中对应关系梳理。
学习过程
一、复习回顾
【回顾】全等三角形的判定定理有哪些？
二、探究新知
探究：直角三角形全等的判定
教材第174页
【思考】
问题1：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，若有一锐角和一边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
问题2：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，若有两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
问题3：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，若有一条直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
【归纳】“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
三、例题精讲
例1如图，BD，CE是△ABC的高，且BE=CD.
求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
例2已知一直角边和斜边作直角三角形.
如图，已知线段.
求作Rt△ABC，使得斜边AB=，一条直角边BC=.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3.如图，，则 （ ）
A． B． C． D．
选做题
4.如图，在和中，，，，则点，之间的距离为 ．
5.如图，在四边形中，，，点E在上，，，，则的长度为 ．
6.如图所示，在等腰中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ．
【综合拓展类作业】
7.如图，，，，在同一直线上，，，，，若，求的度数．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么
六、作业布置
1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．面积相等
2.如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
4.如图，已知，，
（1）求证：．
（2）若，，求的长度．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】解：∵，
，
∵，
A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意；
B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；
C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
2.【答案】C
【解析】解：∵ED⊥AB于点D，∠C＝90°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中
∴Rt△BCE≌Rt△BDE，
∴DE=CE，
则AE+DE=AE+CE=AC=6cm，
故选C.
3.【答案】C
【解析】解：如图：
，，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：C．
4.【答案】．
【解析】解：在中，
∴；
过点A作于点，
又
∴；
在和中，
，
∴，
∴之间的距离．
故答案为：．
5.【答案】7．
【解析】解：过点C作于点F，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
6.【答案】 或．
【解析】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
7.【答案】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中
，
∴，
∴，
∴．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项正确；
C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项正确；
D、面积相等，不能说明两三角形能够完全重合，故本选项错误．
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.【答案】B
【解析】解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
4．【答案】（1）证明：∵，
∴和为直角三角形，
在与中，
，
∴．
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
即AB的长度是16.
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