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分课时教学设计
《5.4.1角平分线的性质》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《角平分线的性质》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第四节第一课时的内容。“角平分线的性质”是初中几何中“图形性质与判定”逻辑体系的关键课例，承接全等三角形的判定方法，既是对全等知识的实践应用，也为后续线段垂直平分线、轴对称图形等内容奠定思维基础——它以“性质+逆定理”的结构，呈现了几何中“从图形特征抽象性质、以性质推导判定”的核心逻辑，同时为后续几何证明、距离相关计算提供了实用工具，是连接直观图形与抽象推理的重要纽带。
学习者分析 学生已掌握全等三角形的判定方法，能识别角平分线的图形特征，但对 “性质（点在角平分线上→到两边距离相等）”与“逆定理（到两边距离相等→点在角平分线上）” 的互逆逻辑易混淆，且常忽略“距离需垂直”的细节；同时初中生更易接受直观操作类学习，抽象逻辑推理需借助具体活动逐步引导，需在教学中兼顾直观感知与逻辑严谨性的平衡。
教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。 3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。
教学重点 角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。
教学难点 理解性质与逆定理的互逆关系，准确运用定理时把握 “距离是垂直距离”的条件。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】什么是角平分线？ 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：角平分线的性质定理 【探究】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 教师提问：你有什么方法进行比较？ 教师讲授：1.若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而 PD与PE重合，即PD=PE. 2.利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE. 猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB . 求证：PD=PE. 证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以. 因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO ≌ △PEO（AAS）. 因此PD=PE. 【归纳】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE. 探究二：角平分线的性质定理的逆定理 【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 教师提问：判断命题的真假应该用什么方法？ 教师提问：几何题没有图案应该怎么办？ 【作图】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC. 【证明】已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. 求证：OC是∠AOB的角平分线. 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ 点P在∠AOB的角平分线上. 学生活动2： 认真思考，举手回答问题 认真听讲，提出猜测 运用已学知识进行证明 认真听讲 认真听讲，了解角平分线的性质定理 写出逆命题 回顾判断命题真假的方法 认真思考，尝试作图 运用已学知识进行证明 认真听讲 学生认真听讲，了解角平分线的性质定理的逆定理 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上； （2）BD平分∠ABC. 证明：（1） 在△ABC中， 因为∠1=∠2， 所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上. （2）在Rt△BAD和Rt△BCD中， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD=∠CBD， 从而BD平分∠ABC.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是( ) A．12 B．15 C．18 D．24 2.如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为( ) A．3 B．2 C． D． 选做题： 4.如图，中，平分，则的面积是 . 5.如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则 ． 6.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【综合拓展类作业】 7.如图所示，在中，平分，是高线，，，求的度数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC,垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ） A．8.5 B．15 C．17 D．34 2.如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 3.如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ． 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，是它的角平分线，，，． （1）求与的面积之比； （2）求的长．
教学反思 本节教学中，通过实例引导学生观察角平分线上点的距离特征，帮助学生较快理解了性质定理的核心，同时对比性质与逆定理的题设和结论，让学生初步理清了两者的逻辑关系，但仍有不足：部分学生应用定理时依旧遗漏 “垂直” 这一关键条件，后续需增加辨析类题目强化细节；逆定理的应用场景拓展不足，可补充 “确定角内到两边距离相等的点” 的实际问题，让知识更贴近生活，提升学生的应用意识。
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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。
01
通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。
02
感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。
03
02
新知导入
回顾
什么是角平分线？
角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角.
几何语言
∵OC是∠AOB的角平分线,
∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
03
新知探究
探究
如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
你有什么方法进行比较？
①度量
②圆规
③折叠
猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
03
新知探究
已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB .
求证：PD=PE.
证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以.
因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO ≌ △PEO（AAS）.
因此PD=PE.
03
新知探究
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言
∵OC是∠AOB的角平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE.
03
新知探究
思考
角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
命题
举反例
假命题
证明
真命题
几何题没有图案应该怎么办？
03
新知探究
如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
从而∠AOC=∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
03
新知探究
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言
∵PD=PE，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ 点P在∠AOB的角平分线上.
03
新知探究
例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.
例1
证明:（1） 在△ABC中，
因为∠1=∠2，
所以BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，
所以点B在∠ADC的平分线上.
03
新知探究
例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC.
例1
证明:（2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）.
因此∠ABD=∠CBD，
从而BD平分∠ABC.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是( )
A．12
B．15
C．18
D．24
B
04
课堂练习
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．2
C
04
课堂练习
3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为( )
A．3
B．2
C．
D．
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=7.5,CD=4，则△ABD的面积是 .
15
04
课堂练习
5.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E和F，若PE=6，则PF= ．
6
04
课堂练习
6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，DE⊥BC，垂足为点E，AD=DE，∠B=32°，则∠BCD的度数为 ．
29°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC=50°，∠EBC=20°，求∠ADC的度数．
解：∵AD平分∠BAC，BE是高线，且∠BAC=50°
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°
∵∠BEA=90°
∴∠ABE=180°-∠BAC-∠BEA=40°
∴∠ADC=∠ABE+∠EBC+∠BAD=85°
∴∠ADC的度数为85°
05
课堂小结
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ）
A．8.5
B．15
C．17
D．34
C
06
作业布置
2.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BPR≌△QSP，其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③
B
06
作业布置
3.如图，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，且OD⊥BC于点D，△ABC的周长为24cm，OD=3cm，则△ABC的面积为 ．
36cm2
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=9，AC=6，BC=10．
（1）求△ABD与△ACD的面积之比；
（2）求CD的长．
（1）解：如图，过点作于点，作于点，
∵在中，是它的角平分线，
∴，
∵，，
06
作业布置
∴，
，
∴，
∴与的面积之比为．
06
作业布置
（2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点，
由（1）已得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
07
板书设计
角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理的逆定理：
5.4 角平分线的性质（1）
习题讲解书写部分
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。
2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。
3.感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。
学习重点：
角平分线的性质定理及逆定理的内容、证明与初步应用。
学习难点：
理解性质与逆定理的互逆关系，准确运用定理时把握 “距离是垂直距离”的条件。
学习过程
一、复习回顾
【回顾】什么是角平分线？
二、探究新知
探究：角平分线的性质定理
教材第177页
【探究】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB .
求证：PD=PE.
【归纳】角平分线的性质定理：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
探究二：角平分线的性质定理的逆定理
【思考】角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
【作图】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC.
【证明】已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
求证：OC是∠AOB的角平分线.
【归纳】角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三、例题精讲
例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.
求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；
（2）BD平分∠ABC.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是( )
A．12 B．15 C．18 D．24
2.如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为( )
A．3 B．2 C． D．
选做题
4.如图，中，平分，则的面积是 .
5.如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则 ．
6.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ．
【综合拓展类作业】
7.如图所示，在中，平分，是高线，，，求的度数．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么
六、作业布置
1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC,垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ）
A．8.5 B．15 C．17 D．34
2.如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
3.如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ．
4.如图，在中，是它的角平分线，，，．
（1）求与的面积之比；
（2）求的长．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：过点作于，如图所示：
，是角平分线，
，
的面积是，
故答案为：B .
2.【答案】C
【解析】解：如图，
过点作于B，
∵平分，，，
∴，
∴的最小值为3．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵ AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠C=90°，
∴ 点D 到边AB的距离 =DC=2.
故答案为：B .
4.【答案】15．
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵平分∴ED=CD=4，
∴S△ABD；
故答案为：15．
5.【答案】6．
【解析】解：∵平分，且，
∴，
故答案为：6．
6.【答案】．
【解析】解：∵，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴；
故答案为：．
7.【答案】解：∵平分，是高线，且
∴
∵
∴
∴
∴的度数为
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故答案为：C．
2.【答案】B
【解析】解：①，，，
平分，
，
在与中，
，
，
，
∴结论正确，
②，
，
，
，
，
∴结论正确，
③在与中，只有条件，不能判断三角形全等；
综上可得，正确的结论是①②，
故答案为：B.
3.【答案】
【解析】解：连接，作于点，作于点，
∵分别平分和，，
∴，
∵的周长是于，且，
∴，
故答案为：．
4．【答案】（1）解：如图，过点作于点，作于点，
∵在中，是它的角平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴与的面积之比为．
（2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点，
由（1）已得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
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