第二十一章一元二次方程寒假练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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第二十一章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程时，应将其变形为( )
A． B． C． D．
2．方程根是（ ）
A．＝－3，＝－2 B．＝－3，＝2
C．＝－2，＝3 D．＝2，＝3
3．定义符号的含义为∶ 当时，；当时，，如：，，则方程的解是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．， D．，
5．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（　　）
A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝0
7．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
8．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 （ ）．
A．-1； B．0；
C．1； D．2．
9．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0
10．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是( )
A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5
C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5
11．已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值是（　　）
A．3 B． C．3或 D．0
12．已知，则m2+n2的值是（　　）
A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．2
二、填空题
13．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程 ．
14．方程：的解是 ．
15．已知关于x的一元二次方程的常数项为零，则k的值为 ．
16．当 时,分式的值为.
17．已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ．
三、解答题
18．解方程：
（1）
（2）
（3）
19．解方程：
(1)
(2)
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若m，n是方程的两根，且，求k的值；
21．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连结MN，作AH⊥MN，垂足为点H
（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；
小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？
22．分别用配方法和公式法解一元二次方程．
23．用适当的方法解下列方程，
(1)①
②
(2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值．
24．解方程：．
《第二十一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D C D A D C A
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方即可.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查的是解一元二次方程的配方法，配方法要先把二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方是关键.
2．B
【分析】利用因式分解法解得方程即可.
【详解】解：，
，
∴x-2=0，x+3=0，
解得：＝－3，＝2.
故选B.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择合适的解法.
3．A
【分析】根据定义新运算的方法，分类讨论，再根据解方程的方法即可求解．
【详解】解：当是，，
∴，整理得，，
∴，，
∴当时，，不符合题意，
∴；
当时，，
∴，整理得，，
∴，，
∴当时，，不符合题意，
∴；
综上所述，的值为或，
故选：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，因式分解解一元二次方程的运用，理解定义新运算的法则，掌握因式分解解一元二次方程的方法是解题的关键．
4．D
【分析】把方程整理成，然后因式分解求解即可.
【详解】解：把方程整理成即
∴或
解得：，
故选D.
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法；分解因式法；公式法；配方法，本题涉及的解法有分解因式法，此方法的步骤为：把方程右边通过移项化为0，方程左边利用提公因式法，式子相乘法，公式法以及分组分解法分解因式，然后根据两数积为0，两数中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，进而得到原方程的解．
5．C
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴可以分别为：，
∴该一元二次方程是，
故选：C．
6．D
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义求出答案即可判断．
【详解】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．
7．A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可．
【详解】∵当时，该多项式的值为，
∴，
整理得，即
∵，
∴，即，
∴，
∴，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
8．D
【分析】首先对原方程进行整理，然后根据题意可知△≥0，所以（-10）2+4（2k-3）×9≥0，推出k≤＜3，即可推出k的最大整数为2．
【详解】解：要使方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，
∴由方程简化得：（2x-3）x2-10x+9=0
∴-4××9≥0
∴100-72k+108≥0
解得：k≤＜3
∴k的最大整数值为2.
故选D.
【点睛】本题主要考查根的判别式的性质，关键在于正确的对原方程进行整理，求出△，然后根据△≥0，解不等式即可．
9．C
【分析】利用直接开平方法分别求解可得．
【详解】解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；
B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；
C．由x2﹣5＝0得x1，x2，符合题意；
D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．A
【分析】可运用因式分解法来解这两个方程.因为方程两边都是平方的形式，可以移项，用平方差公式分解，用公式ab=0则b=0求值.
【详解】解：(x－2)2 (2x+3)2=0
(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0
x-2+2x+3=0或x-2-2x-3=0
即x1=,x2=5.
故答案为A.
【点睛】应用因式分解法中的提公因式法是关键是找到公因式，此题渗透了数学中的整体思想．
11．B
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【详解】解：把代入方程，
得，
解得：，
∵，即
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．A
【详解】解：，，，，∴或（舍去）．故选A．
13．
【分析】根据公式法可得的值，由此即可得．
【详解】解：设该方程为，
由得：，
则该方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．
14．
【分析】方程变形为，从而把问题转化为求16的平方根．
【详解】解：
系数化为1得：，
∴，
∴x=或﹣．
故答案是：．
【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方的方法解一元二次方程是解题的关键．
15．2
【分析】由一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣3k+2＝0的常数项为零，即可得 ，继而求得答案．
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣3k+2＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k＝1或k＝2，
由②得：k≠1，
∴k的值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.
16．-3
【分析】根据题意列出方程，解出a即可.
【详解】解：根据题意得：=1，
即可得到
解得 ：
根据中 得到
舍弃
所以
故答案为：-3.
【点睛】此题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，关键是根据题意列出分式方程.
17．
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长．
【详解】解：解方程，
得：，，
即：直角三角形的两直角边分别和，
由勾股定理得斜边长为：．
故答案为：．
18．（1）或；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据十字相乘法解一元二次方程求解即可；
（2）根据直接开方法解一元二次方程求解即可；
（3）根据提公因式法解一元二次方程求解即可．
【详解】解：（1）
或，
解得：或；
（2）
，
或，
解得或；
（3）
解：，
，
或，
解得：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19．(1)
(2)
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：，
将一元二次方程化为一般形式为：，
分解因式得：，
∴，，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，熟记求根公式，准确计算．
20．(1)且
(2)
【分析】（1）根据题意可知b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，且k≠0，求出k的取值范围即可；
（2）先用含k的代数式表示mn和m+n，再将整理得，代入计算即可．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
（2）根据题意，.
由，得，
∴代入得：，
整理得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
21．（1）AB=AH，理由见解析；（2）6
【详解】分析：（1）延长CB至E使BE=DN，连接AE，由三角形全等可以证明AB=AH；
（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又，所以四边形AEGF是正方形，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，则BG=x 2；CG=x 3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，解之 得 所以AD的长为6．
详解：(1)答：AB=AH，
证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴
又∵AB=AD，
∵在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠1=∠2，AE=AN，
∵
∴
∴，
即
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
又∵EM和NM是对应边，
∴AB=AH(全等三角形对应边上的高相等)；
(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，
∵AD是△ABC的高，
∴
∴
又∵
∴，
延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AD=AF
∴四边形AEGF是正方形，
由(1)、(2)知：EB=DB=2，FC=DC=3，
设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，
∴BG=x 2；CG=x 3；BC=2+3=5，
在Rt△BGC中,
解得
故AD的长为6.
点睛：考查正方形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质, 勾股定理, 翻折变换（折叠问题），综合性比较强，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
22．，
【分析】根据配方法，公式法解方程的基本步骤求解即可．
【详解】利用配方法解一元一次方程，
，
，
，
，
或，
∴，；
利用公式法解一元一次方程，
将化为一般形式：，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了方程的解法，熟练掌握配方法，公式法解方程的基本步骤是解题的关键．
23．(1)①，；②，
(2)2或
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）①利用公式法解一元二次方程即可；
②利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可．
【详解】（1）（1）①
，，
∴
解得，；
②
，
解得，；
（2）根据题意得，
当时，即时，
∵
∴
解得或（舍去）；
当时，即时，
∵
∴
解得或（舍去）；
综上所述，的值为2或．
24．．
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法求解即可，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
整理得：，
解得：或，
经检验，是增根，舍去，
∴．
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