24.4弧长和扇形面积寒假练习 （含解析）人教版数学九年级上册

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24.4弧长和扇形面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )
A．240° B．120° C．180° D．90°
2．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．20
3．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）
A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．
4．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（ ）
A． B． C． D．
7．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为（　　）
A．10cm B．10πcm C．5cm D．5πcm
8．用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．
9．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形漏斗模型(如图)，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
10．在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
12．圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
二、填空题
13．已知扇形的周长为，半径为4，则圆心角的度数为 ．
14．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 cm．
15．如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是 ．
16．一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ．
17．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
三、解答题
18．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接CE．
(1)求证：；
(2)若AB＝3，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
19．如图，在中，，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．
(1)若，则弧的度数为______，弧的长度为______；
(2)，求的长．
20．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图．
21．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．

(1)求的大小；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22．如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积．
23．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
24．如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧．
(1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）．
(2)的半径长为___________．
(3)点在___________（填“内”“外”“上”）．
(4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________．
《24.4弧长和扇形面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C A D B B C C
题号 11 12
答案 B B
1．B
【详解】解：设圆锥地面半径为r，则16π=πr2，r=4，
所以底面周长为2π×4=8π，
设侧面展开图扇形圆心角为n，
则8π=，解得n=120°.
故选B.
2．A
【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，
连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，
在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，
解得AS＝10．
∵A，S两点之间线段AS最短，
∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．A
【详解】∵圆O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180° (∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC=(AB+AC+BC) EO=AC BC，
∴EO= 1，
∴AE2=AO2+EO2=12+( 1)2=4 2，
∴扇形EAB的面积==，△ABE的面积=AB EO= 1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积 △ABE的面积=，
∴阴影部分的面积=O的面积 弓形AB的面积= ()= 4，
故选：A
4．C
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】此圆锥的侧面积= 4 2π 2=8π．
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．A
【分析】根据三视图得出圆锥的底面直径为3，母线长为3，然后根据圆锥侧面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，
∴底面直径为3，母线长为3，
∴该圆锥的侧面展开图的面积是，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的定义，求圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可知：B点的运动路径是以A点为圆心，长为半径，风车转动的圆弧，计算即可．
【详解】解：，风车转动，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：．
7．B
【分析】重物上升的高度等于A点绕圆心转东180度的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意得，重物上升的高度= =10π（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式为 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了旋转的性质．
8．B
【分析】根据题意直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．
【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意得：，
解得r=2cm，
故这个圆锥的高为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的性质并正确得出圆锥的半径是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可．
【详解】解：，，
，
这个圆锥漏斗的侧面积．
故选：C．
10．C
【分析】此题主要考查了扇形面积的计算，正确掌握扇形面积公式是解题关键．直接利用扇形面积公式代入求出面积即可．
【详解】解：扇形中，圆心角为，半径，
扇形的面积是：．
故选：C．
11．B
【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，
其中扇形的半径为，圆心角最大角度为，
∴扇形的最大面积为：，
故选：B．
12．B
【分析】圆锥的侧面积=×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为6，母线长为10，
∴圆锥的侧面积=
故选：B．
【点睛】考查圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．
13．
【分析】根据扇形的周长弧长个半径长，可得弧长等于 ，再代入弧长公式即可求解．
【详解】解：∵扇形的周长为，
∴弧长，
∴ ，
解得：．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14．3．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．
【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，
设展开后的圆心角是n°，则，
解得：n＝180，
即展开后∠BAC＝×180°＝90°，
AP＝AC＝3，AB＝6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：BP＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
15．
【分析】连接、，根据题意得到为等边三角形，，分别求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，计算即可．
【详解】解：连接、．
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：，
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用割补法的思想进行求阴影部分面积．
16．
【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．先求出从1点到下午4点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可．
【详解】解：由题知，时针从1点到下午4点扫过，
闹钟的时针长是，
．
故答案为：．
17．
【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点G，
∵四边形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先利用旋转的性质证明△CBE是等边三角形，则可证∠CEB＝60°，即∠CEB＝∠DBA，再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得：△ABC≌△DBE，且∠ABD=∠CBE＝60°，
∴CB＝EB，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠CEB＝60°，
∴∠CEB＝∠DBA，
∴；
（2）解：由题意，BA＝BD＝3，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出，然后根据弧长公式可进行求解．
（2）作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．
【详解】（1）解：连接．
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
∵，
∴弧的长度为
故答案为，．
（2）解：如图，作于．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，弧长计算公式，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．详见解析．
【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．
【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，
又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，
如图所示：
．
【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，最后利用求解，即可解题；
（2）连接，得到，再利用扇形面积公式和三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：为的直径，
．
又，
．
又，
，
．
（2）解：连接．
，
．
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点O，
∴是的切线．
（2）连接，过O作于M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键．
23．
【分析】利用切线的性质以及弧长公式进而得出∠AOB=60°，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，进而求出CO′=R，即可求出⊙O′的周长．
【详解】解：连接OD，O′C，O′E，
∵OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，
∴∠OCO′=∠OEO′=90°，
∵弧AB所在圆的半径为R，弧AB的长为R，
∴=R，
解得：n=60，
则∠AOB=60°，故∠AOD=∠BOD=30°，
则CO′=OO′，即OD=3CO′=R，故CO′=，
故⊙O′的周长为：2π×=．
【点睛】此题主要考查了切线的性质以及弧长公式等知识，得出CO′=是解题关键．
24．(1)见解析
(2)
(3)内
(4)
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可；
（2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解；
（3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解；
（4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：由图可得，，
故由勾股定理可得：，
故的半径长为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴点在内，
故答案为：内；
（4）解：∵的半径长为，
∴，
∵,
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴弧的长为，
∴该圆锥的底面圆半径为，
故答案为：．
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