第二十三章旋转寒假练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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第二十三章旋转
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将绕点B逆时针旋转得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．以上选项都不对
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、平行四边形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）．
A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．菱形
5．有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
7．如图，矩形的顶点，点D为上一动点，将绕点O顺时针旋转得到，使得点A的对应点落在上，当的延长线恰好经过点C时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．关于这一图案，下列说法正确的是（　　）
A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的
B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的
C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的
D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的
9．点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C．6 D．
10．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法错误的有（）
(1)两个会重合的三角形一定成中心对称；
(2)成轴对称的两个图形中，对称点的连线段互相平行；
(3)线段的垂直平分线是线段的对称轴；
(4)由平移得到的图形一定可由翻折得到；
(5)旋转对称图形不一定是中心对称图形，但中心对称图形一定是旋转对称图形
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是 ．
14．将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为 ．
15．如图，AB=BC=CD，AB⊥BC，∠BCD=30°，则∠BAD= °．
16．如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ．
17．如图，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=
三、解答题
18．利用平移、旋转、轴对称分别分析下面两个图案的形成过程.(写出任意一种形成过程即可)
19．按下列要求画图：
①将图中的直角三角形向右平移到图方格中对应的位置上；
②再将平移后的图形沿直线l翻折到图的方格中；
③最后将翻折的图形绕点旋转到图的方格中．
20．填空：
（1）图形①是以点______为中心______时针旋转的，在图①中标出各点的对应点；
（2）图形②是以点______为中心______时针旋转的，在图②中标出各点的对应点；
（3）图形③是以点______为中心______时针旋转的，在图③中标出各点的对应点．
21．【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）
当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______；
【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题：
（）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______；
（）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______；
【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
（）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接，
求证：点是的费马点．
（）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______．
【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______．
22．如图，是的中线，画出以为对称中心，与成中心对称的三角形．

23．如图，下列网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在每图的空白小正方形中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，要求完成3种不同的涂法．
24．如图所示，△ABC外侧有正方形ABDE与正方形ACFG，请你设计一个方案，将△ABC旋转一个角度，使得△AEG与由△ABC旋转得到的三角形的一边重合，另一边在同一条直线上．
《第二十三章旋转》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D C D B A D D
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】直接根据旋转的性质即可求解．
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，
∴点A和点D是对应点，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查平移、对称、旋转的区别，关键在于这项图形的大小不会发生变化．
根据图表观察，结合选项即可得到答案.
【详解】解：根据平移，旋转和轴对称的图形的大小不会发生改变，得到图形中开口向上的两个“E”之间，既不是平移，也不是旋转，也不是对称，
故选D
3．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键
4．D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、正三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、菱形，既是中心对称图形又是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．C
【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．
【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到．
A.
B.
C.
D.
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合
故选C．
【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．
6．D
【分析】求出A1，A2、 A3、A4、A5、A6，A7点的坐标，找出其中的规律即可．
【详解】解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是，
∵A5，A6关于点O对称，
∴A6表示的数是﹣9，
∵A6，A7关于点P对称，
∴A7表示的数是
……
∴关于P点对称的点表示的数是，
关于O点对称的点表示的数是，
∴点A14表示当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，要掌握用数轴上的点表示有理数，本题的关键是找出：，．
7．B
【分析】当的延长线恰好经过点C时，，即可求出的坐标，再求出的解析式即可；
【详解】当的延长线恰好经过点C时，
过作于E
∵
∴
由旋转可得：
∴
∵
∴，解得
∴
∴的坐标为
∴的解析式为
∵矩形
∴D点纵坐标与A一致为3
∵D在上
∴D点坐标为
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，求出的坐标是解题的关键．
8．A
【详解】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选A．
9．D
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称的点坐标符号相反是解题的关键．
先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a、b的值，然后再计算的值即可．
【详解】解：∵点关于原点对称的点为，
∴，
∴．
故选D．
10．D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【详解】解：第一个交通标志，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故A不符合题意，
第二个交通标志，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 故B不符合题意，
第三个交通标志既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故C不符合题意 ，
第四个交通标志，是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
11．B
【分析】根据中心对称的定义、轴对称的性质、旋转对称图形的定义解答即可.
【详解】(1)两个会重合的三角形不一定成中心对称，故此说法错误；
(2)成轴对称的两个图形中，对称点的连线段可能互相平行也可能在同一条直线上，此说法错误；
(3)线段沿着其垂直平分线对折，两旁的部分能够互相重合，故线段的垂直平分线是线段的对称轴，此说法正确；
(4)由平移得到的图形不一定可由翻折得到，故此说法错误；
(5)旋转对称图形不一定旋转180°，故不一定是中心对称图形，但中心对称图形一定是旋转对称图形，此说法正确；
故选：B
【点睛】本题考查的是中心对称的定义、轴对称的性质、旋转对称图形的定义，解答的关键是要对各图形的定义、性质有深刻的理解.
12．A
【分析】根据旋转、轴对称的定义来逐项分析，即可求解．
【详解】解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．
故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转、轴对称的定义，熟练掌握图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称是解题的关键．
13．
【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则，关于原点对称， 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.
【详解】∵四边形 是菱形，对角线相交于坐标原点
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，和； 和均关于原点对称
根据直角坐标系上一点 关于原点对称的点为可得
已知点的坐标是 ，则点的坐标是 .
故答案为：.
【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.
14．
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，旋转的性质，掌握二次函数图像的顶点式，旋转的性质是解题的关键．
根据题意，可得抛物线中，图像开口向上，顶点坐标为，由点的旋转可得图像开口向下，顶点坐标为，由此即可求解．
【详解】解：抛物线中，
∵，
∴图像开口向上，顶点坐标为，
∵将抛物线绕原点旋转，
∴图像开口向下，顶点坐标为，
∴旋转后的抛物线解析式为：，
故答案为： ．
15．15
【分析】把CD绕着点C逆时针旋转60°到达CE的位置，连接CE，DE，BE，可得△CDE是等边三角形，从而得到DE=CD=CE，∠DEC=60°，再由∠BCD=30°，可得BC⊥DE，然后根据AB=BC=CD，可得BC=CE，AB=DE，从而得到，进而得到∠BED=15°，再证得四边形ABED是平行四边形，即可求解．
【详解】解：如图，把CD绕着点C逆时针旋转60°到达CE的位置，连接CE，DE，BE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠DEC=60°，
∵∠BCD=30°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BCD=∠BCE，
∴BC⊥DE，
∵AB=BC=CD，
∴BC=CE，AB=DE，
∴，
∴∠BED=∠BEC-∠DEC=15°，
∵AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BAD=∠BED=15°．
故答案为：15
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
16．2.5
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据旋转，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转至，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：2.5
17．105．
【详解】试题分析：根据旋转可得∠BAB′=30°，AB=AB′，则∠B=75°，根据∠B+∠C=180°可得∠C=105°.
考点：旋转图形的性质.
18．图1可以由一个三角形依次旋转90°,180°,270°而形成;图2可以由一个十字花图案连续平移得到.(答案不唯一)
【分析】图1可以由基本图形三角形旋转3次得到，每次旋转90°，图2可以由一个基本图形十字花图案连续平移得到.
【详解】图1可以由一个三角形依次旋转90°,180°,270°而形成，图2可以由一个基本图形十字花图案连续平移得到.
【点睛】此题主要考查图形的设计.
19．见解析
【分析】本题主要考查的是利用平移、轴对称以及旋转设计图案，熟知图形平移、轴对称以及旋转的性质是解答此题的关键，本题是一道比较简单的基础题．
①根据图形平移的性质画出图形；②根据翻折变换的性质画出图形；③根据旋转的性质画出图形．
【详解】解：①如图2，
②如图3，
③如图4
20．（1）B，顺，图见解析；（2）A，逆，图见解析；（3）D，逆，图见解析
【分析】根据旋转的定义：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转；也就是说旋转是物体在以一个点或一个轴为中心的圆周上运动的现象，不一定要做圆周运动；据此解答即可．
【详解】解：（1）图形①是以点B为中心顺时针旋转的，在图①标出各点的对应点．
（2）图形②是以点A为中心逆时针旋转的，在图②标出各点的对应点．
（3）图形③是以点D为中心逆时针旋转的，在图③标出各点的对应点．
故答案为：（1）B，顺；（2）A，逆；（3）D，逆．
【点睛】本题主要考查了学生对旋转意义的掌握情况．解答此题应根据旋转的定义，并结合题意，进行分析，进而得出结论．
21．背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（）；（）；问题解决：（）证明见解析；（）；学以致用：
【分析】背景资料：根据等边三角形的判定、两点之间线段最短及周角的定义解答即可；
知识生成：（）由旋转可得，进而得到，，，，即可得为等边三角形，得到，，进而由勾股的逆定理得为直角三角形，得到，即得到，即可求解；
（）由等腰直角三角形的性质得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，即得，即得到，进而由得到，再根据勾股定理即可求证；
问题解决：（）在上取一点，使得，连接，可证为等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证；
（）由直角三角形的性质得，由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由点为的费马点，，利用勾股定理求出即可求解；
学以致用：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，，，即得和均为等边三角形，得到，，，进而得到，又由是等腰直角三角形，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，
则，，
∴，
∴，
故答案为：等边；两点之间，线段最短；；
知识生成：（1）由旋转可得，，
∴，，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）在中，∵，，
∴，
如图，将逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的费马点；
（）在中，∵，，，
∴，
∴，
如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，，
∴为等边三角形，，
∴，
∵点为的费马点，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的值是，
故答案为：；
学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，
由旋转的性质可得，，，，，
∴和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
22．见解析
【分析】延长到使，则为所作．
【详解】解：如图，与关于点中心对称．

【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．见解析
【分析】根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可．
【详解】解：在图中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，
答案如图所示；
【点睛】本题考查中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
24．见解析
【详解】试题分析：根据正方形的性质，得出数量关系，再根据旋转的性质设计方案.
试题解析： 由正方形的性质可得：AB=AE，AC=AG，∠BAC=∠BAE=∠EAG=∠GAC，可设计方案为：
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，这时AC与AG重合，AB旋转到AC的原位，与AE在同一直线上；
（2）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，这时AB与AE重合，AC旋转到AB的原位，与AG在同一直线上.
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