25.3用频率估计概率寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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25.3用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某人在做抛掷硬币试验时，抛掷次，正面朝上的次数为，则正面朝上的频率为．下列说法正确的是（ ）
A．的值一定等于0.5 B．的值一定不等于0.5
C．多投一次，的值更接近0.5 D．抛掷次数逐渐增加，的值稳定在0.5附近
2．Windows2000下有一个有趣的“扫雷”游戏.如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷.现在还剩下、、三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)，则、、三个方格中有地雷概率最大的方格是( )
2 2
A．A B．B C．C D．无法确定
3．某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干草莓进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表：
草莓总质量斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量斤 3.12 7.7 15.2 30 75
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.150 0.150
根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为（结果保留两位小数）（ ）
A．0.15 B．0.14 C．0.13 D．0.12
4．在投掷一枚硬币次的试验中，“正面朝下”的频数，则“正面朝下”的频率为( )
A． B． C． D．
5．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(　　)
A．0.22 B．0.56 C．0.50 D．0.44
6．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A．6个 B．15个 C．13个 D．12个
7．在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．有一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
10．下面关于投针实验的说法正确的是（　　）
A．针与平行线相交和不相交的可能性是相同的
B．针与平行线相交的概率与针的长度没有关系
C．实验次数越多，估算针与平行线相交的概率越精确
D．针与平行线相交的概率不受两平行线间距离的影响
11．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ）
A． B． C． D．
12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（ ）.
A．16个 B．14个 C．20个 D．30个
二、填空题
13．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是 ．（精确到）．
14．如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ．
15．如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．（结果精确到0.01）
16．当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的 附近，所以我们可以通过多次实验，用同一个事件发生的 来估计这事件发生的概率．(填“频率”或“概率”)
17．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ．
三、解答题
18．今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720名初二学生.调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：
(1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
(2)“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
(3)2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？
(4)请根据以上结论谈谈你的看法.
19．围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀．
(1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________；
(2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大．
20．某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”、B“欢乐跑”。小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组
(1)小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为 ；
(2)为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数 20 50 100 200 500
参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356
参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712
①估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ；（精确到0.1）
②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？
21．在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601
摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601
(1)表中的______，______；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1）
(3)如果箱子中一共有30个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？
22．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同．王颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 480 600 1800
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1）
（2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为　 　；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
23．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
24．同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格：
摸出红球的次数 10 21 32 54 90 145 203
实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700
摸出红球的频率 0．25 0．26 0．27 0．28 0．29
(1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数）
(2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算结果相同；
(3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来．
《25.3用频率估计概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A A B D C D B C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
【详解】解：抛掷硬币试验，正面朝上的概率为：
随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率会逐渐稳定附近
故选：D
【点睛】本题考查用频率估计概率．掌握相关结论是解题关键．
2．A
【分析】根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案.
【详解】根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，
∴A处是雷，则B，C处均不地雷，
P（A）=1；P（B）=0；P（C）=0．
故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A
故选A．
【点睛】此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．
3．A
【分析】本题考查利用频率估计概率，随着随机抽样次数的增多，草莓的损坏频率会稳定在一个数值附近，这个数值就是草莓损坏率，据此求解即可得到答案．熟记利用频率估计概率的原理是解决问题的关键．
【详解】解：由数据记录表可知，草莓损坏的频率稳定在0.15附近，
故选：A．
4．A
【分析】根据事件发生的频率的定义，求得事件“正面朝下”的频率即可．
【详解】解：“正面朝下”的频数，则“正面朝下”的频率为，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了频率的定义，解题的关键是正确理解题意，掌握频率的定义以及用频数计算频率的方法．
5．B
【分析】由于事件“凸面向上”和“凹面向上”是对立事件，根据对立事件的概率和为1计算即可．
【详解】瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44，
则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1-0.44=0.56，
故答案为0.56．
【点睛】本题考查了概率的意义、等可能事件的概率，解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面．
6．D
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．
∴，解得：x=12．
经检验：x=12是原方程的解
∴白球的个数为12个．
故选D．
7．C
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为 ，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数．
【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为 ，
∴袋子里红球的个数估计是（个）．
故选：C．
8．D
【详解】题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于不放回实验．
解：设这四个卡片分别为：A，B，C，D，
画树状图得：
∴一共有12种情况，
∵A、-5-2=-7，本项错误；
B、+=2，此项正确；
C、a5-a2≠a3，本项错误；
D、a6 a2=a8，此项正确，
∴抽取的两张卡片上的算式都正确的有BD，DB共2个，
∴抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是=．
故选D．
9．B
【详解】解：由题意得，×100％=20％，
解得，a=15.
故选：B.
10．C
【分析】针的长度有限，两平行线间的距离如果大于针的长度，就不可能相交，两平行线间的距离如果小于针的长度，那么必定相交
【详解】针与平行线相交的概率受到平行线距离与针长度的影响，所以A、B、D错误，实验次数越多，估算的针与平行线相交的概率越精准，故C对
【点睛】考查模拟实验的特点，能够根据模拟实验的特点进行分析是本题关键
11．C
【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可．
【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次，
∴；
故选C．
12．B
【详解】解：由题意可得：，
解得：x=14，经检验，x=14是原方程的解
故选B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．
13．
【分析】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可．
【详解】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，
∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是，
故答案为：．
14．7
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，
解得．
故答案为：7．
15．0.88
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可．
【详解】解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这种幼树移植成活的概率约为0.88．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比，掌握以上知识是解题的关键．
16． 概率 频率
【分析】根据频率与概率的关系求解．
【详解】当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的概率附近，所以我们可以通过多次实验，用同一事件发生的频率来估计这事件发生的概率，
故答案为概率、频率．
【点睛】考查利用频率估计概率时的条件：大量反复试验下频率稳定值即概率．
17．．
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率．
【详解】解分式方程得：
方程的解为负数，
且，
解得：且，
一次函数图象不经过第一象限，
，
且，
在，，，，，这个数中符合且的有，这个数，
使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零．
18．(1) ； (2) 图详见解析； (3) 1.8万人； (4) 说明：内容健康，能符合题意即可.
【分析】（1）根据扇形统计图得出，超过1小时的占90°，利用圆心角的度数比即可得出概率；（2）利用“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是 ，得出“每天锻炼不超过1小时”的学生的概率是，用总人数720乘以即可得“每天锻炼不超过1小时”的学生人数，再减去“不喜欢锻炼”和“其它”的学生人数，即可得“没时间”锻炼的人数；补全统计图即可；（3）利用样本估计总体即可得出答案；（4）根据锻炼身体的情况可以提出一些建议．
【详解】(1) ＝，
　　∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是
(2) 720×－120－20＝400(人)，
　　∴“没时间”锻炼的人数是400
(3) 2.4×＝1.8(万人)，
　　∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人.
(4) 说明：内容健康，能符合题意即可,
例如：根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现，同学们需要加强锻炼．
【点睛】此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用，根据扇形图与条形图综合应用得出“每天锻炼未超过1小时”学生的概率是解决问题的关键．
19．(1)0.35（或）
(2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大
【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
（1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可；
（2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解．
【详解】（1）；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种，
（赵婷执黑棋），P（李海执黑棋），
（赵婷执黑棋）（李海执黑棋），
这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大．
20．(1)
(2)；
【分析】（1）结合题意，利用概率公式直接求解即可；
（2）①结合表格信息，根据用频率估计概率的知识可求解；②参加“欢乐跑”人数的概率约为，总人数约为（人）；
【详解】（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组，
∴小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）由表格中数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为：；
故答案为：；
②参加“欢乐跑”人数的概率约为，总人数约为（人），
答：本次参赛选手的人数是人．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题的关键．
21．(1)；
(2)
(3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球
【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义．
（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是，
故答案为：；
（3）（个），
∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球．
22．（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只
【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数＝球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解．
【详解】（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；
（3）黑白球共有20只，
白球为：50×0.6＝30（只），
黑球为：50﹣30＝20（只）．
答：盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
23．（1）0.9；（2）瓶
【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
（2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．
【详解】解：（1）依题意可知，
今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为；
（2）根据题意可知：
该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元，
设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则：
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，与时比较，
六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，
所以其每天的平均利润比时平均每天利润少．
综上所述：时，的值达到最大．
即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率．
24．(1)；
(2)2
(3)3个
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，几何概率，用频率估计概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可；
（2）根据表格可得摸出红球的频率逐步稳定在附近，则摸出红球的概率约为，再根据概率计算公式求解即可；
（3）用球的总数乘以自由转盘转到红色区域的概率即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，；
（2）解；由表格可知，随着实验次数的增加，摸出红球的频率逐步稳定在附近，
∴摸出红球的概率约为，
∴袋子中大约有红球个；
（3）解：个，
∴应该有3个红球．
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