23.1图形的旋转寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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23.1图形的旋转
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．3
2．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，将平行四边行绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．下列现象：①时针转动；②荡秋千；③转呼啦圈；④传送带上电视机的运动．其中属于旋转的有(　　)
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
5．如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的．下列叙述中错误的是（ ）
A．旋转中心是点 B．旋转角可能是
C． D．
6．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1-x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同 B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象 D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
7．如图将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条顺时针旋转了是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值（ ）
A． B．3+ C． D．3+
9．在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，中，，，将绕点顺时针旋转（）得到．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
11．下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移
C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称
12．经过平移或旋转不可能将甲图案变成乙图案的是( ).
A． B． C． D．
二、填空题
13．下列图形既是旋转对称图形又是中心对称图形的一共有 个.
14．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图象绕着点(﹣1，0)旋转180°，得到新的二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，那么c的值为 .
15．如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系第一象限内，先将它向下平移个单位后，再将它绕原点旋转，则小花顶点的对应点的坐标为 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为 ．
17．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ．
三、解答题
18．用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c．
(1)请结合图①，证明勾股定理．
(2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________．
(3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________．
19．如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
(1)求证：．
(2)当时，求与的度数和．
20．（1）模型建立：如图1，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除）；
（2）模型应用：如图2，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线的表达式；
（3）探究提升：如图3，在平面直角坐标系中，，点B在y轴上运动，将绕点A顺时针旋转至，连接，求的最小值，及此时点B坐标．
21．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
22．如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4．
(1)若∠ABC＝135°．
①求证：B、E、D三点共线；
②求BG的长；
(2)若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．
23．某产品的标志图案如图(1)所示，要在所给的图3-122(2)中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图(1)一样的图案．
(1)请你在图3-122(2)中作出变换后的图案；(最终图案用实线)
(2)你所用的变换方法是 .(填序号)
①将菱形B向上平移；②将菱形B绕点O顺时针旋转120°；③将菱形B绕点O旋转180．
24．在锐角中，，，于点．
(1)如图1，过点作于点，求证：；
(2)动点从点出发，沿射线运动，连接，过点作，且满足．
①如图2，当点在线段上时，连接分别交、于点、．请问是否存在某一时刻使得和成轴对称，若有，求此刻的大小；若没有，请说明理由．
②如图3，连接，交直线于点，当点在线段上时，试猜想和的数量关系并证明；当点在的延长线上时，若，请直接写出的值．
《23.1图形的旋转》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A D D D A B C
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．
【详解】解：设CD、B′C′相交于点M，连接AM，DM＝x，
∵将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，
∴∠MAD＝30°，AM＝2x，
在△ADM中，x2+3＝4x2，
解得：x＝1，
∴SADMB′＝，
∴图中阴影部分面积为：3﹣．
故选：B．
【点睛】本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．
2．C
【分析】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据点、、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可．
【详解】解：点、、在同一条直线上，
，
，
．
旋转角等于，
故选：C．
3．B
【分析】如图，连接OB、AC交于点O，求出点O坐标，可得点B坐标，连接OB′，分别过点B′、B作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，证明△B′OE≌△BOF（AAS），求出OE＝OF＝5，B′E＝BF＝4即可得出答案．
【详解】解：连接OB、AC交于点M，
∵，
∴M（，），即M（，2），
∴B（5，4），
将平行四边行绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点，
连接OB′，分别过点B′、B作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，
则OF＝5，BF＝4，∠B′EO＝∠OFB＝90°，OB′＝OB，
∵∠B′OB＝∠EOF＝90°，
∴∠B′OE＝∠BOF，
∴△B′OE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF＝5，B′E＝BF＝4，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，求出点B的坐标是解答此题的关键．
4．A
【详解】分析：根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
详解：①时针转动，是旋转现象；
②荡秋千，是旋转现象；
③转呼啦圈,不是旋转现象；
④传送带上电视机的运动，是平移现象.
属于旋转的有①②．
故选A．
点睛：本题考查了生活中的平移，是基础题，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．观察图形，选择旋转中心，旋转方向，旋转角．旋转中心只有一个，旋转方向可以是顺时针或者逆时针，相应的旋转角不同．
【详解】解：A、通过旋转得到，它的旋转中心是点，正确，不符合题意；
B、即顺时针旋转的旋转角为，正确，不符合题意；
C、由旋转可得，正确，不符合题意；
D、由旋转可得，错误，符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的关系．
【详解】∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，
抛物线y2＝（1-x）2＝（x-1）2，
∴抛物线y1的开口向上，顶点为（-1，0），对称轴为直线x=-1；抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x=1，故选项A说法正确，不符合题意；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确，不符合题意；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确，不符合题意；
∵y1绕原点旋转得到的抛物线为y=-（x+1）2，与y2开口方向不同，
∴D错误，符合题意．
故选：D
【点睛】主要考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与y轴的关系是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：如图，设木条顺时针旋转了到达使B到达A处，
根据题意得，，，
∴，
当时，，
∴，
故选：D．
8．A
【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA+PB+PC=PC+PF+EF，因为PC+PF+EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，求出EC的长即可解决问题．
【详解】解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．
由旋转的性质可知：△PBF是等边三角形，
∴PB=PF，
∵PA=EF，
∴PA+PB+PC=PC+PF+EF，
∵PC+PF+EF≥EC，
∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，
由旋转可知：BC=BE=BA=3，∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴EB⊥BC，
∴EC=BC=，
∴PA+PB+PC的最小值为，
故选A．
【点睛】本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．B
【分析】本题考查了平移和旋转，坐标与图形，根据题意，画出图形，即可得出答案，掌握平移、旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，可画出如下图形：

∴点的坐标，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形特征，熟练掌握及运用其性质是解答本题的关键．根据旋转可得，，进一步得，再利用平行线的性质倒角，最后根据三角形的内角和定理即可求得结果．
【详解】解：由旋转得，，，
中，，，
，
，
，
在中，，
整理得，．
故选：C．
11．A
【分析】本题主要考查了几何变换的类型，解题关键是正确判断．
根据平移变换，旋转变换，旋转变换变换的定义判断即可．
【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换→平移变换→旋转变换．
故选：A．
12．C
【详解】本题考查了平移和旋转的性质
根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择．
A、B、D通过旋转和平移，和乙图各点对应，均正确；C、经过平移和旋转变换不可能将甲图案变成乙，故错误．故选C．
13．1
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念并结合各个选项图形的特点进行判断求解即可．
【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故答案为1
【点睛】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于识别图形.
14．-15
【分析】由于图象绕定点旋转180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解析式.
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1的顶点坐标为(2，﹣1)，
∴绕(﹣1，0)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(﹣4，1)，
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣(x+4)2+1＝﹣x2﹣8x﹣15
∴c的值为﹣15.
故答案为﹣15
【点睛】本题考查了二次函数变换的知识点，应根据开口方向，开口度，对称轴，与y轴交点，顶点坐标几方面进行考虑．
15．．
【分析】先将点A向下平移4个单位，记为B，据平移性质求出其坐标；再据关于原点O成中心对称的点的坐标的特征，求出与点B关于原点O成中心对称的坐标即是的坐标．
【详解】如图

从图由平面直角坐标系可得，因为A向下平移个单位,所以对其横坐标不变，纵坐标减4，可得对应点的坐标为B，
再由将B绕原点旋转，对B的纵横坐标取相反数可得对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系中，点的平移与点的坐标变化的规律，关于原点成中心对称的点坐标变换特征．解决此类问题除了熟悉相关坐标变化的规律外，更关键的是要心中“有图又有数，图变数亦变，数变图亦变”的空间想象力 ．
16．（6048，2）．
【详解】试题分析： ∵AO=，BO=2，
∴AB==，
∴OA+AB1+B1C2=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6=6048．
∴点B2016的纵坐标为：2．
∴点B2016的坐标为：（6048，2），
∴B2017的横坐标为6048++=6052，
∴点B2017的坐标为，6062，0），
考点：坐标与图形变化-旋转；规律型：点的坐标．
17．
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由旋转性质可知，，，，通过等边对等角可得，，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由旋转性质可知，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）大正方形的边长为c，其面积为，大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，其面积为，据此可证明勾股定理；
（2）设，则，根据周长计算公式可建立方程求出，则可利用勾股定理得到，解方程即可得到答案；
（3）根据正方形面积计算公式可得，再由可得的值，进而可得答案．
【详解】（1）证明：图①中大正方形的边长为c，小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为；
又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，
∴大正方形的面积为，
∴；
（2）解：由题意得，，
，
设，则，
∵该八边形的周长为48，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由旋转的性质可得，
∴正方形的边长为；
∵正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质：
（1）利用证明即可；
（2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
20．（1）；（2）点C的坐标为，直线的解析式为或点C的坐标为，直线的解析式为；（3），
【分析】（1）只需要利用证明，得到即可得到结论；
（2）以点A为直角顶点时，如图，过点C作于点D．先求出．证明，得到，则，即可求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为；当以点B为直角顶点时，过点C作于点D．如图，同理可求： ，出直线的解析式为；
（3）如图所示，取，，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，即可得到，则点C在直线上运动，作点O关于直线的对称点H，连接，则，故当三点共线时，最小，即最小，此时点C运动到点G，则的最小值为，求出直线的解析式为，进而求出，得到，则．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图所示，以点A为直角顶点时，如图，过点C作于点D．
在中，当时，；当时，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为；
当以点B为直角顶点时，过点C作于点D．如图，
同理可求：，
∴，
∴．
同理可求出直线的解析式为；
综上所述，点C的坐标为，直线的解析式为或点C的坐标为，直线的解析式为；
（3）如图所示，取，，连接，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
作点O关于直线的对称点H，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，此时点C运动到点G，
∴的最小值为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6．
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
22．(1)①见解析；②BG＝4
(2)22
【分析】（1）①由旋转的性质可得∠ACD＝90°＝∠BCE，AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，由等腰三角形的性质可得∠BEC＝45°＝∠CBE，可证∠BEC+∠CED＝180°，可得结论；
②通过证明四边形ABDG是矩形，可得AD＝BG，由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由垂线段最短可得当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求DE的长，由正方形的性质可得BC＝PE＝2，即可求解．
【详解】（1）①证明：如图，连接AG，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，∠ACD＝90°＝∠BCE，
∴AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，
∴∠BEC＝45°＝∠CBE，
∴∠BEC+∠CED＝180°，
∴B、E、D三点共线．
②∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴AB＝DE＝DG，
∵∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°，
∴∠ABE+∠EDG＝180°，
∴AB∥DG，
∴四边形ABDG是平行四边形，
又∵∠BDG＝90°，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AD＝BG，
∵AC＝CD＝4，∠ACD＝90°，
∴ADAD＝4，
∴BG＝4．
（2）如图，
∵点P在边AB上，
∴当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，
由旋转的性质可得：∠ABC＝∠CED＝∠BCE＝90°，
∴BC∥DE，
∵∠ABC+∠BPD＝180°，
∴DP∥BC，
∴点P，点E，点D三点共线，
∵AC＝2CE，
∴BC＝CE＝2，
又∵∠ABC＝∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴四边形BPEC是正方形，
∴BC＝PE＝2，
∵CD＝AC＝4，CE＝2，∠CED＝90°，
∴DE2，
∴DP＝22，
∴线段PD的最小值为22．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．①或③
【详解】试题分析：首先分析①②的不同，变化前后，AC的位置不变，只有B的位置由O的下方变为O的上方，据此即可作出判断．
试题解析：解：（1）观察分析①②的不同，变化前后，AC的位置不变，而B的位置由O的下方变为O的上方，进而可得两者对应点的连线交于点O，即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形B绕点O旋转180°，可作图得：
（2）变换方法是将菱形B绕点O旋转180°，即③．
也可以将菱形B往上平移得到结论，即①．
故答案为①或③．
24．(1)见解析
(2)①60度；②，理由见解析，
【分析】（1）根据全等三角形的判定得出与全等，进而解答即可；
（2）①根据直角三角形的性质和对称的性质解答即可；
②过点作，交于，根据全等三角形的判定得出与全等，进而解答即可．
【详解】（1），
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①存在某一时刻使得和成轴对称，
，
，
由（1）的证明可知，根据对称的性质，得：，
，
；
②，理由如下：
过点作，交于，则，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，
由上述证明过程可知，，
，
，
，
．
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