22.3实际问题与二次函数寒假练习 （含解析）人教版数学九年级上册

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22.3实际问题与二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
2．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，BC的长y米，菜园的面积为S(单位：平方米) ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
3．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－＋x＋，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．2米 C．8米 D．10米
4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A．3m B．4m C．8m D．10m
5．已知x为矩形的一边长，其面积为y，且， 则自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．0≤x≤4 D．
6．某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预期最近的促销活动，单价是19元时只能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件，那么单价是　　元时，此次促销活动的预期获利最大．
A．15 B．16 C．17 D．18
7．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为，距地面均为，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离、处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）
A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
9．如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．则下列结论错误的是（ ）
A．当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离是
B．当小球落在斜坡上时，它离点的水平距离是
C．小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离是
D．该斜坡的坡度是：
10．如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是( )

A． B． C． D．
11．如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
12．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
二、填空题
13．已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长可能达到的最小值是 .
14．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m．
15．要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与处达到最高，高度，水柱落地处离池中心，应安装水管的长度是 ．
16．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 ．
17．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2 ．
三、解答题
18．某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．
19．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
(1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
20．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后滑行多远才能停下来？
21．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式.
22．足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用时．

(1)求与之间的函数解析式；
(2)足球的飞行高度能否达到？请说明理由．
23．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴的另一个交点为A(－2，0)．
（1）求二次函数的解析式
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，）满足一次函数关系，部分数据如表：
x/（元/件） 13 14 15 16
y/件 1100 1000 900 800
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当线下售价x为多少时，线下月销售利润最大，最大是多少？
(3)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，）之间的函数关系式．
《22.3实际问题与二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D B C D B C A
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
【详解】解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，
抛物线的对称轴直线是：，
抛物线开口向下，
时，函数值最大，
即第12秒炮弹所在高度最高，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
2．A
【分析】根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可．
【详解】解：由题意可知：，
，则，即，y与x满足一次函数关系
菜园的面积：，S与x满足二次函数的关系
故选A
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
3．C
【分析】令y=0，求得x的值，取正值即可．
【详解】∵y＝－＋x＋，
令y=0，
∴－＋x＋=0，
∴，
解得x=8或x=-2(舍去)，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确解方程是解题的关键．
4．D
【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩.
【详解】由题意得，当y=0时，
，
解得：，（舍去）
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键.
5．B
【分析】本题考查了自变量的取值范围，读懂题意是解题关键．
根据矩形的边长大于0，列出两个不等式，解不等式即可．
【详解】由题意得,
解得．
选B．
6．C
【分析】根据题意可以得到利润和单价的关系式，从而可以求得当单价为多少时，利润最大，本题得以解决．
【详解】设服装单价是x元，销售利润为w元，
所以当x=17时，w取得最大值，
故选：C.
【点睛】考查二次函数的应用，列出二次函数解析式，配方成顶点式即可求出单价为多少时，利润最大.
7．D
【分析】将（0，1）代入求得函数解析式为，再由题意可得方程，由存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，故△，即可求出相应的范围．
【详解】解：将（0，1）代入，得：
，
解得：，
∴，
令，则可得方程，
∵存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，
∴方程有两个不相等的实根，
整理得：，
△，
解得：，
又，
∴的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．
8．B
【详解】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，
∴y=- x2+ x+ ,
∵丁头顶的横坐标为1.5，
∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.
故选B.
9．C
【分析】根据二次函数的性质求出顶点坐标判断；列方程组求出二次函数与一次函数的交点坐标判断B；根据二次函数的性质判断C，根据坡度的定义判断D．
【详解】解：，
顶点坐标为，
把代入得，，
当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离，故A正确，不符合题意；
，
解得，，，
当小球落在斜坡上时，它离点的水平距离是，故B正确，不符合题意；
小球在运行过程中，它离斜坡的竖直距离，
则小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离为，C错误，符合题意；
斜坡可以用一次函数刻画，
该斜坡的坡度是：，D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、二次函数与一次函数的交点坐标，掌握坡度的概念、正确求出二次函数与一次函数的交点坐标是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意应分两种情况讨论：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，再分别根据相应图形的面积公式确定关系式，进而可得答案．
【详解】解：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，阴影部分的面积为：y＝x2，
它的图象是一条开口向上、对称轴为y轴的抛物线段；
当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，面积为：y＝2﹣（x﹣2）2，
它的图象是一条开口向下、对称轴为直线x=2的抛物线段．
纵观各选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与图形运动问题，解决本题的关键是确定每种情况阴影部分与x的关系式，然后根据函数的性质确定选项．
11．D
【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，，
当点在上，即时，如下图所示
此时，
∴，，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
当点在上，即时，如下图所示，过点作于，
此时，，
∴四边形为矩形，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，此时图象为逐渐上升的一条线段；
当点在上，即时，如下图所示，
此时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为，
故选：．
12．D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
【详解】解：根据题意，得
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
13．
【详解】设一条直角边长为x，则另一条直角边长为2－x.
由勾股定理得，斜边长＝＝，∴斜边长的最小值为.
14．8
【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可．
【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为
将点(0，1.28)代入，得
即抛物线解析式为，
当 化简，得
解得： (舍去)．
故答案为：8．
15．
【分析】设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得y的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当时，．
∴水管的长度是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
16．32
【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
17．75
【详解】解：首先设垂直于墙面的长度为x，则根据题意可得：平行于墙面的长度为（30－3x），
则S=x（30－3x）=－3+75，
则当x=5时，y有最大值，最大值为75，
即饲养室的最大面积为75平方米.
故答案为：75.
18．当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个
【分析】平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，平均每棵树结个橙子，可知现在有棵树，平均每颗产量为，由此即可求解．
【详解】解：有棵橙子树，平均每棵树结个橙子，假设果园增种棵橙子树，假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，
∴，
∴当时，总产量为有最大值，其最大值为，
∴当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，分析题目意思，找出数量关系，列方程，掌握二次函数图像的性质特征是解题的关键．
19．(1)
(2)4条
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为（为常数，且），
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
20．飞机着陆滑行才能停下来．
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：
，
∵，∴当时，s取最大值，且最大值是600．
即飞机着陆滑行才能停下来．
21．y=-10x 2 +280x-1 600.
【详解】试题分析：确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，即可得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.
试题解析：销售价每件定为x元，则每件利润为（x-8）元，销售量为[100-10（x-10）]件，
根据利润=每件利润×销售量，
可得销售利润y=（x-8） [100-10（x-10）]=-10x2+280x-1600.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，正确确定数量关系是解题的关键.
22．(1)与之间的函数解析式为
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出抛物线的顶点坐标，进而比较求解即可．
【详解】（1）设抛物线的关系式为，将，，代入得：
，解得，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∵，
∴足球的飞行高度不能达到4.88米．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的关系式以及抛物线的顶点坐标的求法等知识，数形结合对理解题意有很大的帮助．
23．（1）y＝－x2－2x；（2）（3，-3），（1，-3）．
【分析】（1）把点（0，0）和点A（-2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值；
（2）设点P的坐标为（x，-x2-2x），利用三角形的面积公式得到-x2-2x=±3，通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．
【详解】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点（0，0）
∴c=0．
又∵二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（-2，0）
∴-（-2）2-2b+0=0，
∴b=-2．
∴二次函数的解析式：y＝－x2－2x；
（2）存在一点P，满足S△AOP=3．
设点P的坐标为（x，-x2-2x）
∵S△AOP=3
∴×2×|-x2-2x|=3
∴-x2-2x=±3．
当-x2-2x=3时，此方程无解；
当-x2-2x=-3时，
解得 x1=-3，x2=1．
∴点P的坐标为（-3，-3）或（1，-3）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解（1）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．
24．(1)
(2)当线下售价x为每件17元时，线下月销售利润最大，最大是4900元
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的解析式，二次函数的解析式及性质，解题的关键是理解题意，列出函数解析式．
（1）根据题意，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意，列出二次函数解析式，利用顶点式分析最值即可；
（3）根据题意，列出二次函数解析式即可．
【详解】（1）解：∵y与x满足一次函数的关系，
∴设．
将，；，代入，得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设线下销售利润为，根据题意可知，，
，
，
∴当线下售价x为每件17元时，线下月销售利润最大，最大是4900元；
（3）解：根据题意可知，
．
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