22.2二次函数与一元二次方程寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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22.2二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根
3．根据下列表格中关于的代数式的值与对应值，
那么你认为方程、、为常数的一个解最接近于下面的（　　）
A．5.1 B．5.1 C．5.1 D．5.1
4．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是（ ）
A． B． C． D．
5．a、b、c为△ABC三边，b＞a，a是c+b，c﹣b的比例中项，抛物线y=x2﹣（sinA+sinB）x﹣（a+b+c）的对称轴是x=，交y轴于（0，﹣30），则方程ax2﹣cx+b=0的根的情况是（　　）
A．有两不等实根 B．有两相等实根
C．无实根 D．以上都不对
6．已知二次函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的两个解为（ ）．

A．，3 B．，3 C．1，3 D．3，4
7．关于函数．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图像总经过点和
B．当时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若，则当时，y随x的增大而减小
D．当时，函数有最小值
8．抛物线 y ＝ ax 2 +2ax+c ( a ≠0)与 x 轴的一个交点为(－5,0)，则它与 x 轴的另一个交点的坐标为（　　）
A．(3,0) B．(－3,0) C． D．不能确定，与 a 的值有关
9．已知二次函数的y与x 的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时， D．方程的正根在 2 与 3 之间
10．已知抛物线y=x2+(2a-1)x+1-2a与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，且-1x10，0x2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
11．已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线，有下列结论：
；关于的方程有两个不等的实数根；③．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．的图像如图所示，对称轴，若关于的(为实数)在的范围内有解，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．根据下列表格可以判断方程（，为常数）的一个解 ．
x
0.025 0.104
14．把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
15．已知抛物线经过点和，对称轴为直线，则它与x轴的另一个交点为 ，抛物线的表达式为 ．
16．已知二次函数y＝﹣(x﹣2)2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是 .
17．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）经过点(3，0)，对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①点P1(－2020，y1)，P2(2023，y2)在抛物线上，则y1＞y2；②2a＋c＜0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝p的两个实数根为m，n（n＜m），若p＞0，则m＜3且n＞－1；④a（1－t2）≥b（t－1）（t为常数）．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
18．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
（1）；（2）．
19．图1是一种数值转换器的示意图，图2是小敏按照其对应关系画出的y关于x的函数图象．已知点A的坐标为（0，3），点B的横坐标为4．
（1）求m，n的值和输出y的最小值；
（2）当y=5时，求x的值．
20．如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．
21．阅读理解：如果联列函数与得关于x的一元二次方程（p≠0，p、q、r均为常数），则函数与图像的交点横坐标就是的两个实数根，此时有．二次函数的图像如图所示，且与一次函数的图像有两个交点和．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若，试判断：与有大小关系，并说明理由；
（3）若，求n的范围．
22．如图，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D，求的值．
23．已知二次函数．

(1)如图，二次函数的图象与轴有两个公共点，求的取值范围；
(2)如图，当时，二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴的另一个交点为，为抛物线对称轴上的一个动点，求的最小值及此时点的坐标．
24．已知二次函数．

(1)用配方法将化成的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
(2)当x取何值时，y随x的增大而减少？
(3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
《22.2二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C C A D A D D
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数．
【详解】解：∵△=b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4＜0，
∴该二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴无交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．B
【分析】根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程有两个异号的实数根．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，
∴关于x的一元二次方程有两个异号的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数的图像与x轴有交点的横坐标即为关一元二次方程的根是解答本题的关键．
3．C
【分析】观察表格确定出解的范围，进而求出近似解即可．
【详解】解：根据表格可得方程、、为常数的一个解的范围为，
，且，
方程的解最接近于
故选：C．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
4．C
【分析】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点；设，在抛物线上，在直线上，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，根据一次函数的性质可得，据此即可求得答案．
【详解】根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点．
设，在抛物线上，在直线上．
根据题意，得
．
移项，得
．
可得
．
根据题意，得
．
可得
．
则
．
可得
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数，牢记二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
5．C
【分析】首先证明△ABC是直角三角形，想办法求出a，b，c的值，利用判别式即可解决问题．
【详解】解：∵a是c+b，c﹣b的比例中项，
∴a2=（c+b）（c﹣b），
∴a2=c2﹣b2，
∴a2+b2=c2①
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB=，
由题意：，
解得c=13，
a+b=17 ②，
由①②，
∵b＞a，可得a=5，b=12，
对于方程ax2﹣cx+b=0，
=c2﹣4ab=169﹣4×12×5=﹣71＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、比例线段、解直角三角形、二次函数图象与系数的关系．
6．A
【分析】根据二次函数的性质，从函数的图象可知函数的对称轴及与x轴一个交点坐标，即可求解．
【详解】解：由图象可知：二次函数的对称轴是直线x=1，
函数与x轴的一个交点为（3，0），
则该函数与x轴的另一个交点横坐标为：1-（3-1）=-1，
∴交点为（3，0）和（-1，0），
∴方程的解应为：x=-1或x=3，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7．D
【分析】根据函数的性质逐个求解即可．
【详解】解：A．∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，
当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2，
∴图像过（1，0）和（﹣1，2），
故选项错误，不符合题意；
B．∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，
∴该函数与x轴只有一个交点，
故选项错误，不符合题意；
C．∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1），
∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1，
∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大，
故选项错误，不符合题意；
D．∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1，
故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数的增减性，熟悉二次函数与坐标轴的交点坐标、对称轴，顶点坐标等求法，是解题的关键．
8．A
【详解】设抛物线y＝ax 2 +2ax+c ( a ≠0)与 x 轴的另一个交点为(x1,0)，
则ax 2 +2ax+c＝0的两根为－5和x1，
∵－5+ x1＝＝－2，
∴x1＝3，
即另一个交点为(3,0).
故选A.
9．D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的解析式为，即可判断A、B，再求出当时的值即可判断C，求出方程的判别式，并结合表格即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：将，，代入抛物线解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
抛物线与y轴交于，即抛物线与y轴交于正半轴，故B错误，不符合题意；
当时，，故C错误，不符合题意；
∵当时，，且方程的判别式，
∴结合表格可得，方程的正根在 2 与 3 之间，故D正确，符合题意；
故选：D．
10．D
【分析】根据题意画出图象，结合图象列出不等式组求解即可．
【详解】解：由于抛物线y=x2+(2a-1)x+1-2a与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，且-1x10，0x2，
所以，画图象得，
由图象得，
∴，
综上所述，a的取值范围是：．
故选：D．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，需要掌握二次函数图象的性质，难度不大．
11．C
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，由题意得到抛物线的开口向下，对称轴判断，与的关系，得到即可判断；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断；根据抛物线经过点以及，得到，即可判断，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线开口向下，与轴有两个交点，
∴顶点在轴的上方，
∵，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
∵抛物线经过点，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
故选：．
12．C
【分析】根据二次函数解析式求出最小值，再求出x=4时的函数值，然后根据二次函数的增减性写出t的取值范围即可．
【详解】解：∵对称轴为直线x=1，
∴，
解得：，
∴；
当x=1时，，此时y为最小值；
当x=4时，，
∴在-1＜x＜4的范围内有：-1≤y＜8，
∵x2+bx-t=0可变形为x2+bx=t，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自变量的取值范围的影响．
13．
【分析】随着取值的变化，的值由负到正，由表格可近似地求出时，对应的一个近似数的解．
【详解】解：根据表格可知：当时，；时，，根据的值由负到正，且，可知关于的方程（，为常数）的一个解的近似值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系，弄清估算解的方法是解本题的关键．
14．m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
15．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和求二次函数与x轴的交点坐标．先利用条件确定与轴的另一个交点为，再设抛物线表达式为：，再将的坐标代入表达式得，解得，最后求得表达式即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
设抛物线的表达式为，
把的坐标代入表达式得，解得，
∴抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
16．y1＜y2
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y1与y2的大小关系.
【详解】解：∵y＝﹣(x﹣2)2+c，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2.
故答案为：y1＜y2.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据解析式确定开口方向和对称轴．
17．①③④
【分析】利用抛物线的对称性以及图像与性质可以判断①是否正确，利用抛物线与一元二次方程的关系以及结合根与系数的关系分析即可判断②③④是否正确．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，
∴点P1(－2020，y1)与点(2022，y1)关于直线x＝1对称，
∵图像开口向下，
∴，当x＞1时，y随x的增大而减小，
由2022＜2023
∴y1＞y2，
故①正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）经过点(3，0)，
∴抛物线与x轴另一交点为(-1，0)，
∴x=3和x=-1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根，
∴，
∴，
∴，
故②错误；
如图所示，当p＞0时，抛物线与直线y＝p的交点横坐标在-1和3之间，
故③正确；
∵x=3和x=-1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根，
∴
∴，
∴a（1－t2）-b（t－1）= a（1－t2）+2a（t－1）=，
∴a（1－t2）≥b（t－1）（t为常数），
故④成立；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图像与性质、二次函数与一元二次方程之间的关系、根与系数的关系等内容，在比较大小时应掌握作差法，通过配方确定代数式的符号，本题考查了学生综合分析问题的能力，要求学生能正确理解函数图像，蕴含了数形结合的思想方法等．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）设y=2x2+x-15，根据图象与x轴的交点横坐标求解；
（2）设y=3x2-x-1，根据图象与x轴的交点横坐标求解．
【详解】
解：(1)函数y=2x2+x-15的图象如图：
由图象可知x1≈2.4，x2≈-3.1；
(2)函数y=3x2-x-1的图象如图：
由图象可知x1≈0.8，x2≈-0.4；
【点睛】本题考查了二次函数图象的运用．关键是将所求一元二次方程转化为相应的二次函数，画出函数图象，图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解．
19．（1）m=3，n=2；y最小=2；（2）x1=6+，x2=6﹣，x3=．
【分析】（1）根据数值转换器，可得函数解析式，根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得相应自变量的值．
【详解】解：（1）由数值转换器，得
y=，
当x=0时，y=m=3，
当x=4时，y=3+3=6，即B（4，6）．
将B点坐标代入y=（x﹣6）2+n，得
4+n=6，解得n=2；
当x=6时，y最小=n=2；
（2）当y=5时，x+3=5，解得x=，
当y=5时，（x﹣6）2+2=5，解得x1=6+，x2=6﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象，利用待定系数法求函数解析式是解题关键，又利用了二次函数的性质得出自变量与函数值的对应关系．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）分别求出图象对称轴及时x的值，结合图象即可得到x的取值范围．
【详解】（1）将（1，0）和代入中，得
，
解得，
∴此二次函数的表达式为；
（2）∵，
∴图象的对称轴为直线，
∵图象与y轴交点为，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，或．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键．
21．（1）；（2），见解析；（3）2≤
【分析】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），利用抛物线顶点式，把点C代入得，求得即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小， 由，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 可得；
（3）联立函数消去y得由方程恒有两个实根，知△>0，即△=（m-2）2-4(n-3)，由（m-2）2≥0，则-4(n-3)>0则n<3，由，，可得即，△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，n≥2，即可得出结论．
【详解】（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），
抛物线，把点C代入得，
，所以a=-1，
，
所以；
（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小，
当，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
与有大小关系为：；
（3）联立函数，
消去y得，
就是的两个实数根，
方程恒有两个不等实根，
则△>0，
△=（m-2）2-4(n-3)，
（m-2）2≥0，-4(n-3)>0，则n<3，
∴，
∵，
，
即，
，
∴△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，
n≥2．
∴2≤n<3．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程的根与系数关系，掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，二次函数的性质增减性，一元二次方程的根与系数关系是解题关键．
22．=
【分析】把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式得到AB、CD的值，即可求出结论．
【详解】解：将点P的纵坐标y=m2（m＞0）代入y=x2得x=±2m，
∴，，
∴AB=4m．
将y=m2（m＞0）代入：y=x2得x=±3m，
∴，，
∴CD=6m．
∴==；
【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程，根据P的坐标求得AB、CD的长是关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题、轴对称的性质—最短路径问题、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据二次函数的图象与轴有两个公共点得到，求解即可得到答案；
（2）先计算出三点的坐标及对称轴，连接交对称轴于点，再根据轴对称的性质可得，当、、在同一直线上时，最小，待定系数法求出直线的解析式，令，求出的值即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有两个公共点，
，
解得：，
的取值范围为；
（2）解：当时，，
当时，，
，
令，则，
解得：，，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
点、关于对称轴对称，
如图，连接交对称轴于点，点即为所求，
，
由轴对称的性质可得，
，
当、、在同一直线上时，最小，
设直线的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
．
24．(1)对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)当时，y随x的增大而减小；
(3)
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数顶点坐标和对称轴得出答案；
（2）直接利用函数图象得出增减性；
（3）求出抛物线与x轴的交点，然后求出函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；

（2）解：由（1）知，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
当时，有，
解得：或，
∴抛物线与x轴的交点为和，
则函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
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