24.1圆的有关性质寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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24.1圆的有关性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　）
A． B．5 C． D．5
2．已知⊙O的半径是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
3．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
4．如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于（　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．如图，圆内接四边形中，连接，，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，，分别是上的两点，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
9．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
10．如图，AB是的直径，弦，垂足为P，若，，则的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
11．如图，的直径，是的弦，，则的长为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．
12．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A．138° B．121° C．118° D．112°
二、填空题
13．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 cm．
14．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是 ．
15．如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ．
16．在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上）
17．如图，OC是的半径，AB是弦，且OCAB，点P在上，∠APC=26，则∠BOC= 度．
三、解答题
18．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
19．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
(1)求证：；
(2)求证：AM＝DM．
20．如图所示，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，试求∠AEO的度数.
21．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
22．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长．
23．（1）解方程：．
（2）如图，，，，是上的四个点，且，求证：．
24．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．
(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)探究OE与AC的数量关系．
《24.1圆的有关性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D A C C A D A
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【详解】连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE=，
∴AB=，
故选D．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
2．A
【分析】根据已知可求得∠AOC的度数，再根据三角函数求得OC即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在和中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故选A.
【点睛】本题考查弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系垂径定理及直角三角形的性质．
3．C
【详解】设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，则增加的面积是4πR2-πR2=3πR2，即增加了3倍．
4．D
【分析】由圆的基本性质可得再利用等腰三角形的性质可得再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解： MN为⊙O的弦，∠M=30°，
故选D
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，圆的基本性质，掌握“等腰三角形的性质”是解本题的关键.
5．A
【分析】考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角等知识点．
先求出的度数，然后根据求解即可．
【详解】解：
，
，
，
又，
．
故选：A．
6．C
【分析】反向延长OD交圆于E，延长CA作EF⊥CA，首先证明CE=CD，然后求出∠CAE=135°，根据勾股定理求出AF、EF、DE，即可求出圆的半径.
【详解】解：如图
反向延长OD交圆于E，延长CA作EF⊥CA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=∠COD=90°，
∵OD=OE
∴CE=CD，
∵∠COE=90°，
∴∠D=45°，
∴∠CAE=135°，
∴∠FAE=45°，
∵∠AOE=∠DOB，
∴AE=BD=，
∴AF=EF=1，
又∵AC=2，
∴CF=CA+AF=3，
CE=，
DE=，
则⊙O的半径=，
故选C．
【点睛】本题考查圆周角，勾股定理等知识，解题的关键是做出辅助线EF⊥CA，属于中考常考题型．
7．C
【分析】本题考查圆周角定理和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握“同弧所对的圆周角相等”和“直径所对的圆周角为直角”． 由是⊙的直径，得，由圆周角定理得，，在中，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：是⊙的直径，
，
由圆周角定理得，，
，
，
，
故选：C．
8．A
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，
∴∠AOC=2∠B=150°．
故选A．
9．D
【分析】连接，根据求得半径，进而根据的长，勾股定理的逆定理证明，根据弧长关系可得，即可证明是等边三角形，求得，进而由勾股定理即可求得
【详解】如图，连接，
，
是直角三角形，且
是等边三角形
是直径，
故选D
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得的长是解题的关键．
10．A
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
【详解】连接OC，
∵CD⊥AB，CD=16，
∴PC=CD=×16=8，
在Rt△OCP中，
∵PC=8，OP=6，
∴OC= .
故选A.
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
11．C
【分析】此题考查了垂径定理推论，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．先根据垂径定理的推论得，，由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度．
【详解】解：如图，连接，
∵为直径，为弦，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
12．C
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
13．8
【分析】连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出CO的长度，即可求出水管中的水最大深度CD的长度．
【详解】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．
∵ AB是圆的一条弦，
∴，
∴在△AOC中，，
∴，
∴水管中的水最大深度为8cm．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理．
14．
【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD=CD=OC=2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．
【详解】解：如图所示，
∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC=∠CPB，
∴，
∴AC=BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵EF是△ABC的中位线，
∴；
∴OC⊥EF，OD=OC=2．
连接OE，根据勾股定理，得：DE==，
∴EF=2ED=，
故答案为：．
【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．
15．/70度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形内接于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16． ，， ，， ，
【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答．
【详解】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧， ，是以A为端点的优弧．
故答案为：，，；；，，； ，．
17．52
【分析】由OC是的半径，AB是弦，且OCAB，根据垂径定理，即可求得：，又由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：∵OC是的半径，AB是弦，且OCAB，
∴，
∴∠BOC=2∠APC=226=52．
故答案为：52．
【点睛】此题考查了垂径定理与圆周角定理，比较简单．
18．详见解析
【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.
【详解】证明：如图，过点O作于点M.
，
.
同理，.
.
.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得；
（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．
【详解】（1）∵在⊙O中，AB＝CD，
∴，
∴，
∴；
（2）连接AC，BD，
∵，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
【点睛】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
20．67.5°.
【分析】由圆周角定理可得∠A=∠DOB，根据角平分线性质进行计算即可得到答案.
【详解】∵圆周角∠A与圆心角∠BOD所对的弧是同一条弧，
.∴∠A=∠DOB.
∵OC⊥AB，OD平分∠BOC，
∴∠DOB=∠COB=45°
∴∠A=22.5°
又∵OC⊥AB
∴∠AOE=90°
∴∠AEO=90°-22.5°=67.5°.
【点睛】本题考查圆周角定理和角平分线性质，解题的关键是掌握圆周角定理和角平分线性质.
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）证明，由垂径定理可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．
，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：
（1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴平分，
∴，
∴；
（2）∵的半径为2，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23．（1），；（2）见解析
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可求解；根据圆中弧、弦、圆心角的关系即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
，；
（2）证明：，
，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法及圆中弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是根据定理进行解答．
24．(1)见解析
(2)AC＝2OE
【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．
（2）利用三角形中位线定理证明即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求的点．
（2）结论：AC＝2OE．
理由：由作图得：OE⊥BC
∴BE=CE，即点E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AC＝2OC．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决问题．
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