22.1二次函数的图像和性质寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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22.1二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定是(　　)
A．1 B．2 C． D．2或
4．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（ ）．
A． B． C． D．
6．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+x+a2-1的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k≥2 D．k≤2
10．若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，－2)都是“整点”．抛物线 y=mx2－2mx+m－1(m>0)与 x 轴交于 A、 B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域（包括边界）恰有 6 个整点，则 m 的取值范围是( )
A． m B． m C． m D． m
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论，其中正确的结论有（　　）
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③b﹣2a＞0；④(a+c)2＜b2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如果点和点是抛物线（m常数）上的两点，那么 ．（填“>”、“=”、“<”）
14．如图，两条抛物线与分别经过点，，则平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ．

15．设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 ．
16．两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为 ．
17．已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）
三、解答题
18．已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴．
19．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性．
x … 0 1 2 3 4 …
… …
… …
… …
(1)；
(2)；
(3)．
20．已知二次函数的顶点坐标为（2，4），且其图像与x轴的交点在正方向3个单位处，求此二次函数的解析式．
21．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的点A处，求平移后抛物线的函数表达式．
(第6题)
22．在二次函数中．
(1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值；
(2)若点在该函数图象上，令，求证：．
23．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知二次函数（a，b，c均为常数且）．
(1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式；
(2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标．
《22.1二次函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A C D C D C B
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，顶点坐标的位置是关键．
根据图象可得顶点的坐标为，由此得到，，结合象限的特点即可求解．
【详解】解：二次函数为，
顶点的坐标为，
又顶点在第三象限，
，，
，，
在第四象限．
故选：D．
2．A
【分析】根据二次函数的顶点式即可得．
【详解】解：函数图象的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求解二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．
3．D
【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式．先配方得：，再根据题意得，即可求得b的值．
【详解】解：配方得：，
由题意知，，
解得：，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小，
距离对称轴6，
距离对称轴2，
距离对称轴1，
，
，
故选：A
5．C
【分析】利用待定系数法确定函数解析式即可；
【详解】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，-5）代入，得
a（0-1）2﹣2=-5，
解得a=-3．
故该抛物线解析式是．
故答案选：C
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，难度不大，需要掌握抛物线的顶点式．
6．D
【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为，
把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，
所以平移后得到的抛物线解析式为．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．C
【分析】依次假设函数图象正确，得到a的取值，再结合对称轴信息可排除错误的图象从而得解.
【详解】解：A. 假设函数图象正确,因图象过原点，则a2-1=0，又开口向上, 但对称轴为直线 与图象不符.
B. 假设函数图象正确,则对称轴与图象不符.
C. 假设函数图象正确,则又开口向上, 对称轴符合.
D. 该函数的对称轴不可能为轴，故与图象不符.
故选C.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象有关性质，讨论a的取值，再利用对称轴选择答案是解题关键．
8．D
【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出，再根据正方形的性质得出，进而可得点，将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出的值．
【详解】解：如图，连接交y轴于点D，
对于，当时，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
解得，
故选D．
9．C
【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=-k，
因为a=-1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞-k时，y的值随x值的增大而减小，
而x＞-2时，y的值随x值的增大而减小，
所以-k≤-2，
所以k≥2．
故选：C．
10．B
【分析】先将抛物线化为顶点式写出顶点坐标，然后根据顶点坐标以及恰有6个整点确定A点范围，最后根据A点坐标代入求出m的取值范围.
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，－1），
如图所示，
∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（－1，0）与（－2，0）之间，包括点（－1，0），
当抛物线绕过（－1，0）时，，
当抛物线绕过（－2，0）时，，
∴m的取值范围为，
故选B．
【点睛】本题为二次函数关系式与图象的综合运用，要熟悉表达式之间的转化，以及熟练掌握二次函数的图象.
11．C
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴左侧以及与y轴交于正半轴，即可确定a、b、c的符号，进而可判断结论①；由二次函数图象与x轴有两个交点，即可得出b2﹣4ac＞0，进而可判断结论②；由﹣＞﹣1结合a＜0即可判断结论③；当x=1时y＜0和当x=﹣1时y＞0，可得a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，两式相乘后变形即可判断结论④，从而可得答案．
【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故结论①错误；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故结论②正确；
③∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴b﹣2a＞0，故结论③正确；
④∵当x=1时，y＜0；当x=﹣1时，y＞0，
∴a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴(a+b+c)(a﹣b+c)＜0，
∴(a+c)2﹣b2＜0，即(a+c)2＜b2，故结论④正确．
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的图象与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12．D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为y轴，开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
14．8
【分析】阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积，据此即可求解．
【详解】解：由抛物线的解析式可知：二次项系数相同
∴两条抛物线的性质完全相同
故抛物线向下平移2个单位得到抛物线
阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积

∴阴影部分的面积为：
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的性质．若两个二次函数的二次项系数相同，则对应的抛物线的性质相同．
15．
【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系．
【详解】解：抛物线，
对称轴为，
，
点关于的对称点，
，
在的右边随的增大而减小，
，，，，
，
故答案选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．
16．
【分析】设其中的一个数为，则另一个数为，两个数的积为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设其中的一个数为，则另一个数为，
两个数的积为，
则：，
当时，取得最大值，即，
故这两个数的积的最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据题意列出二次函数的解析式是解答此题的关键．
17．（答案不唯一）
【详解】由题意设该抛物线的解析式为，
又∵二次函数的图像开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
18．抛物线解析式为，对称轴为y轴
【分析】把已知点的坐标代入中求出a，从而得到抛物线解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴．
【详解】解：把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为，对称轴为y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：顶点在原点的抛物线的对称轴为y轴．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质．
【详解】（1）解：列表如下：
x … 0 1 2 3 4 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
画图如下：
；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
20．
【分析】根据顶点坐标设出函数表达式，再根据题意得到点（3，0）在二次函数图像上，代入求出a值即可．
【详解】解：∵顶点坐标为（2，4），
设二次函数表达式为，
由题意可得：二次函数与x轴交于（3，0），代入，
得：，
解得：a=-4，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据顶点坐标设出解析式．
21．y＝(x－1)2＋1.
【详解】试题分析：根据抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上，可得抛物线向右平移1个单位，向上平移一个单位，可得答案．
试题解析：
∵点A在直线y＝x上，
∴可设点A(m，m)．
∵OA＝， ∴m2＋m2＝()2,
解得m＝1(负值舍去)，
∴点A(1，1)，
∴抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋1.
22．(1)；
(2)见解析．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可；
（2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
23．(1) a＝－1, b＝－1;
(2) 存在,理由见解析.．
【详解】分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m = n 两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m = n ，然后在n = m － m 中把 m 换为 n ，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标.
本题解析：
(1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1).
点睛：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.
确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,
已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标
时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通
常设函数解析式为交点式.
24．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题．
（1）根据二次函数图象过点和点，设二次函数在解析式为，把代入求解即可；
（2）将二次函数转化为，根据定点与a的值无关，得到，，求出x值，代入解析式，求出对应的y值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）∵二次函数图象过点和点，
∴设二次函数的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴
（2）若，，
则，
∴当时，，当时，，
∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，．
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