21.3实际问题与一元二次方程寒假练习 （含解析）人教版数学九年级上册

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21.3实际问题与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有
A． B．
C． D．
2．为精准扶贫，我区扶贫办帮助贫困户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示；已知矩形荒地AD＝52米，AB＝30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为（　　）米
A．1 B．2 C．40 D．1或40
3．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．7200（1+x）=8450 B．7200（1+x）2=8450
C．7200+x2=8450 D．8450（1﹣x）2=7200
5．把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（　　）
A．（2x﹣20）（x﹣20）=1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）=1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）=1500
6．我区2020年底有5G用户1万，计划到2022年底全区5G用户数累计达到万．设全区5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）
A．20% B．30% C．40% D．50%
7．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28
8．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利480元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
9．品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（ ）
A．15元 B．14元 C．13元 D．12元
10．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
11．据统计，2020年底某款用户数约为5千万，2022年底达到7千万．假设未来几年内仍将保持相同的增长率，则该款用户数首次突破1亿的年份是（　　）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800
C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800
二、填空题
13．参加会议的每两人握一次手，共握45次，问有多少人参加会议？若设有x人参加会议，则可列方程为 ．
14．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设涨价元，可列方程为 ．
15．某商品原价为元，后连续两次以同一个百分率降价，若设此百分率为，那么两次降价后该商品的售价为 元（用含与的代数式表示）．
16．某批发店将进价为 元的小商品按 元卖出时，可卖出 件，已知这种商品每件涨价 元，其销售量就减少 件．若要赚得 元利润，设每件涨价 元，则 满足方程 ．
17．小王1000元投资理财，他买的股票一年后增值80％，但第二、三年股市低迷出现亏损，第三年后还有资金882元，则这两年的平均亏损率为 ．
三、解答题
18．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
19．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长，下底长，上下底相距．在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．甬道的面积是梯形面积的六分之一，甬道的宽应是多少米（结果保留小数点后两位）？
20．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
21．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．
22．综合与实践
【主题】三角点阵前n行的点数计算
【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点， ，第n行有n个点， ，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是．
【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理．
【拓展探索】
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律．
（3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理．
23．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次；
(2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次；
(3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
(4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？
24．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为．
项目 第一次锻炼 第二次锻炼
步数(步) 10000
平均步长(米/步) 0.6
距离(米) 6000 7020
注：步数×平均步长＝距离．
(1)根据题意完成表格填空；
(2)求x；
(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
《21.3实际问题与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B C A B C B A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】设该店春装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该店春装原本打x折，
依题意，得：500（）2＝320．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．A
【分析】设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】解：设通道的宽为x米，
根据题意得：（52﹣2x）（30﹣2x）＝1400，
解得：x＝40（舍去）或x＝1，
通道的宽为1米；
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程．
3．C
【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程.
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人
∴两个人可感染个人
故一轮感染后，患流感人数为：
同理：个人可感染个人
故两轮感染后，患流感人数为：
∴
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键．
4．B
【详解】根据增长后的产量=增长前的产量(1+增长率)n，可列方程为: 7200（1+x）2=8450.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
5．C
【分析】如果设铁皮的宽为x厘米，那么铁皮的长为2x厘米，根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”，可列出方程．
【详解】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米，然后利用体积公式列出方程．
6．A
【分析】设全区5G用户数年平均增长率为x，则2021年底有万用户，2022年底有万用户，则可列方程为 ，再解方程可得答案.
【详解】解：设全区5G用户数年平均增长率为x，则2021年底有万用户，2022年底有万用户，则
解得：（负根不合题意，舍去）
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，能够正确的表示变化后的量是解题的关键.
7．B
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．
【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故x（x-1）=28．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．
8．C
【分析】设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式，找准等量关系每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．B
【分析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，依题意有
，
解得，
∵每碗售价不得超过15元，
∴．
∴当每碗售价定为14元时，店家才能实现每天利润2800元．
故选：B
【点睛】题目主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．A
【详解】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
故选A．
11．C
【分析】设年增长率为x，根据2020年底和2022年底某款用户数，即可得出关于x的一元二次方程，求得的值，再代入和中求得2024年底和2025年底的用户数即可求解．
【详解】解：设年增长率为x，由题意可得，
，
解得，（舍），
∴（千万），（千万），
又∵，
∴该款用户数首次突破1亿的年份是2025年，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．
12．C
【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解
【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积，
由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（ ）米，
根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800．
故选C．
【点睛】本题考查列方程，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为： ．
14．
【分析】由涨价x元，可表示出减少的销售量、实际的销售量及实际销售价，从而可表示出利润，根据利润列出方程即可．
【详解】涨价元，则可减少销售量为个，实际销售量为个，实际销售价为元，则所获利润为元，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是理解题意，表示出涨价后的销量、价格及利润，由等量关系列出方程．
15．
【分析】设这两年该药品价格平均降低率为x，则第一次降价后每盒的价格是原价的1-x，第二次降价后每盒的价格是原价的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．
【详解】∵某商品原价为元，后连续两次以同一个百分率降价，
∴第一次降价后每盒的价格是a(1-x)，第二次降价后每盒的价格是a(1-x)2，
故答案为a(1-x)2.
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
16．
【分析】设每件涨价 元，小商品的利润为元，再根据每件涨价 元其销售量就减少 件得到该商品的销售量件，再根据根据总利润单件利润销售数量即可解答．
【详解】解：设每件涨价 元根据题意，
可得方程，
故答案为；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意明确题目中的数量关系与等量关系是解题的关键．
17．30%．
【分析】首先求得第一年的钱数，然后利用第二、三年的亏损率相同列出一元二次方程即可．
【详解】第二年增值后的钱数为1000（1+80%），
设第二、三年的平均亏损率为x，根据题意得
，
解得x=30%，
故答案为：30%．
【点睛】本题考查了列一元二次方程求解增长率的问题，注意找到正确的等量关系列出方程式求解．
18．20
【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种棵树每棵桃树的产量就会减少个（即是平均产个），桃树的总共有棵，所以总产量是个．要使产量增加，达到个．
【详解】解：设应多种棵桃树，根据题意，得
整理方程，得
解得，，
∵多种的桃树不能超过100棵，
∴（舍去）
∴
答：应多种20棵桃树。
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键在于搞懂题意去列出方程即可.
19．甬道的宽度约为6.50m
【分析】设花坛中甬道的宽为m，由题意可列出方程，求解x即可．
【详解】解；梯形的中位线长为（ m），
设花坛中甬道的宽为m，根据题意，得，
整理，得，
解得，，
因为不符合题意，舍去，
所以，即甬道的宽度约为6.50m．
【点睛】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
20．6，8，10
【分析】可设该直角三角形的三边长分别为、、，利用勾股定理可得，解方程即可求解．
【详解】解：设该直角三角形的三边长分别为、、，根据题意得：
，
解得（舍去），．
所以斜边长为．
故这个三角形三边长为6、8、10．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是用表示出三边长．
21．14米．
【分析】本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价元，由此可列方程求解．
题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键．
【详解】解：根据题意，得，
整理，得，
解得，
∵，
∴不合题意，舍去．
∵， ，
∴符合题意．
所以，池长为14米．
22．（1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析；（2）前行的点数之和为；（3）
【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）根据规律，令，计算即可；
（2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解；
（3）根据规律，令，计算即可．
【详解】解：（1）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600．
理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600，
根据题意，得，
整理得，
，
解方程，得，，
该方程没有正整数根，
所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600；
（2）由题意得：
，
∴前行的点数之和为．
（3）依题意得：，
整理得：，即，
∴（舍去），，
即：．
23．(1)3
(2)
(3)10人
(4)琪琪的思考是对的，见解析
【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得；
（2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得；
（3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得；
（4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次，
故答案为：3．
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次，
参加聚会的人数为2，则共握手次，
参加聚会的人数为3，则共握手次，
参加聚会的人数为4，则共握手次，
归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次，
故答案为：．
（3）解：若参加聚会的人共握手45次，
则，
解得或（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为10人．
（4）解：琪琪的思考是对的，理由如下：
若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个，
归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个，
令，即，
解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去），
所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的．
24．(1)10000（1+3x）；0.6（1-x）
(2)0.1
(3)0.5米．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；
②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【详解】（1）解：①根据题意可得：10000（1+3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；
故答案为10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；
（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020
解得：x1=＞0.5（舍去），x2=0.1．
则x=0.1，
答：x的值为0.1；
（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，
500÷（24000-23000）=0.5（米）．
答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意，列出方程是解题的关键．
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