21.2解一元二次方程寒假练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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21.2解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知方程，那么这个方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
2．方程的根为（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的实数根为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程的两根，则此三角形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如果是方程的一个根，则这个方程的其它根是（　　　）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
7．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
8．我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A． B． C． D．
9．若x为实数，且，则的值为( )
A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－1
10．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )
A． B． C． D．
12．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）
A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
二、填空题
13．已知关于的一元二次方程，若，则 ．
14．若x，y为实数，，则 ．
15．将代数式化成的形式为 ．
16．已知一元二次方程2x2+3x﹣5=0的两根分别为x1，x2，则= ．
17．已知一元二次方程的两个实数根为x1，x2，则的值是 ．
三、解答题
18．解方程：
19．解方程：
(1)x2－2x－3＝0
(2)2x2＋1＝3x
20．已知实数，满足，求的值．
21．选用适当的方法解下列方程
（1） （2）（2x－1）－x（1－2x）=0 （3）（x+1）（x+8）=-12
22．解下列方程：
（1）（x+2）2=1 （2）x2=7 （3）x2+12x-15=0 （4）x2+8x=9
23．利用配方法解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
24．阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．
示例：当时，求的最小值．
解：，当，即时，的最小值为6．
（1）尝试：当时，求的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？
《21.2解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B C D C D A D
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
2．D
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：∵x2=4，
∴x=±2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．A
【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．
【详解】，
两边同除以得：，
利用直接开方法得：，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
4．B
【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积．
【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程的两根，
则，
所以三角形的面积为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程如果方程的两根为，则．
5．C
【分析】将代入方程得出的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得，
方程为，
则，
或，
即这个方程的另一个根为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
6．D
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
7．C
【分析】运用配方法求解即可．
【详解】解：
把方程的常数项移到等号的右边，得．
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得．
配方得．
解得，．
故选C．
【点睛】此题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
8．D
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果．
【详解】把方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键．
9．A
【分析】先将原方程变形为，进一步即可得到，可得或，再检验即得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以，
所以或，
当时，，此时方程无实数根，需舍去；
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和简单的分式方程的求解，灵活应用整体思想、掌握求解的方法是关键.
10．D
【详解】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x1+x2=﹣2，x1 x2=k+1，
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：

故选D．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．
11．B
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
【详解】解方程得
∵是一元二次方程较大的根，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选B
【点睛】此题考查估算无理数的大小、解一元二次方程-公式法，解题关键在于对无理数得估算.
12．B
【详解】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1 x2=，可得：α β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
故选B．
13．
【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．
【详解】∵a=1，b=m，c=6，
∴
∴m=.
故答案为.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.
14．36
【分析】首先设=t(t≥0)，把原式变形为t -5t-6=0，得出t=6，再根据算术平方根的性质求解即可．
【详解】解：设=t(t≥0)，
则t(t-5)=6，
即t -5t-6=0，
则(t-6)(t+1)=0，
解得：t1=6，t2=-1（不符合t的取值，舍去），
∴t=6，
∴=6，
∴x+y=36，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，掌握利用换元法和因式分解法解一元二次方程和算术平方根的非负性是解题关键．
15．
【分析】利用配方法解答即可．
【详解】==
故答案为．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．
【分析】先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣5=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣，x1 x2=﹣，
∴
故答案是：．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．﹣4
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为x1，x2，
∴、，
∴=﹣2﹣3+1=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握其公式表示.
18．，
【分析】根据解方程的方法“去括号，移项，合并同类项”，再运用一元二次方程的求根公式即可求解．
【详解】解：
去括号得，
移项得，，整理得，，
∴，
∴，即，，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查运用公式法求一元二次方程的解，掌握公式法的运用是解题的关键．
19．(1)x1=3 x2= -1
(2)x1=1 x2=
【分析】（1）直接利用因式分解法解答，即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：x2－2x－3＝0，
∴，
∴x-3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2= -1
（2）解：2x2＋1＝3x
移项得：2x2-3x＋1＝0
∴（2x-1）（x-1）=0，
∴2x-1=0或x-1=0，
解得：x1=1，x2=
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
20．的值为．
【分析】本题考查的知识点是换元法解一元二次方程、因式分解，解题关键是熟练掌握换元法解一元二次方程．
设，则原方程变为，解这个方程即可求解．
【详解】解：设，
则原方程变为，
，
，，
即，，
又，
舍去，
则的值为．
21．（1）x = ，x = ；（2）x= ，x= 1；（3）x= 4，x= 5；
【分析】（1）把方程化为一般式，找到各项的系数再代入公式x= 即可求出方程的解；
（2）把2x-1看作一个整体，利用因式分解法可求出方程的解；
（3）根据多项式的乘法法则把括号展开，再利用因式分解法可求出方程的解；
【详解】(1)∵2x 10x=3，
∴2x 10x 3=0，
∴a=2，b= 10，c=-3，
△=100+24=124，
∴x
∴x = ，x = ；
(2)∵(2x 1) x(1 2x)=0
∴(2x 1)+x(2x 1)=0
∴x= ，x= 1；
(3)∵(x+1)(x+8)= 12；
∴x+9x+8+12=0，
∴(x+4)(x+5)=0
∴x= 4，x= 5；
【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则
22．（1）x1=-1，x2=-3；（2）x1=，x2=-；（3）x1=-6+，x2=-6-；（4）x1=1，x2=-9.
【分析】根据用配方法解方程的步骤，先简化系数、移项、配方等步骤可解出方程的解，这些题目所用方法都是配方法来解.
【详解】(1)根据方程得
（2）
（3）配方得
(4) 配方得.
【点睛】此题考查了一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键.
23．（1）19；（2）0
【分析】（1）先配方，利用非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算即可；
（2）先配方，利用非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入计算即可
【详解】（1）∵，
∴，
∴，∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，∴，
∴．
【点睛】本题考查了非负数的性质，以及配方法，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
24．（1）3；（2）10，2.5．
【分析】（1）首先根据，可得，然后应用配方法，即可求出答案．
（2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．
【详解】解：（1）∵=≥=3，
∴当，即x=1时，y的最小值为3；
（2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．
【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，是一道综合体，解答此题的关键是读懂题意，按照要求做题．
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