21.1一元二次方程寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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21.1一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
3．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解在（ ）．
x 0 1 2 3 4
5 13 23
A．和0之间 B．0和1之间
C．1和2之间 D．2和3之间
4．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
5．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
6．一元二次方程4+2x2﹣5x=0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（　　）
A．4，2，5 B．4，2，﹣5 C．2．﹣5，4 D．2，4，﹣5
7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．1或0
8．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ 　 ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣110．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
11．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．3
12．关于m的一元二次方程的一个根为2，则的值是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．1
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为 .
14．一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ．
15．若a是方程的一个根，则式子的值为 ．
16．已知关于x的方程的一个根是，则 ．
17．若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，则a的值为 ．
三、解答题
18．设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．
19．把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－3；
(2)(x＋2)(x－2)＋3x＝4.
20．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
21．填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
22．把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
23．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
24．判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
《21.1一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A A C C D C D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；
．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
．是一元二次方程，故该选项符合题意；
．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.
【详解】A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．C
【分析】根据和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
∴的一个解x的取值范围为，
故选C．
【点睛】本题考查估计一元二次方程根的方法，结合表格数据求解是解题关键．
4．A
【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
【详解】∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a×12+b×1+5=0，
∴a+b=-5，
∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018．
故选A．
5．A
【分析】把x=m代入，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，即：，
∴===2018，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，掌握方程的解的定义，是解题的关键．
6．C
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】一元二次方程4+2x2﹣5x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2， 5，4.
故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，仔细看清符号是关键.
7．C
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把x＝0代入原方程即可求得m的值．
【详解】解：把x＝0代入方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1，得m2＝1，
解得m＝±1；
∵mx2﹣3x＝x2﹣m2+1整理得（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0，
∴m﹣1≠0即m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：C．
【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的定义和解求方程中的参数，掌握一元二次方程的定义和方程的解的定义是解决此题的关键．
8．D
【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值．
【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0，
得m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，m＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0．
9．C
【分析】利用表中数据得到x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，则可以判断方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.1【详解】∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，
x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，
∴ 1.1即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．D
【分析】直接根据一元二次方程的定义，结合二次项的系数不为0求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，解得，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11．B
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】由是关于x的一元二次方程，得
，且．
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数这一条件．
12．B
【分析】先根据一元二次方程的解得到，然后方程两边同时除以n得到，再利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：∵关于m的一元二次方程的一个根为2，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴即，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
13．-1
【分析】二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答.
【详解】根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；
当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，
∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键．
14．
【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可．
【详解】解：如果设长为米，则宽为米，
由此可得，
故答案为：．
15．2023
【分析】将a代入中，再整理即可得出．最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
16．
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义．解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
将代入一元二次方程，即可求得k的值，本题得以解决．
【详解】解： ∵一元二次方程有一个根为，
∴，
解得，，
故答案为：．
17．
【分析】利用一元二次方程定义进行计算即可．
【详解】解：由题意得：-（4a2-1）=0，且a+≠0，
解得：a=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
18．-3
【分析】先把x=-2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关的项合并后，令它的系数部分为0，就可求出方程p、q的值．
【详解】解：把-2代入方程，9-4-p+2p+q=0，
∴-×（4+p）+（2p+q+9）=0，
∵p、q是整数，
∴p=-4，q=-1，
∴p-q=-4+1=-3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0，就可求出方程中字母系数的值．
19．(1)见解析; (2)见解析;
【详解】试题分析：（1）通过移项即可得到一般形式，然后根据定义即可得；
（2）先利用平方差公式，然后再通过移项得到一般形式，最后根据定义即可得.
试题解析：（1） 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.
（2）(x＋2)(x－2)＋3x＝4，
x2-4+3x=4，
所以一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.
20．（1）；（2），
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【详解】解：化简，得
．
方程是关于的一元二次方程，得
，解得，
当时，方程是关于的一元二次方程；
由一次项系数为零，得．
则原方程是，即．
因式分解得，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
21．见解析
【分析】根据一元二次方程的一般形式：，进行填写即可．
【详解】解：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
1
2 0 0
0
3 9
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握：，其中，分别为二次项系数，一次项系数，常数项，是解题的关键．
22．，二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1
【详解】将方程两边去分母、去括号、移项、合并同类项，使方程右边为零，左边按x的降幂形式排列．
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
此方程的二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1．
23．9
【分析】首先将已知方程的根代入方程求得a、b的和，然后代入已知的代数式求值即可．
【详解】∵x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，
∴a+b= 3，
∴(a b) 2+4ab=(a+b) 2=( 3) 2=9
故答案为9
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于求得a、b的和
24．（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是
【解析】略
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