第二十五章概率初步寒假练习（含解析） 人教版数学九年级上册

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第二十五章概率初步
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．事件“买一张彩票，中奖”是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不能确定
2．某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是【 】
A．买1张这种彩票一定不会中奖
B．买1张这种彩票一定会中奖
C．买100张这种彩票一定会中奖
D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
4．化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上
B．射击运动员射击一次，命中十环
C．打开电视频道，正在播放足球赛
D．若a是实数，则
7．下列说法正确的是（　　）.
①抛一枚硬币，正面一定朝上；②“明天的降水概率为80%”，表示明天会有80%的地方下雨．③为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法；④掷一颗骰子，点数一定不大于6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
9．在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关，那么一次过关的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．下列叙述不正确的是（ ）
A．某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票一定会中奖
B．掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件
C．某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件
D．在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值
11．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a，则数a使关于x的不等式组至少有四个整数解，且关于x的分式方程＝1有非负整数解的概率是（　　）
A． B． C． D．
12．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ）
A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
二、填空题
13．一个不透明的袋里装有除颜色外其他完全相同的8个小球，其中有4个红球，3个黄球，1个白球，将袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大．
14．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个球，其中红球3个，黄球5个．请你从袋子中取出m个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出的球为黄色”记为事件A，若此事件为必然事件，则m的值为 ．
15．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：

试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590
相交频率
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）．
16．掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是 ．
17．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为 ．
三、解答题
18．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
19．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：
试验次数
“帅”字面朝上的频数
“帅”字面朝上的频率
(1)求出上表中数据和的值；
(2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数）
20．项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究．
【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2：
表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
经过放置区的师生人数 80 110 70 90
使用共享雨伞的人数 6 8 7 6
表2：雨天经过放置区的平均人流量
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
人流量（单位：人） 280 330 200 225
【问题解决】
(1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？
(2)请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求．
21．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
22．某校要求九年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解九年级学生参加球类活动的整体情况，现以九年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
九年级2班参加球类活动人数统计表
项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球
人数 a 6 4 8 6
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　　，b＝　　；
（2）该校九年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约　　人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有2位男同学（A，B）和2位女同学（C，D），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
23．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
(1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
(2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
24．小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．
（1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果．
（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？
（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？
《第二十五章概率初步》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C C D A D D A
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题考查事件的分类，直接进行判断即可．
【详解】解：事件“买一张彩票，中奖”是随机事件，
故选A．
2．A
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画出树状图，即可求解．
【详解】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键．
3．D
【详解】解：A、因为中奖机会是1%，就是说中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本选项错误；
B、买1张这种彩票中奖的概率是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；
C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确，
故选D．
4．C
【分析】：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案，
【详解】解：氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，分别用表示，
画树状图如图：
四种溶液中随机取出两种溶液，共有12种可能，其中两种溶液混合后产生气体的有：（）碳酸氢钠溶液和稀盐酸溶液、（）碳酸氢钠溶液和稀硫酸溶液4种情况，所以有气体生成的概率是．
故选：C．
5．C
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：.
故选C.
【点睛】本题考查运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
6．D
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
根据事件的分类解答即可．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中十环是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
C、打开电视频道，正在播放足球赛是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；
D、若a是实数，则是必然事件，符合题意；
故选：D．
7．A
【详解】①也有可能背面朝上；②只能说明明天降水的可能性比较大；③因为检查有破坏性，只能用抽查的方式；④骰子有6面，分别标有数字1，2，3，4，5，6，所以点数一定不大于6.正确的只有④.
故选A.
8．D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：D．
9．D
【分析】先根据轴对称的性质分别求出5种图象中是轴对称图形的个数，除以总数5即为一次过关的概率．
【详解】∵5种图象中，等腰梯形、圆、等腰三角形、菱形4种是轴对称图形，
∴一次过关的概率是.
故选D.
【点睛】此题考查概率公式，轴对称图形，解题关键在于掌握概率计算公式.
10．A
【分析】分别利用随机事件的定义以及利用频率估计概率的方法分析求出即可．
【详解】解：A.某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票不一定会中奖，此选项表述错误，符合题意；
B.掷一枚骰子，向上的一面出现的点数为4是随机事件，正确，不符合题意；
C.某兴趣小组14位同学中至少两人的生日在同一月份是必然事件，正确，不符合题意；
D.在相同条件下，试验的次数足够大时，某一随机事件发生的频率会稳定于某一数值，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件以及确定时间和利用频率估计概率等知识，正确把握相关定义是解题关键．
11．C
【分析】先解出不等式组，找出满足条件的a的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a的个数除以总数即可求出概率．
【详解】解不等式组得： ，
由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，
∴a的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，
分式方程去分母得：﹣a﹣x+2＝x﹣3，
解得：x＝ ，
∵分式方程有非负整数解，
∴a＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a的值有4个，
∴P＝
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
12．A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．
【详解】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故选：A．
13．红
【分析】本题考查了可能性的大小．分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性最大．
【详解】解：因为袋子中有8个小球，其中有4个红球，3个黄球，1个白球，从中任意摸出一个球，
则为红球的概率是；为黄球的概率是；为白球的概率是．
可见摸出红球的可能性最大．
故答案为：红．
14．3
【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下必然会发生的事件是必然事件，进行求解即可．
【详解】解：∵从袋子中取出m个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将摸出的球为黄色记为事件A，若此事件为必然事件，
∴第二次摸出的球必然是黄球，不可能是红球，
∴在第一次摸出红球时把所有的红球都摸出来了，
∴m=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了必然事件，熟知必然事件的定义是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可．
【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318，
相交的概率为0.318；
，
，
，
解得：，
故答案为：0.318；3.14
16．．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，奇数为1，3，5，
∴向上一面的数字是奇数的概率为．
故答案为：
17．5
【分析】根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可．
【详解】根据题意列式：，
解得，则布袋中白球的个数为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．
18．（1）0.25；（2）3；（3）.
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）补全表格如下：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 0.25
（1）0.25
根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，故答案填0.25.
（2）3
设口袋中白球有个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25，可得，解得，经检验，是原分式方程的解， 所以估算袋中白球的个数为3.
（3）画树状图如下：
开始
第一次 黑 白 白 白
第二次 黑 白 白 白 黑 白 白 白 黑 白 白 白 黑 白 白 白
由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种结果，
所以两次都摸出白球的概率为.
【点睛】此题考查列表法与树状图法，利用频率估计概率，解题关键在于利用画树状图将所有可能列举出来.
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据：频率频数试验次数，即可求解；
（2）随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近．
【详解】（1）解：；．
（2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是．
【点睛】本题考查事件的频率、频率的稳定性等相关知识点．掌握频率与概率的区别与联系是解题的关键．
20．(1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是；
(2)投放方案是教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把
【分析】本题主要考查了统计与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由表格直接代入公式求解即可；
（2）先计算4个放置区使用共享雨伞的平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而根据比例求解即可．
【详解】（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人，
∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是．
答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是；
（2）解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是：
教学楼：
图书馆：
饭堂：
宿舍楼：
∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：，
∴教学楼：
图书馆：
饭堂：
宿舍楼：
∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
21．（1）①②③；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【详解】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
（2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）16，20；（2）90；（3）
【分析】（1）用参加足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算参加篮球的人数和参加排球人数的百分比得到a、b的值；
（2）用600乘以样本中参加足球人数的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出选出一男一女组成混合双打组合的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：（1）调查的总人数为6÷15%＝40（人），
所以a＝40×40%＝16，
b%＝ ×100%＝20%，则b＝20；
（2）600×15%＝90，
所以估计该年级参加足球活动的人数约90人；
故答案为16；20；90；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选出一男一女组成混合双打组合的结果数为8，
所以恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23．(1)
(2)5
【分析】（1）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式得到，求解即可．
【详解】（1）解：如图画出树状图，
∵由图可知总共有六种情况，其中都是红球的情况有两种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为
（2）解：由题意得，
，
解得
所以n的值为5．
【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.
24．；
【详解】试题分析：（1）
（2）由树状图可知，共有8种等可能的结 果：
正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反．
其中三次正面正面朝上的或三次反面向上共2种．
所以，P（小刚任意挑选球队）=
（3）这个游戏规则对两个球队公平．
两次正面朝上一次正面向下有三种，正正反，正反正，反正正
两次反面朝上一次反面面向下有三种，正反反，反正反，反反正
所以，P（小刚去足球队）= P（小刚去蓝球队）=
考点：概率公式
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
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