第二十二章二次函数寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级上册

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第二十二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数，其图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（ ）
①此抛物线的解析式是
②篮圈中心的坐标是
③此抛物线的顶点坐标是
④篮球出手时离地面的高度是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=3(x－1)2+1 （2）y=（3）S=3－2t2 （4）y＝ x4＋2x2－1 （5）y＝3x(2－x)＋ 3x2 (6) y=mx2+x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6
6．函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（ 　）
A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，4） D．（0，－4）
7．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　）
A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间
8．将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）
A． B．
C． D．
9．已知点，，在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（ ）
A．1月份 B．2月份
C．5月份 D．7月份
11．四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069 B．6066 C．6063 D．6060
二、填空题
13．二次函数与y轴交点的坐标为 ．
14．二次函数y＝a(x－1)2＋k(a>0)中x，y的两组对应值如下表.
表中m，n的大小关系为 ．(用“<”连接)
15．若抛物线y＝kx2－2x＋1的图象与x轴：
(1)只有一个交点，则k＝____；
(2)有两个交点，则k的取值范围是 ．
16．抛物线y=(x+3)2的顶点坐标是 .
17．把抛物线y=2(x+1)2向下平移 单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.
三、解答题
18．已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表：
x … 1 2 …
y … 0 m 3 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求m的值．
19．求下列抛物线的对称轴和顶点坐标：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
20．如图，已知二次函数y=﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求a的值与△ABC的面积；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP=S△ABC．若存在，请求出P坐标，若不存在，请说明理由．
21．如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集．
22．根据下列条件求的取值范围：
(1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
(2)函数有最大值；
(3)函数的图象是开口向上的抛物线．
23．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．
(1)y＝x2＋6x＋10 (2)y＝－2x2－5x＋7
(3)y＝3x2＋2x (4)y＝－3x2＋6x－2
(5)y＝100－5x2 (6)y＝(x－2)(2x＋1)
24．已知，如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4），它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又△AOP的面积为，求a的值．
《第二十二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B B D B D B C
题号 11 12
答案 B A
1．D
【详解】抛物线y=（x+2）2的顶点坐标为（-2，0），
向下平移2个单位后的顶点坐标是（-2，-2），
所以，平移后得到的抛物线解析式为y=（x+2）2-2．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，上加下减”．
2．C
【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，通过顶点式可得到对称轴．
【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键．对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的函数关系式为．
，
∴篮圈中心在抛物线上，故选项②正确；
∴，解得，
∴此抛物线的解析式是，拋物线的顶点坐标是．故选项①正确，选项③错误；
设篮球出手时离地面的高度是.
令中，
可得．
可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误．
则说法正确的有①②，
故选：C．
4．B
【分析】根据二次函数的定义，逐一判断可得答案．
【详解】（1）满足二次函数的定义，所以它是二次函数；
（2）分母中含有变量，不满足二次函数定义，所以它不是二次函数；
（3）满足二次函数的定义，所以它是二次函数；
（4）因为x的最高次数为4次，满足二次函数的定义，所以它不是二次函数；
（5）化简得：y=6x,它是一次函数，故它不是二次函数；
（6）当m=0时，它不是二次函数.
故是二次函数的有2个.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
5．B
【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．
【详解】解：根据题意知：
∵点，，
故对于二次函数与线段有公共点时，
即当x=4时，，
即，
当时，解得，
当时，解得，
∴的解集为或；
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．
6．D
【详解】解：由题意分析之，该函数与y轴有交点，则有x=0，此时的点是（0，－4），
故选D
【点睛】本题考查函数图象的基本知识和函数图象与坐标轴的交点
7．B
【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【详解】设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y）-5000
，
∵当x=258时，，不是整数，
∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x=260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
8．D
【详解】y=2x2-12x+16=2（x2-6x+8）=2（x-3）2-2，
将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y=-2（x-3）2-2=-2x2+12x-20；
故选D．
9．B
【分析】将点的横坐标代入二次函数解析式，分别计算出y1、y2、y3值，比较大小即可．
【详解】当x=－2时，y1=5；
当x=－1时，y2=2；
当x=3时，y3=10．
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数纵坐标的求解，已知二次函数解析式与点的横坐标，将点的横坐标代入函数解析式求解是解题关键．
10．C
【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．
【详解】设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元，根据图甲设y1=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y1=﹣x+7，
根据图乙设y2=a（x﹣6）2+1，
∴4=a（3﹣6）2+1，
∴a=，
∴y2=（x﹣6）2+1，
∵y=y1﹣y2，
∴y=﹣x+7﹣[（x﹣6）2+1]，
∴y=﹣x2+x﹣6．
∵y=﹣x2+x﹣6，
∴y=﹣（x﹣5）2+．
∴当x=5时，y有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．
11．B
【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
【详解】假设甲和丙的结论是正确的，则，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
乙的结论是错的；
当时，，
丁的结论是正确的；
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握知识点，能够利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
12．A
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°，然后表示出A0B1的解析式，与二次函数解析式联立求出点B1的坐标，再根据等边三角形的性质求出A0A1，同理表示出A1B2的解析式，与二次函数解析式联立求出点B2的坐标，再根据等边三角形的性质求出A1A2，同理求出B3的坐标，然后求出A2A3，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求得三角形的周长．
【详解】解：∵△A0B1A1是等边三角形，
∴∠A1A0B1=60°，
∴A0B1的解析式为y=，
联立
解得：或，
∴B1（，），
∴等边△A0B1A1的边长为，
同理，A1B2的解析式为y=，
联立，
解得或，
∴B2（，2），
∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（21）=2，
同理可求出B3（，），
所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（-1-2）=3，
…，
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
△A2022B2023A2023的边长为2023，
∴△A2022B2023A2023的周长是6069．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，根据点B系列的坐标求出等边三角形的边长并且发现系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键．
13．（0，-1）
【分析】把x=0代入，即可求解．
【详解】解：当x=0时，y=-1．
∴二次函数与y轴交点的坐标为（0，-1）．
故答案为：（0，-1）
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．n【详解】∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为x=1，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵ 2<1，
∴m>n，
故答案为：n15．(1) 1 (2) k<1且k≠0
【详解】（1）抛物线y＝kx2－2x＋1的图象与x轴只有一个交点，可得△=4-4k=0，解得k＝1；（2）抛物线y＝kx2－2x＋1的图象与x轴有两个交点，可得△=4-4k＞0且k≠0，解得k＝＜1且k≠0.
16．(－3，0)
【分析】因为顶点式y＝a（x－h）2＋k，顶点坐标是（h，k），所以可求抛物线y＝(x＋3)2的顶点坐标．
【详解】抛物线y＝(x＋3)2的顶点坐标是( 3,0).
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记函数顶点式的表达形式．
17．12.5
【分析】根据二次函数平移规律设出平移后解析式y=2(x+1)2 b，再利用根与系数的关系得出b的值即可．
【详解】∵把抛物线y=2(x+1)2向下平移，
∴设平移后解析式为：y=2(x+1)2 b，
当0=2(x+1)2 b时,
即x2+2x+1 =0，
∴x1+x2＝-2，x1x2=1 ，
∵所得抛物线在x轴上截得的线段长为5，
∴|x1 x2|=5，
∴(x1 x2)2=(x1+x2)2 4x1x2=25，
∴4 4(1 )=25，
解得：b=12.5，
∴把抛物线y=2(x+1)2向下平移12.5个单位长度后，所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.
故答案为12.5.
【点睛】本题考查了抛物线的平移、一元二次方程根与系数的关系等知识.将二次函数问题转化为一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值等知识点．注意计算的准确性．
（1）将点，代入即可建立方程组求解；
（2）令代入解析式函数即可求m的值．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）解；令，则
19．（1）直线；（2）直线；（3）直线；（4）直线；（5）直线．
【分析】（1）（2）直接由顶点式的性质：对称轴为直线，顶点坐标为，把（3）（4）（5）化成顶点式，再求对称轴和顶点坐标 ．
【详解】（1）由题可知，对称轴为：直线，
顶点坐标为：；
（2）由题可知，对称轴为：直线，
顶点坐标为：；
（3）
对称轴为：直线，
顶点坐标为：；
（4）
对称轴为：直线，
顶点坐标为：；
（5）
对称轴为：直线，
顶点坐标为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴与顶点坐标的表示是解题的关键．
20．（1）a=﹣3，S△ABC=6；（2）存在，P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．
【分析】（1）令y=0代入函数解析式得到点A、B的坐标，进而可得a的值，然后可得点B、C的坐标，进而可求解△ABC的面积；
（2）由（1）可得点C的坐标，然后由等积法可得△ABP与△ABC同底，进而可得点P的纵坐标为±3，然后分别代入二次函数解析式可求解．
【详解】解：（1）∵y=﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x=0，则y=﹣a，∴C（0，﹣a），
令y=0，即﹣x2+（a+1）x﹣a=0
解得：x1=a，x2=1，
由图象知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0）．
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴a=﹣3，AB=4，
∴OC=3，
∴S△ABCAB OC6；
（2）∵a=﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP=S△ABC，
∴P点的纵坐标为±3，
把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3=3，解得：x=﹣2或x=0（与点C重合，舍去）；
把y=﹣3代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3=﹣3，解得：x=﹣1或x=﹣1，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（1），；（2）或
【分析】（1）方程的根是二次函数与x轴的交点的横坐标，可由已知直接得出答案．
（2）本题可根据图像观察当，即二次函数y值大于零时x的取值范围直接得出答案．
【详解】（1）∵方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，且两交点分别为，，
∴方程的根为，．
（2）∵不等式的解集是抛物线在x轴上方的图象对应的x的取值范围，
∴由图可知的解集为或．
【点睛】本题考查二次函数，涉及二次函数与一元二次方程根的关系，求解二次函数不等式时，图像观察法更为便捷，熟练掌握可提升解题效率．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案；
（3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：；
（2）解：由题意可得：
，
解得：；
（3）解：由题意可得：
，
解得：．
23．(1)y＝(x＋3)2＋1，顶点(－3，1)，直线x＝－3，最小值为1．
(2)顶点直线最大值为
(3)顶点直线最小值为
(4)y＝－3(x－1)2＋1，顶点(1，1)，直线x＝1，最大值为1．
(5)y＝－5x2＋100，顶点(0，100)，直线x＝0，最大值为100．
(6)顶点直线最小值为
【分析】先把二次函数解析式配方写成顶点式，然后再根据顶点式解析式写出顶点坐标与对称轴以及最值．
【详解】解：（1）∵y=x2+6x+10=（x+3）2+1，
∴顶点坐标是（-3，1），对称轴是直线x=-3，当x=-3时，y有最小值1；
（2）∵y=-2x2-5x+7=-2（x2+x+）++7=，
∴顶点 对称轴是直线当x=时，y有最大值为
（3）∵y=3x2+2x=3（x2+x+）-=，
∴顶点 对称轴是直线 当x=时，y有最小值为
（4）y=-3x2+6x-2=-3（x2-2x+1）+3-2=-3（x-1）2+1，
∴顶点坐标是（1，1），对称轴是直线x=1，当x=1时，y有最大值1．
(5)y＝100－5x2=-5x2+100
∴顶点坐标是（0，100），对称轴是直线x=0，当x=0时，y有最大值100．
(6)y＝(x－2)(2x＋1)= 2x2+3x-2
顶点坐标是 对称轴是直线，当 时，y有最小值为
【点睛】本题考查的是二次函数的解析式的三种形式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质要熟练掌握．
24．a的值为．
【分析】首先求得直线AB的解析式，然后根据面积求得P点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解．
【详解】解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx＋b，
将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx＋b，
得k＝﹣1，b＝4，
故y＝﹣x＋4，
∵△AOP的面积为，
∴×4×yP＝，
∴yP＝，
再把yP＝代入y＝﹣x＋4，得x＝，
所以P（，）．
把P（，）代入到y＝ax2中得：a＝．
故a的值为．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等．
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