28.2解直角三角形及其应用寒假练习（含解析） 人教版数学九年级下册

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28.2解直角三角形及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（ ）．
（参考数据：，）

A．366米 B．650米 C．634米 D．700米
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是(　 )
A． B．2 C．3 D．
3．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（　　）
A．60° B．45° C．15° D．90°
4．如图，为了测量学校操场上旗杆的高度，在距旗杆米的处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
5．某水坝的坡度i=1：，坡长AB=20米，则坝的高度为（　　）
A．10米 B．20米 C．40米 D．20
6．如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．人字折叠梯完全打开后如图1所示，，是折叠梯的两个着地点，是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，，，，则点离地面的高度为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E．若，，，则k的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．12
9．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
10．如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 ( )
A． B． C． D．
12．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
13．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为 .

14．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是 （结果精确到，参考数）
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．
16．构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ．
17．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动，即分别到点的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，，那么的长为 ，的长为 ．

三、解答题
18．如图，等边三角形的边长为10，点P沿的方向运动，的半径为．运动一圈与的边相切多少次？每次相切时，点P分别在什么位置？
19．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝10．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图：在BC边上作出点E，使得cos∠BAE＝； （不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图形中，①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；②四边形AEFD的面积＝ ．
20．2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）．
21．如图，燕尾槽的横截面是梯形，其中，燕尾角，外口宽，燕尾槽深度是，求它的里口宽（结果精确到; sin55°=0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43）．
22．如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长．
23．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
24．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点A所在的轴旋转．现测得，，，，．
(1)如图3，将整体绕点A逆时针旋转角，当时，求的度数．
(2)求点A到CD的距离．（结果精确到，参考数据，，）
《28.2解直角三角形及其应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A A C B A B C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】如图（见解析），先根据垂线段最短可得MN为最短距离，设米，再解直角三角形分别求出AN、CN的长，然后根据建立方程求解即可得．
【详解】如图，过点作于点，
由垂线段最短得：MN为所求的最短距离，
由题意得：，，，米，
∴，
设米，
在中，（米），
在中，（米），
∵米，
∴，即，
解得，
∴（米），
即铺设的管道的最短距离约是366米，
故选：A．

【点睛】本题考查了方位角、垂线段最短、解直角三角形等知识点，利用垂线段最短找出最短距离是解题关键．
2．A
【详解】本题考查解直角三角形,设AC=x,在Rt△ACD中, 已知∠C=90°,∠DAC=30°, BD=2,因为tan∠DAC=,所以CD=ACtan∠DAC=xtan30°=x,BC=CD+BD=,
根据勾股定理可得:=,解得:x=,即AC=
3．C
【详解】∵sin∠CAB=
∴∠CAB=45°．
∵，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°-45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选C．
4．A
【分析】根据锐角三角函数关系得出tan30°=进而求出BC的长，即可得出答案．
【详解】根据题意得出：AC=24m，∠A=30°，
则tan30°==,
解得：BC=8.
故选A.
【点睛】考查了解直角三角中仰角问题，根据已知得出AC=24m，∠A=30°再利用锐角三角函数求出是解题关键．
5．A
【详解】设水坝的高度AC=x，则BC=x，
∴AB=2x，
∵AB=20，
∴x=10，
∴坝高10米.
故选A.
6．C
【分析】如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，根据正八边形的性质对称，，同理得出，设正八边形的边长为，即，在中，求出，同理得出，从而得，在和中，列出等式求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∵正八边形内接于，
，
，
同理，
设正八边形的边长为，即，
在中，，
，
同理，
，
在中，，
，
，
即，
解得，
在中，
，
，
的半径为，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
7．B
【分析】根据等腰三角形等边对等角得∠ABC的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，关键是根据等边对等角求得∠ABC的度数．
8．A
【分析】设，，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，求得a的值即可得出答案．
【详解】∵，
∴设，，
则，点，
∵，∴，
∵，∴点，
∵反比例函数的图像经过点D、E，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故选：A.
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
9．B
【分析】根据矩形的性质求出AB的长和∠DAB的度数，然后利用tan∠ADB=即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD=1，
在Rt△ABD中，
tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及锐角三角函数，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
10．C
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出的长进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
，
故，
则，
故，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握三角函数是解题关键．
11．A
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC，∴tan∠DBC===．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
12．C
【详解】试题分析：根据AB=3m，∠ABC=45°可得：AC=，根据∠D=30°可得：AD=2AC=2×=3m．
考点：三角函数
13．51m
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【详解】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD sin60°=603051(m)．
故答案为：51m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是解答本题关键．
14．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点B作于D，过点C作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解．
【详解】解：如图，过点B作于D，过点C作于E，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即与尺上沿的交点C在尺上的读数是．
故答案为：2.6．
15．
【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【详解】如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠B=90°，
∴，
∴BE=，
∴CE=BE-BC=2，AE=，
∴，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴CD=．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正切函数等，能熟练利用勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．在中，，，延长到点，使，连接，结合等腰三角形的性质得，设，由正切函数得，即可求解．
【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17． 40
【分析】过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长，设，利用勾股定理可得，代入解方程即可得到答案．
【详解】解：过作延长线交于点，如图所示：
，
，
，
由旋转一定角度得到可知当旋转角度为，过作，交于点，
，，
，，
，
；
设，则，
，，
，
，
，解得，
，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键．
18．相切6次；点P的位置分别是（点P在或上），（点P在或上），（点P在或上）．
【分析】当点P在OB上且与边OC相切时，如图，作PH⊥OC于H，根据直线与圆相切的判定得到，再根据等边三角形的性质得∠O=60°，在Rt△OPH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，OP=2OH=2，即点P在OB，OP=2时，⊙P与边OC相切，然后利用同样的方法可得BP=2或CP=2时，⊙P与△OBC的边相切．
【详解】解：当点P在OB上且与边OC相切时，
如图， 作PH⊥OC于H，则，
∵△OBC为等边三角形，
∴∠O=60°，
在Rt△OPH中， OP=2OH=2，
∴点P在OB上，OP=2时，⊙P与边OC相切，
同理可得点P在OB上，BP=2时，⊙P与边BC相切；
点P在BC上，BP=2时，⊙P与边OB相切，
点P在BC上，CP=2时，⊙P与边OC相切，
点P在OC上，CP=2时，⊙P与边BC相切，
点P在OC上，OP=2时，⊙P与边OB相切，
综上所述，⊙P运动一圈与△OBC的边相切6次，每次相切时，点P分别距离△OBC的顶点2个单位．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了等边三角形的性质．
19．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）①作∠DAE的平分线交CD 于F，点F即为所求； ②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，推出BE=8，EC=2，设DF=EF=x，则CF=6-x，在Rt△EFC中，根据EF2=EC2+CF2，构建方程求出x即可解决问题；
【详解】（1）解：以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）解：①作∠DAE的平分线交CD于F，点F即为所求；
②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，
∴，
∴EC=2，
设DF=EF=x，则CF=6-x，
在Rt△EFC中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴x2=22+（6-x）2，
解得，
∴S四边形AEFD=2××AD×DF=，
故答案为 ．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．
【分析】在中，求出，在中，由，，求得，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离．
【详解】解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即B、C两个雷达站之间的距离为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键．
21．
【分析】过A作AE⊥BC与点E，则BC=AD+2BE，在直角△ABE中，根据三角函数即可求得BE的长，从而求解．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
在直角△ABE中，tan∠ABE= ，
∴BE= = ≈49.0mm，
∴BC=AD+2BE=180+2×49.0=278mm．
答：里口宽BC是278mm．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰梯形的性质以及等腰梯形的计算，可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
22．（1）60°（2）2
【详解】考点：切线的性质．
分析：
（1）根据PA与⊙O相切于A点可知，OA⊥AP，再依据锐角三角函数的定义即可求出；
（2）根据直角三角形中∠AOC=60°，OA=2可求出AC的长，再根据垂径定理即可求出弦AB的长．
解答：
（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=OA/OP=1/2，
∴∠POA=60°．
（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA×sin60°=2×/2=．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2．
点评：本题考查了圆的切线性质，及三角函数的定义及特殊角的三角函数值．
23．．
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．
【详解】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，
BD=30，BN：ND=1：，
∴BN=15，DN=，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN=，
在RT△ABM中，tan∠ABM=，
∴AM=，
∴AC=AM+CM=．
【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键；
（1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解；
【详解】（1）解：，，
，
∵，
，
，
故；
（2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
平分，
而
∴在中，，
又，
，
∴在中，，，
，
，
，
，
到的距离为；
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