27.3位似寒假练习（含解析） 人教版数学九年级下册

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27.3位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
4．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　）
A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，.以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得，则下列说法正确的有（ ）
①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为1：2；④若的面积为4，则的面积为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，与位似，点O为位似中心，且的面积是面积的9倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与位似，其位似中心为点，且，则与的位似比是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知和是位似图形，那么其位似中心是点　　
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
11．下列说法错误的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形
B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似
C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是
D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是
12．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（ ）
A．一定不相似，周长比为 B．一定位似，位似比为
C．一定相似，面积比为 D．一定相似，相似比为
二、填空题
13．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
17．若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 ．
三、解答题
18．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为；
(2)请写出点A的对应点的坐标__________；
(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．

(1)将向左平移5个单位长度，得到，画出；
(2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出；
(3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ．
21．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为．
(1)画出绕点O顺时针旋转后得到的；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
(3)若点在线段上，直接写出变化（2）后点D的对应点的坐标为 ．
(4)分别求出的周长和的面积．
22．（1）问题发现
如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =　 　（用含a，b的代数式表示）．
（2）拓展探究
在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是　 　（用含n，a的代数式表示）
23．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)直接写出与的位似比；
(3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出各顶点的坐标．
24．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(2)以点M为位似中心，在网格中作出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使其位似比为2：1；
(3)点A2的坐标______；△ABC与△A2B2C2的周长比是______．
《27.3位似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A C C A A B B
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．
【详解】解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．A
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
3．A
【分析】作射线，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可．
【详解】解：作射线，
，
射线经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故选：A．
【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键．
4．A
【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【详解】连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心，坐标为（2，2），k=OA：FD=8：4=2．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．
5．C
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标．
【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，将的横纵坐标先扩大为原来的倍为，再变为相反数为．
故选：C．
6．C
【分析】由题意根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似的定义可得，与是位似图形，也就是特殊的相似图形，故①②正确；
∵点D、E、F分别是、、的中点，
∴与的位似比为2∶1，周长比为2∶1，面积比为4∶1，故③错误，
若的面积为4，则的面积为1，故④正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键．
7．A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的性质得到，，进而得到以及，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与位似，
，，
，，
又的面积是面积的9倍，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查图形的位似，位似比等于位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比．
【详解】由题目可知，本题图形位似中心为点O，
∵OD=AD，
∴AO:DO=2:1，
∴△ABC与△DEF位似比为2:1，
故答案为A选项．
【点睛】本题考查图形位似比，按照位似比的定义解答即可．
9．B
【分析】根据位似中心的概念可知位似中心是对应顶点的连线的交点．
【详解】∵位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心，
∴位似中心是点B．
故选B．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，注意位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心．
10．B
【分析】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．根据位似比的概念解答即可．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，
，
，即位似比为，
，
，
．
故答案为：B．
11．B
【分析】根据位似图形的前提就是相似，等腰三角形顶角相等，则底角一定相等，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行判断即可．
【详解】解：A．位似图形一定是相似图形，故选项正确，不符合题意；
B．顶角相等的两个等腰三角形一定相似，故选项错误，符合题意；
C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是，故选项正确，不符合题意；
D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是，故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形和相似图形的关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决此题的关键．
12．C
【分析】本题考查的是位似变换，根据勾股定理求出两个三角形的各边长，根据相似三角形的判定定理、性质定理以及位似图形的概念判断即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为、、，
三角形②的三边长分别为、、，
∴三角形①与三角形②相似，且相似比为，
∴三角形①与三角形②的面积比为，
∵三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上，
∴三角形①与三角形②不位似，
故选：C．
13．50
【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形与四边形的周长比为，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为；
故答案为．
14．
【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．
连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．
【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点，
点即为位似中心，．
故答案为：．
15．/
【分析】根据关于原点位似的关系和位似比，结合点B与点C位于位似中心的异侧，即可将点B的坐标都乘以即可．
【详解】∵与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—位似变换．掌握点在坐标系中位似变换的规律是解题关键．
16．6
【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案是：6．
【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
17．1:3
【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的．
相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方．
【详解】已知两个相似三角形的面积比为1: 9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1: 3，
故答案为1: 3．
18．见解析
【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心．
根据位似图形的概念逐一判断即可．
【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A；
图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形；
图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P．
19．(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质，
（1）根据位似比，结合位置要求画图形即可．
（2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可．
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，似比为，，
故位似点的坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）解：根据(1)得，
故答案为：．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（3）根据点的位置，写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为，

故答案为：．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)周长，面积10
【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）根据位似图形的性质，即可求解；
（4）根据勾股定理可得的三边长，可得到的周长；再由勾股定理逆定理可得是直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解∶ 如图所示：即为所求；
（2）解∶ 如图所示：即为所求；
（3）解∶ ∵作的位似图形，新图与原图相似比为，且，
∴点D的对应点的坐标为；
故答案为：
（4）解∶ 根据题意得：，
∴的周长
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22．(1);(2)见解析;(3)
【详解】分析：（1）先判断出△PMC∽△ABC，得出，再判断出四边形CNPM是矩形，即可得出结论；
（2）先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；
（3）先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积；
详解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∵PM⊥BC，
∴△PMC∽△ABC
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，
∴四边形CNPM是矩形，
∴CM=PN，
∴，故答案为；
（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°
∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴
由PG∥AB，PH∥AD可得，,
∵AB=a，BC=b
∴，即,
∴，
故答案为 ；
（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC
∴△PMC∽△ABC
∴
当AP=nPC时（n是正实数），
∴PM=a
∴四边形PMCN的面积=，
故答案为．
点睛：相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
23．(1)见解析；
(2)；
(3)，，．
【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两条延长线交于点O，即为所求；
（2）结合网格特征，得，即，即可得出与的位似比为；
（3）依题意，先建立平面直角坐标系，再读取各顶点的坐标，即可作答．
此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【详解】（1）解：图中点为所求；
（2）解：由（1）得，
即，
∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴．
∴与的位似比等于；
（3）解：为所求；
则，，．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）延长M A1到A2使MA2=2MA1，延长MB1到B2使MB2=2MB1，延长MC1到C2使MC2=2MC1，则可得到△A2B2C2，
（3）根据（2）可写出点A2的坐标；然后根据位似的性质可得△ABC与△A2B2C2的周长比
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所作；
（2）如图，△A2B2C2即为所作；
（3）由（2）得，点的坐标，
由作图得，
∵与周长比为1:2
∴△ABC与△A2B2C2的周长比是1:2
故答案为：，1:2
【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．
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