27.1图形的相似寒假练习（含解析） 人教版数学九年级下册

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27.1图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果成立，那么k的值为（ ）
A．1 B．-2 C．-2或1 D．以上都不对
3．下列图形是相似图形的是（ ）
A．所有矩形 B．所有菱形
C．所有直角三角形 D．所有正六边形
4．如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
6．如果，那么下列四个选项中一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
7．若a＝10cm，b＝0.2m，c＝30mm，d＝6cm，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个梯形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
10．如图，线段，那么等于( )
A． B． C． D．
11．下列各组图形中，是相似图形的是( )
A． B． C． D．
12．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线∥∥，如果，=2，=6，那么线段的长是 ．
14．如图，在△ABC中，已知AB=3cm，BC=5.6cm，AC=5cm，且，则BD= cm，DC= cm．
15．如图， ，AB=BC，则 ．
16．一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点，所在的直线都经过同一点O，且有=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做 ，点O叫做 ，实际上k就是这两个位似多边形的 ．
17．在比例尺为的地图上，测得、两城市的距离是，则、两城市的实际距离是 ．
三、解答题
18．已知：∠1=∠2，CD=DE，EF∥AB，求证：EF=AC．
19．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
20．如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．
求：(1)相似比；
(2)∠A和∠B′的度数；
(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．
21．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
22．已知线段满足，且．
(1)求的值；
(2)若线段是线段的比例中项，求的值；
23．如图，，若，，求的长．

24．已知： (x、y、z均不为零).求的值.
《27.1图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C D A D B D D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.
【详解】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；
②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；
③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；
④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；
②③④说法正确，故选C.
【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.
2．C
【分析】根据比例的等比性质进行化简即可得出结果．
【详解】当时，由比例的性质，得；当时，即，则.综上，k的值为1或-2.故选C.
【点睛】本题由于没有条件，一定要分情况讨论．熟悉比例的等比性质：，则．
3．D
【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例的图形，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】解：A、所有矩形四个角是直角，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项错误；
B、所有菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以，不一定相似，故本选项错误．
C、直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故本选项错误；
D、所有正六边形，六个角相等，对应边一定成比例，故相似，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形的定义．
4．C
【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
5．D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．
故选：D．
6．A
【分析】根据比例的性质得到，即可判断A、C；设，则，由此即可判断B、D．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．
7．D
【分析】先统一单位，再根据比例线段的定义解答即可．
【详解】解：a，b，c，d四条线段可以统一成以厘米为单位，即a＝10cm，b＝20cm，c＝3cm，d＝6cm，
∵＝，，
∴＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了成比例线段，属于基础题型，熟练掌握比例线段的基本知识是关键．
8．B
【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段对应成比例．如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段对应成比例，进行求解即可．
【详解】解：如图：，
∴，
在中，，
则：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．
【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意；
因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意；
因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意；
因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意．
故选：D．
10．D
【分析】根据题意，设AB=k，BC=2k，则可用含k的代数式表示出AC，那么AC：BC可求．
【详解】设AB=k，BC=2k，
∴AC=3k，
∴AC：BC=3k：2k=3：2．
故选D．
【点睛】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解此题的关键.
11．C
【详解】大小不同，形状相同的图形是相似形，A，B，D的形状不同，C大小不同，形状相同，故选C.
12．B
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：由题知，
，
因为，
所以．
故选：B．
13．3.
【详解】试题分析：过作AE∥AC，交BB1于D，交于E，得出四边形和四边形BCED是平行四边形，求出=BD=CE=2，=6﹣2=4，，根据得出，即，所以=1，所以=2+1=3.
故答案为3.
考点：平行线分线段成比例．
14． 2.1 3.5
【详解】试题分析：根据已知条件，利用比例的基本性质可得到BD，进而得到DC．
解：∵AB=3cm，AC=5cm，且，
∴=，
又∵BC=5.6，
∴BD=5.6×=2.1cm，
∴DC=BC﹣BD=5.6﹣2.1=3.5cm．
考点：比例线段．
点评：根据比例式得到要求的两条线段的比，再进一步根据已知条件求解．
15．DE=EF
【分析】由得：AB：BC=ED：EF，因为AB=BC，即可得答案．
【详解】∵
∴AB：BC=ED：EF
∵AB=BC
∴DE=EF．
故答案为：DE=EF．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意得到线段成比例．
16． 位似多边形 位似中心 相似比
【解析】略
17．
【分析】首先设它的实际长度为xcm，再根据比例尺的定义，列出比例式，解方程即可求得答案．注意单位换算．
【详解】解：设它的实际长度为xcm，由题意，
得：
解得：
∵
故答案为75．
【点睛】比例尺=图上距离：实际距离，按照题目要求列出比例式进行计算即可．
18．见解析
【详解】试题分析：根据EF∥AB得=；根据角平分线的性质有=．由ED=CD得证．
证明：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵∠1=∠2，
∴DM=DN，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD=BD：CD，
∴=．
∵EF∥AB，
∴=；
∴，
又∵CD=DE，
∴EF=AC．
考点：平行线分线段成比例；角平分线的性质
点评：此题考查平行线分线段成比例的性质及角平分线的性质，难度不大．
19．(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
20．(1)；(2) ∠A＝90°，∠B′＝150°；（3）CD＝cm，EF＝cm，A′F′＝cm，E′D′＝cm.
【详解】【分析】（1）对应边的比就是相似比；（2）利用相似多边形对应角相等,可求出结果；（3）利用相似多边形性质列出比例式求解.
【详解】解：(1)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，BC与B′C′是对应边，
∴ ，即相似比为.
(2)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.又∵∠A′＝90°，∠B＝150°，∴∠A＝90°，∠B′＝150°.
(3)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴＝＝＝＝.
由＝，AF＝4 cm，得＝，
∴A′F′＝ (cm)．
由＝，E′F′＝4 cm，得＝，
∴EF＝ (cm)．
由＝，ED＝5 cm，得＝，
∴E′D′＝ (cm)．
由＝，C′D′＝3 cm，得＝，
∴CD＝ (cm)．
即CD＝cm，EF＝cm，A′F′＝cm，E′D′＝cm.
【点睛】本题考核知识点：相似多边形性质. 解题关键点：熟记相似多边形的性质.
21．18
【分析】设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．
【详解】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y-z=18，
∴4k+9k-4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
【点睛】本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值．
22．(1)，，；
(2)．
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键．
（）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得；
（）根据比例中项的定义列式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，；
（2）解：∵线段是线段的比例中项，
∴，
∴，
∵，，
∴（负值已舍去）．
23．．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握定理的应用及找准对应线段成比例．
24．3
【分析】设x=6k，y=4k，z=3k，代入约分化简即可.
【详解】设x=6k，y=4k，z=3k，代入，得
.
【点睛】本题考查了比例的性质和分式的约分，解答本题的关键是熟练掌握比例的性质.
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