28.1锐角三角函数寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
28.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．中，，，那么三边是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
4．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．中，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．在中，，已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）

A．3 B． C． D．
12．用计算器求，，的值，则它们的大小关系为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
13．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）若sinA=，则∠A= ，tanA= ；
（2）若tanA=，则∠A= ，cosA= ．
14．已知α是锐角，且2cosα=1，则α= ；若tan(α+15°)=1，则tanα= .
15．填空：
sin15°=cos ≈ （精确到0.0001）；
cos63°=sin ≈ （精确到0.0001）；
sin（90°－α）= ， cos（90°－α）= （α为锐角）．
16．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ．
17．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为 cm.
三、解答题
18．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，．
求：（1）AC的值
（2）sinC的值．
19．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．
20．计算：．
21．计算：
(1)；
(2)．
22．计算：| |-（-4）-1+( )0-2cos30°
23．计算：sin30° tan60°+.．
24．如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
《28.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A D A C A B A
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：∵sinα＝，
∴∠α=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．B
【分析】由题意设，得出，再由勾股定理得出，得出三边的比即可．
【详解】解：∵，，
设，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
3．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【详解】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
【点睛】本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.
4．A
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
5．D
【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值．
【详解】解：作交OB于点G，
∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故选：D．
6．A
【详解】过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°．
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴CE=BC sin60°=．
故选A．
7．C
【分析】由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，cosA=，
∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°= ．
故选：C．
【点睛】考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．
8．A
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果．
【详解】∵，，
∴∠A=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查正弦函数的定义、勾股定理等知识点，掌握正弦函数的定义成为解题的关键．
先根据正弦函数的定义求得，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，
，
，
，
解得：．
．
故选：B．
10．A
【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
11．D
【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵矩形中，，
，
，
，
，
故选：D．
12．B
【分析】题考查了计算器求三角函数值，掌握计算器的使用方法是解题的关键．先用计算器求出，，，再进行比较即可.
【详解】∵，，，
故，
故选B.
13． （1）60° （2）30°
【分析】根据三角函数的图像和一些特殊角的函数值可计算出答案.
【详解】因为Rt△ABC中，∠C=90°，且sinA=，则∠A=60°，tanA=
当tanA= 时，则∠A=30°，cosA= ．
【点睛】本题考查了三角函数，掌握三角函数的图像和某些特殊值是解决此题的关键.
14． 60°
【分析】根据特殊角度的三角函数值求解．
【详解】(1)α是锐角，且2cosα=1，
∴cosα=，
∴α=60°；
(2)tan(α+15°)=1.
∴α+15°=45°，∴α=30°.
∴tanα=tan30°=.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键.
15． 75° 0.2588 27° 0.4540 cosα sinα
【分析】锐角三角函数中正弦与余弦之间是互余的关系.
【详解】sin15°=cos(90°-15°)=cos75°，由计算器求得：cos75°≈0.2588；
cos63°=sin(90°-63°)= sin27°，由计算器求得：sin27°≈0.4540；
sin（90°－α）= cosα，cos（90°－α）=sinα.
【点睛】运用锐角三角函数中的互余关系进行转换是常见考点.
16．
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
17．8
【详解】试题解析：在Rt△ABC中,
故答案为8
18．（1）13；（2）
【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度；
（2）由，代值计算即可．
【详解】（1）在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
19．（1）∠CBD与∠CEB相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠CDF=．
【详解】试题分析：
（1）由AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD，结合∠A=∠CEB即可得到∠CBD=∠CEB；
（2）由∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，可得∠EBC=∠BDC，从而可得△EBC∽△BDC，再由相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设AB=2x，结合BC=AB，AB是直径，可得BC=3x，OB=OD=x，再结合∠ABC=90°，
可得OC=x，CD=（-1）x；由AO=DO，可得∠CDF=∠A=∠DBF，从而可得△DCF∽△BCD，由此可得：==，这样即可得到tan∠CDF=tan∠DBF==.
试题解析：
（1）∠CBD与∠CEB相等，理由如下：
∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴；
（3）设AB=2x，∵BC=AB，AB是直径，
∴BC=3x，OB=OD=x，
∵∠ABC=90°，
∴OC=x，
∴CD=（-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴==，
∵tan∠DBF==，
∴tan∠CDF=．
点睛：解答本题第3问的要点是：（1）通过证∠CDF=∠A=∠DBF，把求tan∠CDF转化为求tan∠DBF=；（2）通过证△DCF∽△BCD，得到.
20．﹣2．
【分析】按照各部分的运算法则分别计算，再求解即可．
【详解】解：原式=
=﹣2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值，特殊角的三角函数，算术平方根，零次幂的运算是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可；
（2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
22．
【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.
【详解】原式=++1﹣2×=．
【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及绝对值，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
23．
【详解】试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式=.
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得出结论；
（2）由圆周角定理结合已知可得，设，则，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程求出x即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，正切的定义，勾股定理的应用等知识，作出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)