26.1反比例函数寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级下册

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26.1反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若点（-3，y1），（-2，y2），（2，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
①反比例函数中自变量x的取值范围是；
②点在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
4．已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( )
A．﹣6 B．﹣9 C．0 D．9
5．若反比例函数y＝的图像经过点(2，－1)，则该反比例函数的图像在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
6．反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A． B． C． D．
7．正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，轴于点B，轴于点D（如图），则四边形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（11·漳州）如图，P (x，y)是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积
A．不变 B．增大 C．减小 D．无法确定
10．反比例函数的图象经过点（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点A为反比例函数（x＞0）的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，则四边形OCAB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．随着A点位置的变化而变化
12．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．表1给出了正比例函数y1＝kx的图象上部分点的坐标，表2给出了反比例函数y2=的图象上部分点的坐标．
表1
x 0 1 2 3
y1 0 -2 -4 -6
表2
x 0.5 1 2 4
y2 -4 -2 -1 -0.5
则当y1＝y2时，x的值为 ．
14．市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
解：根据圆柱的体积公式，得： ，
所以S关于d的函数解析式为 ．
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？
解：把S＝500代入，得： ，
解得：d＝ （m）
如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深．
15．反比例函数的图象与坐标轴有 个交点，当时，y随x的增大而 ．
16．如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与线段无公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知：，与成反比例，与成正比例，且当时，，当时，，求与之间的函数解析式.
19．如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．
(1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
(2)若，，求该函数的表达式．
20．如图,已知反比例函数的图象经过点A(1,2).
(1)求k的值.
(2)过点A分别作x轴和y轴的垂线,垂足为B和C,求矩形ABOC的面积.
21．设中边的长为，上的高线为，的面积为常数．已知y关于x的函数图象过点．
(1)求y关于x的函数表达式和的面积．
(2)画出函数的图象，并利用图象，求当时y的取值范围．
22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

23．如图，是反比例函数和（k1＞k2）在第一象限的图象，直线∥轴，并分别交两条曲线于、两点．
（1）若点的纵坐标是，则可得点的纵坐标是 ．
（2）若，则与之间的关系是 ．
24．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
《26.1反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A D B C D A C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】根据反比例函数的性质，图象在一、三象限，在双曲线的同一支上，y随x的增大而减小，则y2＜y1＜0，而y3＞0，则可比较三者的大小．
【详解】∵k=3＞0，
∴图象在一、三象限，
∵x1＜x2，
∴y2＜y1＜0，
∵x3＞0，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这一特征是解题的关键．
2．A
【分析】根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解．
【详解】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，正确；
②把代入反比例函数得：，
∴点在反比例函数的图象上，正确；
③由反比例函数可得，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误；
∴说法正确的有①②；
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
3．A
【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值．
【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，
∴，
设，则PC＝t，
∵，
∴，
解得，
∴，
把代入得．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
4．A
【详解】解:∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点，
∴x1 y1=x2 y2=3．
∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴x1=﹣x2，y1=﹣y2
∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6．
故选A．
5．D
【详解】解： 反比例函数的图像经过点，
， 反比例函数的图像在第二、四象限，故D正确．
故选：D.
6．B
【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．
【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求；
当时，，图象一定经过，故B符合要求；
当时，，图象不经过，故C不符合要求；
当时，，图象不经过，故D不符合要求；
故选：B．
7．C
【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．
【详解】解：解方程组，得：或，
即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为，，
∵，，
∴，，
∴，
即：四边形的面积是2．
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解反比例函数与一次函数的图形的交点坐标是其解析式联立而成的方程组的解．
8．D
【分析】本题考查了求反比例函数值，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可．
【详解】解：把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
∴
故选：D．
9．A
【分析】因为过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成的矩形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
【详解】解：依题意有矩形OAPB的面积=|k|=3，
所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
故选A．
10．C
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．
故选：C．
11．B
【分析】设A点坐标为（x，y），求得S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜，由xy＝﹣2，得S△AOB＝×2＝1，即可得到答案．
【详解】解：设A点坐标为（x，y），
∵AB⊥x轴，
∴OB＝x，AB＝｜y｜，
∴S△AOB＝×OB×AB＝｜xy｜，
∵，
∴xy＝﹣2，
∴S△AOB＝×2＝1，
故四边形OCAB的面积＝2S△AOB＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握这一点是本题关键．
12．D
【分析】把代入求出即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴反比例函数一定还经过点，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键．
13．1或-1
【分析】分别找一个点代入y1=kx和y2=，求得解析式，使y1=y2，再解出x即可．
【详解】解：∵点（1，-2）和点（1，-2）分别在y1=kx和y2=上，
∴y1=-2x和y2=-，
∴-2x=-，
解得x=±1．
故答案为1或-1．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
14． Sd=104 20
【解析】略
15． 0 减小
【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数y=中x≠0，y≠0，
∴此函数的图象与坐标轴没有交点；
∵k=2＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∴当x＞0时函数值y随x的增大而减小．
故答案为：0；减小．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即:
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可．
【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
故答案为：．
17．或或
【分析】分别求出双曲线过点A,B时对应的k值，然后数形结合即可得出答案．
【详解】当双曲线过点时，有 ；
当双曲线过点时，有 ；
数形结合可知，双曲线与线段无公共点时k的取值范围为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与线段的交点问题，确定出两个特殊位置的k的值及数形结合是解题的关键．
18．.
【分析】根据与成反比例关系可得，与成正比例，得.故，再把已知坐标代入可得.
【详解】解：与成反比例，与成正比例，
，.
，
∴①
把，和，分别代入①，
得，
解得.
∴
与之间的函数解析式为.
【点睛】考核知识点：求函数解析式.理解正比例和反比例关系是关键.
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答．
（2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答．
【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且
∴，，
则
则，
∵
∴
（2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上
∴
∵，，
∴
整理得，
∴
解得，（舍去）
经检验：是原分式方程的解，
∴．
∴
20．(1)k=2
(2)矩形ABOC的面积2.
【详解】略
21．(1)函数的表达式为，的面积为
(2)图见解析，
【分析】（1）设的面积为S，由三角形面积公式得到，再把点代入解析式中进行求解即可；
（2）根据（1）所求解析式，在坐标系中画出对应的函数图象，据此求解即可．
【详解】（1）解：设的面积为S，则，
∴．
∵函数图象过点，
∴，
解得．
∴所求函数的表达式为，的面积为．
（2）解：因为，所以图象在第一象限．用描点法画出函数的图象，如图．
当时，；
当时，．
由图，得．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
22．(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①，；②点的坐标为
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（1），（2）．
【详解】解：（1）∵AB∥x轴，点 A 的纵坐标是 3 ，
∴B的纵坐标是 3 ．
故答案为：3；
（2）由图像知与都大于0，延长AB交y轴于C,
∴△AOC的面积=k1，△BOC的面积=k2，
∵△AOC的面积-△BOC的面积=△AOB的面积=4，
∴．即：
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上，
则
设直线为：
则
所以直线为：
（2） 轴， ．
所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
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