第二十八章锐角三角函数寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级下册

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第二十八章锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若是锐角，，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为a；
按键的结果为b；则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在四边形中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
10．用科学记算器算得①293=24389；②≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
11．如图所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )
A． B． C． D．
12．在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的1/3 D．不能确定
二、填空题
13．如图，已知点A(0，1)，B(0，﹣1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 度．
14．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 ．
15．用计算器计算：sin52°18′= .(保留三个有效数字)
16．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝ ．
三、解答题
18．求下列各式的值．
(1)；
(2)计算：．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上F处，求tan∠AFE.
20．图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，，．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为5，求点A到所在直线的距离．
21．图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机的手柄AB平行于地面且离地面的高度h约为1.05m，踏板CD与地面DE的夹角∠CDE为10°，支架（线段AC）的长为0.8m，∠ACD为82°．求跑步机踏板CD的长度（精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°＝cos80°≈0.17，sin72°＝cos18°≈0.95，tan72°≈3.1）
22．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．
【初步尝试】我们知道：___________，___________．
发现：___________（填“”或“”）．
【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值
【拓展延伸】如图2，在中，，，．请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值．
23．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
(1)填空： ；
(2)求点到地面的距离；
(3)求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
24．如图，等边三角形的边长为10，点P沿的方向运动，的半径为．运动一圈与的边相切多少次？每次相切时，点P分别在什么位置？
《第二十八章锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D D A C B A
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，，
∴，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再利用正弦函数的定义．
2．D
【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【详解】如图，过作于，则，
AC＝＝5．
．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．
【详解】解：是锐角，，
，
，
故选：B．
4．B
【分析】根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正弦的定义求得 的值．
【详解】如图，连接，
根据网格的特点可知：
，
，
是直角三角形，
，
，
故选B
【点睛】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，证明是是直角三角形解题的关键．
5．D
【分析】本题考查科学计算器的有关计算，根据按键顺序，列出算式，求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：由图可知：，，
∴；
故选D．
6．D
【详解】试题分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢教学楼的高度AB．
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，
∴FG==，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=，
∴CG==AG．
又∵CG﹣FG=30m，
即AG﹣=30m，
∴AG=15m，
∴AB=（15+2）m．
故选D．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
7．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理．
利用锐角三角函数求出的长度，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，
由勾股定理得，，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作交的延长线于，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9．B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠ABC和∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的性质求出∠BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴．
∵BD平分∠ABC，
∴．
∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
∴∠BDC=∠C，AD=BD．
∴AD=BD=BC=b．
∴．
∵DE⊥AB，
∴．
∵∠ACB=∠BCD，
∴．
∴．
∴．
∴用a表示b得，（舍）．
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关键．
10．A
【详解】试题分析：①②③利用计算器计算可得是正确的，
④tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，
故选A．
11．D
【详解】过A点作垂线交底部于C点，则△ACB为直角三角形，
∴BC＝＝8(m)，
∴tan a＝．故选D．
12．B
【分析】设出原来的各边，得到相应的余弦值，进而得到扩大后的各边，再得到扩大后的余弦值，比较即可．
【详解】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA=，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA==，
所以余弦值不变．
故选B．
【点睛】锐角三角函数的定义．
13．60
【详解】∵A(0，1)，B(0，﹣1)，
∴AB=2，OA=1，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，cos∠BAC==，
∴∠BAC=60°．
14．1，7
【分析】根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC﹣BF﹣CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，
当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，
∵等边三角形ABC的高为4，
∴等边三角形ABC的边长为．
根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，
∴DB=FB==，CE=CG==，
∴DE=DB+BC+CE=++=，FG=BC﹣BF﹣CG=，
∴NH=FG=1，MQ=DE=7，
则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．
故答案为1，7
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
15．0.791
【详解】试题解析：先将52°18′化成52.3°,
先按键“sin”，再输入“52.3”，最后按键“=”；
故答案为
16．/
【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
在中，，
，，
在中，，
，
．
码头，之间的距离是．
故答案为：．
17．
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
18．(1)
(2)4
【分析】本题考查了实数的运算，
（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
掌握特殊角的三角函数值，立方根的性质，绝对值的性质、负整数指数幂的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．
【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【详解】解：根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE＋∠BFC＝90°.
又Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF＝CD，BC＝8，
CF＝CD＝10，
由勾股定理得BF＝，则tan∠BCF＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝
【点睛】本题考核知识点：矩形的性质、翻折变换(折叠问题)、锐角三角函数的定义. 解题关键点：注意折叠前后线段和角的关系.
20．(1)相切，见解析
(2)
【分析】（1）连接，易证，，所以，从而得证；
（2）作，交的延长线于E点．运用三角函数知识，在中求出，从而知长度，然后在中即可求出的长．
【详解】（1）解：是的切线．理由如下：
∵是等腰三角形，．
∴．
连接．

∵，
∴是等腰三角形．
∴，
∴．
在中，
又∵，
∴．
∴是的切线，即直线与相切．
（2）过点A作，交的延长线于E点．
在中，
∵，
∴，．
∵在中，，
∴点A到边的距离为：．

【点睛】此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
21．约为1.7m
【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据CF=AC cos∠CAF求出CF的长，在Rt△CDG中，根据CD＝求出CD的长．
【详解】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵AB∥DE，∴FG⊥DE，∴∠CGE=90°
又∵∠CDE=10°，∴∠GCD=90°-10°=80°
又∵∠ACD=82°，∴∠ACF=180°-∠ACD-∠GCD
＝180°-80°﹣82°＝18°，
∴在Rt△ACF中，CF＝AC cos∠ACF＝0．8 cos18°≈0．76（m），
则CG＝h﹣CF＝1．05﹣0．76＝0．29（m）．
∴在Rt△CDG中，
CD＝＝≈≈1．7（m），
∴跑步机踏板CD的长度约为1.7m.
【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数，解题的关键是掌握解直角三角形的应用进而三角函数的计算.
22．，，，，
【分析】（1）根据锐角三角函数公式即可求解．
（2）根据题意可知，，即可求解的值．
（3）作的垂直平分线交于点E，连接，根据直角三角形，，设，，解得，即可解得的值．
【详解】解：（1） ，， ，
故答案为：；
（2）如图1，在中，，，，
∴．
∴，
∴，
∴，，
∴．
（3）如图2，作的垂直平分线交于点E，连接．
则，，．
∵ 中，，，．
∴，．
设，则，
在中，，
解得，即，．
∴．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线构造是解决本题的关键．
23．(1)；
(2)米；
(3)米．
【分析】（）过点作，由平行公理的推论可得，进而由平行线的性质得，，再根据角的和差关系即可求解；
（）延长交于点，则，解即可求解；
（）过点作于，可得为等腰直角三角形，得到，设，解得，进而由米可得，解方程得到米，又可得是矩形，即得米，根据线段的和差关系即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，则，
在中，，，
∴，
∴点到地面的距离为米；
（3）解：过点作于，则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
24．相切6次；点P的位置分别是（点P在或上），（点P在或上），（点P在或上）．
【分析】当点P在OB上且与边OC相切时，如图，作PH⊥OC于H，根据直线与圆相切的判定得到，再根据等边三角形的性质得∠O=60°，在Rt△OPH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，OP=2OH=2，即点P在OB，OP=2时，⊙P与边OC相切，然后利用同样的方法可得BP=2或CP=2时，⊙P与△OBC的边相切．
【详解】解：当点P在OB上且与边OC相切时，
如图， 作PH⊥OC于H，则，
∵△OBC为等边三角形，
∴∠O=60°，
在Rt△OPH中， OP=2OH=2，
∴点P在OB上，OP=2时，⊙P与边OC相切，
同理可得点P在OB上，BP=2时，⊙P与边BC相切；
点P在BC上，BP=2时，⊙P与边OB相切，
点P在BC上，CP=2时，⊙P与边OC相切，
点P在OC上，CP=2时，⊙P与边BC相切，
点P在OC上，OP=2时，⊙P与边OB相切，
综上所述，⊙P运动一圈与△OBC的边相切6次，每次相切时，点P分别距离△OBC的顶点2个单位．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了等边三角形的性质．
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