27.2相似三角形寒假练习 （含解析）人教版数学九年级下册

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27.2相似三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
2．如图，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6），连接DE，当与相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
3．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端处观察井水水岸处，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么的长为（ ）
A．2米 B．3米 C．米 D．米
4．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
6．如图，在△ABC中，，，，以为直径作圆，与斜边交于点，则的长为（ ）
A．6.4 B．3.2 C．3.6 D．8
7．已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，若DE=2，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是a，则四边形BDEC的面积是（　　）
A．a B．2a C．3a D．4a
9．若与相似，且周长比是，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点，分别在矩形的边，上，，，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（ ）
A．只有甲与乙 B．只有乙与丙 C．只有甲与丙 D．甲与乙与丙
11．如图，在中，，点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限，反比例函数的图像经过OB上一点D，与AB相交于点C，若，的面积为，则k的值是（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，若，，，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．30°或50°
二、填空题
13．如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，△BOC与△AOB相似．
15．如图，A、B两地被池塘隔开，在外取一点C，连接、，在上取点M，使，作，交于N，量得，则的长为 ．
16．如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝ ．
17．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝ .
三、解答题
18．在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
19．如图（1）是某公园里的一种健身器材，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB=AC=120cm，BC=80cm，AD=30cm，∠DAC=90°．求点D到地面的高度是多少？
20．已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．
（1）求证：；
（2）联结EG，如果，求证：．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，，，，.
求证：（1）；
（2）.
22．如图，弦的延长相交于圆外一点A，连结．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
24．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
《27.2相似三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C A C C C C D
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据，得出，进而根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
2．D
【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，当与相似时，为直角三角形，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm），
当与相似时，为直角三角形，
若∠BED=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD=（cm），
∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4-2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选：D．
【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用，将相似问题转化为直角三角形问题是解题的关键．
3．B
【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．
【详解】解：（米），
∴AB∥DC．
（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．
4．C
【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等.
设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可.
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意得：，
解得：.
即该旗杆的高度是4.8m.
故选：C ．
5．A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
6．C
【分析】连接PC，根据圆周角定理可知，根据相似三角形的判定易证，根据相似三角形对应边成比例即可求得PA的长，继而可求BP的长．
【详解】解：如图，连接PC，
∵是直径，
∴，
∵在△ABC中，，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，圆周角定理，解题的关键是证得，求得PA的长度．
7．C
【详解】解：如图，当点E在线段AD上时，
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴;
如图,当点E在射线AD上时．
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴.
故选C.
8．C
【分析】由D、E分别是AB、AC的中点，可得出DE∥BC、BC=2DE，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出S△ABC=4a，再根据S△BDEC=S△ABC-S△ADE即可求出四边形BDEC的面积．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△ADE∽△ABC，
=4,
∴S△ABC=4a，
∴S四边形BDEC=S△ABC-S△ADE=3a．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△ABC=4a是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由周长比可得相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比可得到答案．
【详解】解：∵与相似，且周长比是，
∴相似比为，
与的面积的比为．
故选：C．
10．D
【分析】分别求甲、乙、丙三个直角三角形中的锐角的度数, 可以判定甲、乙、丙三个直角三角形均相似, 即可解题.
【详解】解:∠AFB=72∠BAF=18,∠EAF=90-∠BAF-∠DAE=36,
∠DAE=∠EAF=∠CEF,
∠ADE=∠AEF=∠ECF,
△DAE∽△EAF∽△CEF,
即甲与乙与丙均相似,
故选D.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理, 考查了相似三角形的判定, 考查了矩形各内角为90的性质, 本题中求∠EAF的度数是解题的关键.
11．B
【分析】如图，过D作DE⊥x轴于点E，则由已知条件可以得到关于k的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，过D作DE⊥x轴于点E，
∴△ODE∽△OBA，
∴，，
∴，即，
∴，即，
∴，
由已知可得：，
∴，即，
∴，
解之可得：k= -3，
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定与性质、反比例函数的性质是解题关键．
12．B
【分析】根据相似三角形的性质求出∠B，根据三角形内角和定理求出∠ACB，即可求出答案．
【详解】∵△ABC∽△ACD,，，
∴
∴
∴
故选:B.
【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.
13．/1.2/
【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】∵ABGH，
∴△CGH∽△CAB，
∴=，即=①，
同理=，即=②，
①+②，得+=+==1，
∴+=1，
解得GH=．
故答案为．
14．（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）
【分析】本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．
【详解】解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，
若OC与OA对应，则OC=OA=6，C（﹣6，0）；
若OC与OB对应，则OC=1.5，C（﹣1.5，0）或者（1.5，0）．
∴C点坐标为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
故答案为（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．
15．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，然后利用相似比即可求出的长，熟练掌握相似三角形的性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴．
故答案为：．
16．4
【分析】连接AO并延长交BC于Q，利用重心性质得AO：OQ=2：1，则AO：AQ=2：3，再证明△AEF∽△ABC，△AEO∽△ABQ，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵连接AO并延长交BC于Q，
∵O是△ABC的重心，
∴AO：OQ=2：1，
∴AO：AQ=2：3，
∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC，
∴
∵BC＝6，
∴EF=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．
17．1：3：9：11或4：6：9：11
【分析】分或两种情况解答，根据平行得出，由面积比等于相似比是平方，得出△BEF与△DAF的面积比，再根据面积公式得出△BEF与△ABF的面积比，根据图形得出四边形CDFE与△BEF的面积关系，最后求面积比即可.
【详解】解：E为三等分点，则或
①时，
设，则，，
②时，
同理可得
设，则，，
【点睛】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方及面积公式，得出图形之间的关系是解答此题的关键.
18．(1)；
(2)一致；理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论；
（2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论；
（3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出．
【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示：
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长交于点H，如图所示：
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
19．D到地面的高度为（10+）cm
【分析】过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．先得出AF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出AH的长即可得出答案．
【详解】解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．
∵AF⊥BC
∴BF=FC=BC=40cm．
根据勾股定理，得AF=（cm），
∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90°，
∴∠DAH+∠FAC=90°，∠C+∠FAC=90°，
∴∠DAH=∠C，
∴△DAH∽△ACF，
∴ ∴，
∴AH=10cm.
∴HF=（10+）cm ,
答：D到地面的高度为（10+）cm．
故答案为D到地面的高度为（10+）cm.
【点睛】本题考查相似三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是根据题意得出△DAH∽△ACF．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圆B中，BE=BD，则∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；
（2）联结EG，EG∥AB，又AD∥BC，四边形ABGE是平行四边形，则AE=BG=BD，由（1）得△BDE∽△ADB，得到，即BD2=AD DE，则可得出结论．
【详解】解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，
又在圆B中，BE=BD，
∴∠BDE=∠BED，
∴∠ADB=∠ABD=∠BED，
∴△BDE∽△ADB；
（2）如图，
∵EG∥AB，又AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AE=BG，
∵BG=BD，
∴AE=BD，
又由（1）得△BDE∽△ADB，
∴，
∴BD2=AD DE，
又在菱形ABCD中，AD=BC，
∴AE2=DE CB．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，熟知各种判定定理是解题基础．
21．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；
（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，即，
又∵，
∴.
（2）由（1）知，
∴.
∵.
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得；
（2）根据，可得，即可求解．
熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴
∴．
23．(1)证明见解析；(2)FG=2.
【分析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案；
(2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案.
【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
∴，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
；
(2)四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，即，
解得，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
24．44cm
【详解】解：如图，
设BM与AD相交于点H，CN与AD相交于点G，
由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，
∴．
∵EF∥CD，∴△BEM∽△BAH．
∴，即，解得：EM=12．
∴EF=EM＋NF＋BC=2EM＋BC=44（cm）．
答：横梁EF应为44cm．
根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度．
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