第二十七章相似寒假练习 （含解析） 人教版数学九年级下册

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第二十七章相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线，那么的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
2．如图，已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（ ）
A．1：8 B．1：2 C．1：9 D．1：3
3．如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF:AC等于( )
A．1:2 B．2:3 C．1:3 D．2:5
4．如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．如图，中，，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，直线d、e与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．下列条件不能判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．,，
C．∠A=∠D，∠B=∠E D．，∠B=∠E
8．如图，在中，为上一点，下列四个条件中：①；②；③﹔④能满足与相似的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ）
A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15
10．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
11．不为0的四个实数a、b，c、d满足，改写成比例式错误的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为( )
A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1
二、填空题
13．如图，点A、B分别在平面直角坐标系xOy的y轴正半轴、x轴正半轴上，且OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，若双曲线y=过点P，则k= ．
14．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为 ．
15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝27 cm，点E，F分别在两边AB，CD上，且EF∥AD，若四边形AEFD∽四边形EBCF，那么EF＝ cm.
17．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上．

(1)的面积等于________．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，过点画一条直线，交于点，使的面积等于面积的3倍，并简要说明画图的方法__________．（不要求证明）
19．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：．
20．问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
21．如图，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)已知，的面积为6，求的面积．
22．在梯形ABCD中，，，且AE：EB=3：2，AD=16，BC=21，求EF的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，是以原点为位似中心在第三象限内与位似的三角形，且相似比为．
(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)把绕点逆时针旋转，得到．各顶点坐标分别为，，，则点的坐标为_____．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
《第二十七章相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C D C B C C D
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】由，可得，由，可求AB=2BC，可得，由，可得解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴AB+BC=3BC，
∴AB=2BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
经检验符合题意．
故选择D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，线段和差倍分，掌握平行线分线段成比例性质，线段和差倍分是解题关键．
2．D
【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2．
∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．
故选D．
【点睛】本题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．C
【分析】作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案．
【详解】解：作交于，
，是的中线，
，
，是中点，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、添加辅助线，找准对应关系是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
过点作于点，作于点，作交于点，利用相似三角形的判定可得，，，于是可得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作交于点，
，
又，，，
，，，
过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画条，
故选：．
5．D
【解析】根据两直线平行对应线段成比例，依次判断选出答案．
【详解】解：∵中，，
∴，
，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项正确；
，此选项不成立．
故选：D．
【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
6．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结果．
【详解】解∶，
故选∶C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
7．B
【详解】A、根据三条边对应成比例得出三角形相似；
B、无法判定；
C、根据两个角对应相等得出三角形相似；
D、根据两边对应成比例，且夹角相等得出三角形相似.
故选：B
考点：三角形相似的判定.
8．C
【分析】根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案．
【详解】解：①∵，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似；
③∵，，
∴；
④，，
∴．
综上所述，能满足与相似的条件是①③④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
9．C
【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项符合题意；
D．，故该选项不符合题意．
故选C．
10．D
【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积．
根据成比例线段的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意．
故选：D．
11．D
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟知外项之积等于内项之积是解题的关键．
【详解】由可得，不符合题意；
由可得，不符合题意；
由可得，不符合题意；
由可得，符合题意；
故选D．
12．D
【分析】根据位似比等于相似比，即可求出答案．
【详解】解：五边形与五边形是位似图形
即
故选D．
【点睛】本题考查了位似图形，解题关键是理解位似图形的性质．
13．
【分析】设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，由垂直定义得∠AOB=∠ODC=∠C=90°，进而得∠PAC+∠APC=90°，再由折叠的性质得PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，从而得∠APC+∠BPD=90°，∠BPD=∠PAC，进而证明△ACP∽△PDB，由相似三角形的性质即可求得点P的横、纵坐标，即可求解．
【详解】解：如图，设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，
∵PD⊥x轴，AC⊥PD，x轴⊥y轴，
∴∠AOB=∠ODC=∠C=90°，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∵OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，
∴PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠BPD=∠PAC，
∴△ACP∽△PDB
∴，即，
解得：x=，y=，
∵双曲线y=过点P，
∴k=×=．
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
14．18
【分析】根据平行线分线段成比例定理可以得出EH=，FG=，进而利用梯形的面积公式得出梯形ABCD的面积．
【详解】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，
∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC，
∴EH=，FG=，
∵四边形EFGH的面积为6cm2，
∴（EH+FG）h=6，
∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为：
（EH+AD）h+（BC+FG）h=12，
则梯形ABCD的面积为：18．
故答案为18．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，根据已知得出EH=，FG=，是解决问题的关键．
15．
【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
【详解】解：，，
∽，
，
，，，，
，
米，
米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
16．18
【分析】根据相似多边形的性质得到AD:EF=EF:BC,再将AD＝12cm，BC＝27cm代入,利用比例的性质即可求出EF的长.
【详解】∵梯形AEFD∽梯形EBCF，
∴AD:EF=EF:BC,
即12:EF=EF:27,
∴EF=18(cm).
∴EF的长是18cm.
故答案为18.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等;对应边的比相等.
17．．
【分析】根据位似图形的性质画出图形，利用对应边之间的关系得出B′点坐标即可．
【详解】如图，过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，
∵点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），
∴，AE=1，EO=2，BE=3.
∴，即，
解得：.
∴
∴点B′的坐标为：.
18．(1)2
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求出答案；
（2）根据题意，在上取，即可画出图形．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图：找的四等分点，连接为所求．

作法：①取线段，在线段取一点，使，
②过作的平行线，使，交于点，
③作直线．
则直线就是所求作的直线．
【点睛】本题考查了复杂作图，以及三角形的面积，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，巧妙利用格点作四等分点，属于作图中比较难的题目．
19．见解析.
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可证明；
【详解】证明：∵DE∥BC，
∴=，
∵DF∥BE，
∴=，
∴=．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
20．（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6
【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；
（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；
（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值．
【详解】解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，
∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，
∴，
又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△DGA∽△CFA，
∴，
故答案为；
（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，
以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，
∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，
连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，
作OE垂直AB延长线于点E，
∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，
∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，
∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，
又∵OE⊥AE，
∴△BEO为等腰直角三角形，
∴BE=OE=OB=×2=2，
又∵AB=3，
∴AE=AB+BE=3+2=5，
∴，
∵OP=OB=2，
∴AP=AO-OP=-2，
即AP的最小值为-2；
（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，
则∠EAB=45°，，
∵AC=AD，∠ACD=90°，
∴DAC=45°，，
∴，∠DAB=∠CAE=45°，
∴△DAB∽△CAE，
∴，
∴BD=CE，
∴当CE最大时，BD取最大值，
以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，
∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，
∴点C在优弧AB上，
由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，
此时C'E=OE+OC'，
∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴四边形AOBE为正方形，
∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，
∴CE的最大值为6+3，
∵BD=CE，
∴BD的最大值为×（6+3）=6+6．
【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
所以的面积为．
22．EF的长为19．
【分析】如图（见解析），先根据平行四边形的判定与性质可得，，再根据平行线分线段成比例定理推论可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点A作，分别交EF于点G，BC于点H，
∵，，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理推论等知识点，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．
23．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据位似的性质，以原点为位似中心，相似比为，在第三象限确定、、对应点、、的坐标，进而画出图形．
（2）利用两点间距离公式求出对应点到旋转中心的距离，再根据线段垂直平分线的性质确定旋转中心的坐标．
【详解】（1）解：∵，以原点为位似中心，相似比为，且在第三象限，
∴的坐标为．
同理，对应，对应．
然后连接、、，得到．
如图，为所求；
（2）解：设点的坐标为．
∵ 点在的垂直平分线上，，，
∴，
∴，
整理得 ①．
∵ 点在的垂直平分线上，，，
∴，
∴，
②．
由②得，把代入①得，
解得．
把代入，得．
∴ 点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质、旋转的性质、两点间距离公式及线段垂直平分线的性质，熟练掌握位似图形的坐标变化规律以及利用线段垂直平分线的性质确定旋转中心是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可．
【详解】证明：在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠BED，∠ADE=∠B，
∴∠DEB=∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC=∠DEB，∠C=∠B，
∴△ADC∽△DEB．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC是解题的关键．
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