第二十六章反比例函数寒假练习 （含解析）人教版数学九年级下册

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第二十六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，双曲线与直线的图象交于点和点，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．若点在反比例函数的图像上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
4．如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点，点分别在轴和轴上，轴，轴，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．对于反比例函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．点在它的图像上 B．它的图像经过原点
C．它的图像在第二、四象限 D．当时，y随x的增大而减小
6．函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
9．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50
10．如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A、B，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的表达式为（　　）
A．y=3x. B．y=﹣3x C．y=. D．y=﹣.
11．如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ 　）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
12．下列关于反比例函数的描述，正确的是（ ）
A．它的图像经过点 B．图像的两支分别在第一、三象限
C．当时， D．时，y随x的增大而减小
二、填空题
13．已知函数是反比例函数，则 ．
14．如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“点”.根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 .（请填写函数解析式序号）
15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（ ， ），（﹣5，﹣ ），从中随机选取一个点，在反比例函数y= 图象上的概率是 ．
16．正比例函数的图象与反比例函数上的图象有一个交点的横坐标是2，则 ．
17．若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是 ．
三、解答题
18．如图1，一次函数与反比例函数交于A，B两点，点A的横坐标为－3．
(1)求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当y1(3)如图2，在第二象限中存在一点P，使得四边形PAOB是菱形，求菱形PAOB的面积．
19．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
20．如图，直线交反比例函数的图象于点和点B．
(1)求：m、k的值；
(2)若直线，交反比例函数另一支图象于点C，求C的坐标．
(3)在y轴上是否存在点D，使，若存在，求出点D坐标，不存在，说明理由．
21．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
22．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．
（1）求k的值；
（2）求COD的面积；
（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象都经过点．
(1)若，求的值．
(2)若点也在反比例函数的图象上．
①求，的函数表达式．
②若，求x的取值范围．
24．六 一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米）．OG=GH=HI．
（1）求S1和S3的值；
（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；
（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？
《第二十六章反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B D B C B A C
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟练掌握方法是解答本题的关键．根据题意找到交点坐标，利用图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：根据题意得，，
由图象可知：不等式的解集是或，
故选：A．
2．A
【分析】把点代入反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数，理解反比例函数图像的性质，掌握反比例函数求点坐标的方法是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了利用反比例函数的系数求面积设点P的坐标为，可求得，，再根据矩形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为，
则，，
把点P的坐标代入函数解析式，得：，
矩形的面积是：，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、矩形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵轴，轴，
∴四边形是矩形，
∵点P在反比例函数图象上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，根据反比例函数的图像和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，故点不在它的图像上；故A选项错误；
∵，
∴它的图像不经过原点；故B选项错误；
∵，
∴图像过一，三象限，当时，y随x的增大而减小；故C选项错误，D选项正确；
故选D．
6．B
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图象，明确函数的图象是解题的关键.
【详解】解：函数的图象经过二、四象限，而的图象位于一、三象限，
∴符合的图象为B，
故选B.
7．C
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，设反比例函数的解析式为，把点代入求出的值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
故选：C．
8．B
【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：A.函数，当时，随自变量的值增大而减小，或当时，随自变量的值增大而减小，故A错误，不符合题意；
B.函数，，随自变量的值增大而减小，故B正确，符合题意；
C.函数，，随自变量的值增大而增大，故C正确，符合题意；
D.函数，当时，随自变量的值增大而增大，当时，随自变量的值增大而减小，故A错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二次函数的性质．
9．A
【详解】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟．
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30．
∴y=10x+30（0≤x≤7）．
令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：，
将（7，100）代入得k=700，∴．
将y=30代入，解得．∴（7≤x≤）．
令y=50，解得x=14．
∴饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
10．C
【分析】根据中心对称的性质求出A点的坐标，再用待定系数法求函数解析式．
【详解】解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，
所以A、B关于原点对称，
由图可知，A点坐标为（1，3），
设反比例函数解析式为y=，
将（1，3）代入解析式得：k=1×3=3，
可得函数解析式为y=．
故选C.
【点睛】从图中观察出A、B两点关于原点对称是解题的关键．另外对待定系数法因该有正确的认识：先设出某个未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．
11．B
【分析】已知是的反比例函数，是的反比例函数，可得y=（a≠0），（k≠0），即可求得y=，由此可得y是x的正比例函数.
【详解】∵y是m的反比例函数，
∴y=（a≠0），
∵m是x的反比例函数，
∴（k≠0），
∴y= ，
∴y是x的正比例函数
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数定义，关键是熟练掌握两种函数的一般形式．
12．C
【分析】A选项点坐标代入即可确定；B选项由反比例函数的k值可判断图象所在的象限；C选项根据图象可确定时的y取值范围；D选项可通过图象来判断．
【详解】A：当时，，故不符合题意；
B：反比例函数位于二、四象限，故不符合题意；
C：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，且当时，，所以当时，，故符合题意；
D：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，所以当时，随的增大而增大．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
13．
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，正确理解反比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
14．①②④
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握图像上点的特征是解题的关键．根据“函数”的定义即可得到答案．
【详解】解：函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，
是“函数”，故①正确；
是“函数”，故②正确；
不是“函数”，故③错误；
是“函数”，故④正确；
故答案为：①②④．
15．．
【详解】试题分析：根据反比例函数的解析式y=可知xy=1，因此可知符合条件的点为：（，），（﹣5，﹣），所以其概率为：.
16．8
【分析】把两函数图象交点的横坐标2代入正比例函数中，可得交点坐标，再把交点坐标代入反比例函数中，即可求得k的值．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数上的图象有一个交点的横坐标是2，
∴，
即两函数图象交点坐标为，
把代入中，得，
即；
故答案为：8．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的特征，求反比例函数比例系数，理解两个函数图象交点坐标满足函数解析式是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
利用待定系数法即可求出的值，可得答案．
【详解】解：将代入解析式中得，
，
即，
故答案为：．
18．(1)
(2)x＜-3或0＜x＜1；
(3)8
【分析】（1）先求出点A的坐标，进而求出反比例函数的表达式，最后求出点B的坐标；
（2）由图像直接得出答案；
（3）先判断出OP⊥AB，再求出AB和OH，最后用面积公式求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵点A在一次函数y1=x+2①的图像上，且点A的横坐标为-3，
∴y=-1，
∴A（-3，-1），
∵点A在反比例函数的图像上，
∴k=-3×（-1）=3，
∴反比例函数的表达式为②，
联立①②解得，或，
∴B（1，3）；
（2）由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
由图像知，当y1＜y2时，
x的取值范围为x＜-3或0＜x＜1；
（3）如图，连接OP，交AB于H，
∵四边形PAOB是菱形，
∴OP⊥AB，AH=BH，
由（1）知，A（-3，-1），B（1，3），
∴AB=，点H（-1，1），
∴OH=，
∴S菱形PAOB=2S△AOB=2×AB OH=AB OH==8．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，勾股定理求两点间的距离，三角形的面积公式，作出辅助线求出OH是解本题的关键．
19．（1）2；y=，n=；OG=．
【详解】（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
∵tan∠BOA=，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；
（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴=1，
解得：k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴=n，
解得n=；
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，
解得t=，
∴OG=t=．
20．(1)m=6，k=6
(2)(-6,-1)
(3)或者
【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式即可求出m，再将求得的A点坐标代入反比例函数解析式即可求解k值；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式求出B点坐标，设直线AB分别交y轴、x轴于点M、N，直线AC交x轴于点E，过A点作AF⊥x轴于点F，易求得M点坐标为(0,7)，N点坐标为(7,0)，可得△MON是等腰直角三角形，再证明△AEN是等腰直角三角形，根据AF⊥x轴，有EF=FN，进而可得E点坐标为(-5,0)，用待定系数法即可求出直线AC的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求出C点坐标；
（3）根据题意设D点坐标为(0,t)，∠BDC=90°，连接BC，可得△BDC是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）将A(1,m)代入得，m=-1+7，
则m=6，
即A点坐标为(1,6)，
将A点坐标(1,6)代入，得，
即k=6，
故m=6，k=6；
（2）根据（1）的结果可知，反比例函数的解析式为；
联立：，可得，
利用因式分解法，可得：，，
则可得B点坐标为(6,1)，
设直线AB分别交y轴、x轴于点M、N，直线AC交x轴于点E，过A点作AF⊥x轴于点F，如图，
根据直线AB的解析式，求得M点坐标为(0,7)，N点坐标为(7,0)，
∴OM=ON=7，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°，
∵AB⊥AC，
∴∠EAN=90°，
∴∠AEN=45°=∠ANE，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∵AF⊥x轴，
∴EF=FN，
∵A(1,6)，
∴OF=1，
∴FN=ON-OF=7-1=6，
∴EF=6，
∴OE=EF-OF=6-1=5，
∴E点坐标为(-5,0)，
设直线AC的解析式为，
∵A(1,6)，E点坐标为(-5,0)，
∴ ，解得，
直线AC的解析式为，
联立：，可得，
利用因式分解法，可得：，，
∴C点坐标为(-6,-1)，
即C点坐标为(-6,-1)；
（3）存在，
根据题意设D点坐标为(0,t)，
∵∠BDC=90°，
∴连接BC，可得△BDC是直角三角形，
如图
即利用勾股定理有：，，，
∵在Rt△BDC中，有，
∴，
解得，
∴D点坐标为或者，
即D点坐标为或者．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，考查了求解反比例函数解析式和一次函数解析式、勾股定理、求解反比例函数与一次函数交点坐标以及解一元二次方程等知识，难点在第二小问，根据直线AC的解析式判断其与坐标轴夹45°角，并构造等腰Rt△AEN是解答本题的关键．
21．（1）D（2，1），（2）,, （3）
【分析】（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，可得三角形ODM与三角形OBA相似，根据D点的横坐标是它的纵坐标的2倍及E（4，n），求出AB的长即可；
（2）由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
（3）由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG＝FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG＝FG＝x，可得CG＝2﹣x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长．
【详解】（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，
∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM＝2DM，
∴OA＝2AB，
∵E（4，n），即OA＝4，AE＝n，
∴AB＝2；
（2）∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y＝中，得1＝，即k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n＝＝；
（3）设F（a，2），代入y＝，得2＝，解得a=1，
故F（1，2），
所以CF＝1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG＝FG，
∵OC＝AB＝2，
设OG＝FG＝x，得到CG＝2﹣x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2＝CG2+CF2，即x2＝（2﹣x）2+1，
整理得：4x＝5，
解得：x＝，
则OG＝．
【点睛】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定反比例解析式，以及折叠的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（1）；（2）4；（3）或
【分析】（1）把A点坐标代入中，即求出b的值，即可得出一次函数的表达式．再把C(1，m)、D(n，-1)代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入，求出k即可；
（2）直接利用，即可求出结果；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果．
【详解】解：（1）∵点在直线上，
∴，即，
∴直线的解析式为．
∵点和点在直线上，
∴，，
解得：，，
∴，，
又∵在反比例函数上，
∴，
解得：．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）要使，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可，即或时．
【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．
23．(1)；
(2)①，的函数表达式分别为，；②x的取值范围是或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①根据题意，求得a的值，从而得出，然后分别代入，，利用待定系数法即可求得；
②根据图象，结合A、B的坐标以及直线与x轴的交点即可求得．
【详解】（1）解：若，则，
∵反比例函数的图象都经过点．
∴；
（2）解：①∵反比例函数的图象经过点．点也在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∴，，
解得，，
∴，的函数表达式分别为，；
②在中，令，则；
∵，，
∴若，则x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标符合解析式．
24．（1）；（2）；（3）17.
【分析】（1）矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等列方程组求解即可.
（2）由道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积相等列式可得.
（3）把区域MPOQN内满足条件的点一一列出即可求解.
【详解】解：（1）∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等，且OG=GH=HI，
∴.
又∵S2=6，
∴，
解得.
（2）∵点T是弯道MN上的任一点，
∴根据弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积相等得.
∴y关于x的函数关系式为.
（3）∵MP=2，NQ=3，
∴当x=2时，y=18；
∵横坐标、纵坐标都是偶数，
∴当x=4，6，8，10时，
y=9，6，.
∴区域MPOQN内满足条件的点为（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，14），（2，16），（4，2），（4，4），（4，6），（4，8），（6，2），（6，4），（8，2），（8，4），（10，2），计17个.
考点：1.反比例函数综合题；2.由实际问题列函数关系式；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.点的坐标；5.分类思想和方程思想的应用.
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