重庆市大一联盟2026届高三上学期12月联考数学试卷（含解析）

重庆大一联盟高三（上）高2026届12月联考
数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区域作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中。只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线m，平面，，，则“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知定义在上的奇函数，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知正项等差数列中，，，若，则（ ）
A.10 B.13 C.15 D.17
7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，与的图像交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
8.过点作的切线，切点为B，以AB为直径的圆与y轴交于另一点C，则C到的距离为（ ）
A. B. C.1 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知四棱柱中，各棱长均为1，，则（ ）
A. B.
C.若，则 D.若，则
11.已知三次函数，则下列说法正确的是（ ）
A.若时，则为增函数
B.若时，则有两个极值点
C.若时，当在取极大值，则
D.若时，则图像关于中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，，则______．
13.已知是定义在上的奇函数，对于任意的正实数都有，已知，那么______．
14.如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥和圆台，此时圆锥的顶点P和圆上所有点均在球上，圆台存在和上下底面及侧面均相切的球，若球和的半径均为，则圆锥和圆台的高之比为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知圆C的圆心在y轴，经过，，过直线上的动点作圆的切线，切点分别为．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若，求P点坐标．
16.在中，内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角B；
（2）若是锐角三角形，，为AC边中点，求BD的取值范围．
17.数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求．
18.如图，直角梯形，，，，为AD中点，将沿AE折起，使D到P处．
（1）求证：平面BEM；
（2）若平面平面，，，
（ⅰ）当时，求证：平面平面EMN；
（ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值．
19.已知函数．
（1）求在上的单调区间；
（2）当时，，求a的范围；
（3）令，证明：当时有极大值，且．
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数学参考答案及解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】B
【详解】由题意可得，解得，则，故．故选：B．
2.【答案】B
【详解】由已知，，则可以证明，
而，，不一定能够得到，如图：在长方体中，平面为平面，平面为平面，则可以是等，所以在已知直线，平面，，条件下，“”是“”的充分不必要条件．故选：B．
3.【答案】D
【详解】由题意，故选：D．
4.【答案】D
【详解】，则，故，则．故选：D．
5.【答案】A
【详解】∵函数是奇函数，，即，
，即，为上单调递增的函数，
，则，解得，故选：A．
6.【答案】C
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得，
解得，或（舍），，设数列的前项和为，则，故，解得，故选：C．
7.【答案】C
【详解】由题意得，
，两个函数的周期均为，
与的图像交于两点，则，
或，解得，
∴取，，故选：C．
8.【答案】B
【详解】由题意知，设切点为，所以切线方程为，代入，解得：为，或，两点关于轴对称，则，
∴切线为或，则以为直径的圆为或均交轴于，，故选：B．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.【答案】ABD
【详解】，当且仅当时取等号，故A正确；
，当且仅当时取等号，故B正确；
由，则，故C错误；
由，，故D成立；
10.【答案】AC
【详解】由题意，四棱柱底面为菱形，则，为平分线
，则在平面的射影在直线上，故平面，
，面，，故A正确；
由为平行六面体，则，
而，故B错误；
，设，则
，解得，故C正确；
由，则为菱形，则，，，
，得，
，，
由B选项：，故D错误．
11.【答案】BC
【详解】由三次函数，则，
当时，则，若，，即为增函数成立；若，，存在两个不等实数根，即有三个单调区间；故A错误；
由，由，则，即有两个不等实数根，故有两个极值点，故B正确；
由，则，由，，则位于递增区间，
当，则得两根为，且，在单调递增，则，；
当时，若有极大值，则得两根为，且，，则，为增区间，则，故C成立；
若时，则，，得，
，则图像关于中心对称，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】
【详解】．
13.【答案】
【详解】是奇函数，，，
又，，
∴故时，周期为2，则．故答案为：．
14.【答案】
【详解】由题意，在轴截面等腰三角形中，，平行于底面的截面与轴截面形成了交线，将分为和梯形，圆和圆分别为两部分的外接圆和内切圆，半径均为，则有高，梯形高，，，
，，，
，令，则，解得，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.【详解】（1）由题意，设圆心，半径为，标准方程为：，
代入，，，
∴圆的标准方程为．
（2）弦交于，则，，
∴由直角三角形射影定理：，
点满足：或，
即点为或．
16.【详解】（1），，
由正弦定理可得，
，则，，则有，故．
（2）∵为锐角三角形，则，，
，则，
由正弦定理可得，，
为边中点，，
，
，即．
17.【详解】（1）因为，所以，
所以，而，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列；
所以，则；
（3）由（1）可知，则，
．
令；
，
作差得：，
．
令，
则，
．
18.【详解】（1）连接交于点，连接，由题意四边形是矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以在中，有，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在矩形中，有，
又，，
面，
以为原点，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，，
所以，，，
由，．
（ⅰ）当时，，，
，，
，，
又，平面，平面，
平面；
平面，平面平面．
（ⅱ）取平面的法向量，设平面的法向量为，
则，令，则，
因为二面角的正弦值为，则余弦值为，
，
化简得：，解得或．
19.【详解】（1），，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
在上的单调增区间为，单调减区间为，．
（2）令，，
，，，，
，时为增函数，
若，则，由，则，
在单调递增，由，则时，
在单调递增，有，则时，
在单调递增，有，则时，
即在成立，
若，则在有解，即，
在时单调递减，则
在时单调递减，则
在时单调递减，则不成立，
∴综上所述．
（3），
，在时为减函数，，，
∴存在使得，
∴当时，；当时，；
在单调递增，在单调递减，是的一个极大值点，
由（2）有在恒成立，即 ①
由则，则需证在恒成立，
令，则，在单调递增，单调递减，
，则 ② 在恒成立，
∴由①②得时，
．