2026年中考数学一轮复习 重难题型突破三 新定义问题（含答案）

题型三 新定义问题
类型 1 代数新定义问题
1.(2025 泸州)对于任意实数 a,b,定义新运算:a※b = 给出下列结论：
①8※2=8;
②若x※3 =6,则x=6;
③a※b=(-a)※( - b);
④若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为
其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、(2024 湖南)在平面直角坐标系xOy中,对于点 P(x,y),若x,y均为整数，则称点P 为“整点”，特别地，当x(其中xy≠0)的值为整数时,称“整点” P 为“超整点”.已知点P(2a-4,a+3)在第二象限，下列说法正确的是 ( )
A. a<-3
B.若点 P 为“整点”，则点 P 的个数为3个
C.若点 P 为“超整点”，则点 P 的个数为1个
D.若点 P 为“超整点”，则点 P 到两坐标轴的距离之和大于10
3.(2025 达州)定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a，θ)变换.现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中(点A 与点 O 重合，点B在x轴上),△ABC 经γ(1,180°)变换后得△A B C 为第一次变换,△A B C 经γ(2,180°)变换后得△A B C 为第二次变换……经γ(n,180°)变换得△A B C ,则点C 的坐标是 .
4、(2025重庆)我们规定：一个四位数 若满足a+b=c+d=10,，则称这个四位数为“十全数”.例如：四位数1 928，因为1+9=2+8=10,，所以1 928是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全数”是 ；一个“十全数’ 将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数 记 若 、 均是整数，则满足条件的M 的值是 .
5.(2025 青岛)【定义新运算】
对正实数a，b，定义运算“ ”，满足
例如:当a>0时,
(1)当a>0时,请计算:(
【探究运算律】
对正实数a，b，运算“ ”是否满足交换律(
∴运算“ ”满足交换律
(2)对正实数a,b,c,运算“ ”是否满足结合律(a b) e=a (b c) 请说明理由.
【应用新运算】
(3)如图，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 EFGH 拼成的,AF=a,BF=b,且a>b..若正方形ABCD与正方形 EFGH的面积分别为26 和16,则(2a) b (2a)的值为 .
6.(2025江西)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数值. 那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m，m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数 中，当x=1时，y=1,，则我们称函数 为“不动点函数”,点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.
探究1
(1)对一次函数y=kx+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：
①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是(
③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点.
以上结论中，你认为正确的是 (填写正确结论的序号).
(2)若一次函数y= kx+b(k≠0)是“不动点函数”,请直接写出k，b应满足的条件.
探究2
(3)对二次函数 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.
若抛物线 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式.
探究3
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12-x)件，获得利润y元.请写出y关于x的函数解析式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义.
类型2 几何新定义问题
7.(2024遂宁)如图(1), 与 满足 ，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图(2)，在. 中，AB=AC,点D,E 在线段 BC上，且BE=CD,，则图中共有“伪全等三角形” ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.(2025山西)阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.
例如,图(1),图(2),图(3)中的线段AB 与CD 所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则各图中的线段CD 都是相应线段AB 的双关联线段.
【问题解决】
问题1:如图(4),在矩形ABCD 中,AB问题2:如图(5),在等边三角形ABC 中,点 D,E分别在边 BC,CA 的延长线上,且AE =CD,连接AD,BE.
求证：线段AD 是线段BE 的双关联线段.
证明:如图(5),延长DA 交 BE 于点 F.
∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.
∵ ∠BAC +∠BAE = 180°,∠ACB +∠ACD=180°,
∴∠BAE=∠ACD(依据).
又∵AE=CD,∴△ABE ≌△CAD,
∴BE=AD,∠E=∠D.
……
任务：
(1)问题1 中的 问题2中的依据是 ，
(2)补全问题2的证明过程.
(3)如图(6)，点C在线段AB上，请在图(6)中作线段AB 的双关联线段 CD(要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可).
9.(2025 兰州)在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N(不与原点O重合)，及平面内一点 P，给出如下定义：若点 P关于直线ON的对称点.P'在图W上或内部，则称点 P 是图 W 的“映射点”.
(1)如图(1),已知图 线段AB,A(-1,-1),B(1,-1).在 中， 是图 的“映射点”.
(2)如图(2),已知图 正方形ABCD,A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1).若直线l:y=x+b上存在点 P 是图 的“映射点”，求b的最大值.
(3)如图(3),已知图W :⊙T,圆心为T(0,t),半径为1.若x轴上存在点 P 是图 的“映射点”，请直接写出t的取值范围.
10.(2025 广东)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段长比大线段长等于大线段长比小线段长时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
(1)如图(1),点 P 是线段MN 的中外比点,MP>PN,MN=2,求 PN的长.
(2)如图(2)，用无刻度的直尺和圆规求作一点C，把线段AB分为中外比.(保留作图痕迹，不写作法)
(3)如图(3)，动点 B 在第一象限内，反比例函数 x>0)的图象分别与矩形OABC 的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB 相交于点 F.当 是等腰直角三角形时，探究点 D,E,F 是否分别为AB,BC,OB 的中外比点,并证明.
1 B 对于①,∵8>2,∴8※2=8.故①正确.对于②,若x≥3,则x※3=x.∵x※3=6,∴x=6.若x<3,则x※3=-x.∵x※3=6,∴x= - 6.故②错误.对于③,若a=b,则a※b=a,(-a)※(-b)=-a,a与-a不一定相等.故③错误.对于④,若2x-4≥2,即x≥3,则(2x-4)※2=2x-4<5x,解得 若2x-4<2,即x<3,则(2x-4)※2=4-2x<5x,解得 综上所述， 故④正确.其中正确的结论个数是2，故选 B.
2 C ∵点P(2a-4,a+3)在第二象限,∴2a-4<0,a+3>0,∴ -33
【解析】如图,过点 C 作CD⊥x轴于点 D,∵△ABC 是斜边为1的等腰直角三角形，∴ ),∴点C 是由点( 先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°得到的，即平移后的点再关于原点对称得到的，∴ 同理 即
4 1 919 3782
【解析】易知最小的“十全数”是1 919.∵一个“十全数”M= abcd,∴a+b=c+d=10,∴b=10-a,d=10-c,∴M=abcd=1 000a+100(10-a) +10c+10-c=900a+9c+ a= - 9a - 900c + 10 100, ∴ F (M) = M-M'= 与 均是整数， 与 均是整数,∴7a+c-3能被13 整除,8a+8c-3 能被17 整除.∵1≤a≤9,1≤c≤9,∴7≤7a≤63,-2≤c-3≤6,∴5≤7a+c-3≤69,∴7a+c-3的值可以为13,26,39,52,65,依次代入可得,当a=3,c=8时, 均是整数，符合题意,∴b=10-a=7,d=10-c=2,∴满足条件的M 的值是3782.
5 (1)a
解法提示：由新定义，得
(2)满足结合律(a b) c=a (b c).
理由：∵左边 右边
∴左边=右边，
∴对正实数a,b,c,运算“ ”满足结合律(a b) c=a (b c).
(3)
解法提示：由题意得.
∵AF=a,BF=b,正方形ABCD的面积为26,
∵四个直角三角形全等,∴AE=BF=b.
又∵a>b,
∴EF=AF-AE=a-b.
∵正方形EFGH的面积为16,
∴26-2ab=16,∴ab=5,
∴a+b=6(负值已舍),
∴(2a) b (2a)=(2a) (2a) b=a b=ab+b=
6(1)③
(2)当k=1时,b=0;当k≠1且k≠0时,b为任意实数.
(3)方法一：由二次函数 可得顶点坐标为(b，
∵抛物线 的顶点为该函数图象上的一个不动点，
即
方法二：由二次函数 可得对称轴为直线x=b.∵抛物线 的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴顶点坐标为(b,b),
即
(4)根据题意，得 即
令 即 解得
∴该函数是“不动点函数”.
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等.
7 D ∵AB =AC,∴∠B =∠C.在△ABD 和△ABE 中,∠B =∠B,AB=AB,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,故△ABD与△ABE是“伪全等三角形”.在△ACE 和△ACD中,∠C=∠C,AC=AC,AE=AD,∠CAE≠∠CAD,故△ACE 与△ACD 是“伪全等三角形”.在△ABD 和△ACD 中,∠B=∠C,AB =AC,AD=AD,∠BAD≠∠CAD,故△ABD 与△ACD 是“伪全等三角形”.在△ACE和△ABE 中,∠B =∠C,AE =AE,AC =AB,∠CAE≠∠BAE,故△ACE与△ABE是“伪全等三角形”、综上所述,共有4对“伪全等三角形”.故选D.
8 (1)30
等角的补角相等
(2)∵∠AFB 是△AEF的外角,∴∠AFB=∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角,∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD,∠E=∠D,∴∠AFB=∠ACB=60°,即线段AD 与线段 BE 所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
又∵AD=BE,∴线段AD 是线段BE 的双关联线段.
(3)答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段CD 即为所求.
9(1)P (-1,0)
(2)当直线l过点D(-1,1)时(临界点1),直线y=x+b上存在点P 是图W 的“映射点”，
此时1=-1+b,解得b=2.
当直线l过点B(1,-1)时(临界点2),直线y=x+b上存在点P是图 W 的“映射点”，
此时-1=1+b,解得b=-2.
∴当直线y=x+b上存在点 P 是图 W 的“映射点”时，b的取值范围为-2≤b≤2,
∴b的最大值为2.
(3)-2≤t≤2.
解法提示：设⊙T关于直线ON的对称圆为⊙T.
若点T在y轴正半轴上，
当ON与⊙T相切，且⊙T与x轴相切于点P时，如图所示，
易知此时是x轴上存在点 P 是图 W 的“映射点”的临界点.连接TT',OT',PT',
易得∠TON=∠T'ON,△NOT'≌△POT',
∵TN⊥ON,TN=1,∴OT=2TN=2,∴t=2.
若点T在y轴负半轴上，
当ON与⊙T相切，且⊙T'与x轴相切于点 P时，
同理可得此时OT=2,∴t=-2.
综上可知，当x轴上存在点 P 是图 W 的“映射点”时，t的取值范围是-2≤t≤2.
10(1)设PN=x,则MP=MN-PN=2-x.
根据题意，得
即
整理，得
解得 (不合题意，舍去)，
(2)如图(1)或图(2)所示.(作法不唯一；符合题意的点C有两个，作出一个即可)
(3)当△ODE 是等腰直角三角形时,点 D,E,F分别为AB,BC,OB的中外比点.
证明:①当∠OED =90°时,如图(3),OE = ED,∠OEC +∠DEB=90°.
∵四边形OABC 是矩形,∴∠OCE=∠EBD=90°,
∴∠COE+∠OEC=90°,∴∠COE=∠DEB,
∴△COE≌△BED(点拨:“一线三直角”全等模型),
∴CE=BD,OC=BE.
设E(m,n)(m>0,n>0),则OC=EB=n,CE=BD=m,
∴D(m+n,n-m).
∵点D，E在反比例函数 的图象上，
整理，得 或
又
∴点E,D分别是BC,AB的中外比点.
过点 F作 FH⊥AO于H.设点
∵∠BAO=∠FHO=90°,∴AB∥FH,
∴∠ABO=∠HFO,∴△HFO∽△ABO, 即
又：
∴F(n,m),
∴点 F为OB的中外比点.
②当∠ODE=90°时,如图(4),OD=DE,∠ODA+∠EDB=90°.
∵∠OAD=∠EBD=90°,∴∠ODA+∠DOA=90°,
∴∠EDB=∠DOA,∴△OAD≌△DBE(点拨:“一线三直角”全等模型).
设D(a,b)(a>0,b>0),则(OA=DB=a,AD=BE=b,∴E(a-b,a+b).
∵点D，E在反比例函数 的图象上，
∴k= ab=(a-b)(a+b)=a -b ,整理，得 或
又∵
∴点E,D分别为BC,AB的中外比点.
过点 F作 FG⊥AO于点 C.设点F(c, ab/c)(c>0).
同上可证△GFO∽△ABO,
∴F(b,a),
点F为OB的中外比点.