人教版九年级上册 22.2 二次函数与一元二次方程 分层练习（含答案）

人教版九年级上 22.2 二次函数与一元二次方程 分层练习
一．抛物线与x轴的交点问题（共15小题）
1．二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．抛物线y=-x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程-x2+bx+3=0的根为（　　）
A．x1=x2=1 B．x1=1，x2=-1 C．x1=1，x2=-2 D．x1=1，x2=-3
3．抛物线y=（x-a）（x-b）+2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n,且m＜n,下列结论正确的是（　　）
A．a＜m＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．m＜a＜n＜b
4．二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
5．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m）和B（5，m）是抛物线上y=x2+bx+1的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（　　）
A．图象的对称轴是直线x=-1
B．当x＞-1时，y随x的增大而减小
C．当-3＜x＜1时，y＜0
D．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3，1
7．如图，抛物线y=x2+2x-1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
8．若抛物线y=x2-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ______．
9．将抛物线y=2（x-2）2+3向下平移m个单位后与x轴只有一个交点，则m= ______．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c=3的解为 ______．
11．如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-4，-5），B（1，-2），则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为______．
12．已知抛物线y=ax2+bx+3（a、b是常数，a＜0）．求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点．
13．已知关于x的二次函数y=3x2-（3+k）x+k（k为常数）．
（1）若k=1，当0≤x≤1时，求二次函数的最小值；
（2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出k的值：如果不存在，请说明理由．
14．如图所示，已知二次函数y=x2-4x+m,它的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足OB=OD，顶点为C
（1）求m的值与直线BD的解析式；
（2）求抛物线顶点C的坐标；若将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点M，交直线AC于点Q，求四边形AOCP面积的最大值及此时P点的坐标．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共14小题）
16．如图，以（1，-4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（　　）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
17．下表示用计算器探索函数y=x2+5x-3时所得的数值：
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y -3 -1.69 -0.25 1.31 3
则方程x2+5x-3=0的一个解x的取值范围为（　　）
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（　　）
A．m≥-4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
19．已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k≤0 D．k≥0
20．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
21．根据下表中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．不能确定
22．用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-9=0的近似根为______．
23．若直线y=m（m为常数）与函数y=|x2-1|的图象恒有四个不同的交点，则常数m的取值范围是______．
24．抛物线y=2x2-4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是 ______．
25．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③a-b+c＞0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 ______（填序号）．
26．（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-1的大致图象．
（2）根据方程的根与函数图象之间的关系．将方程x2-2x-1=0的根在图上近似的表示出来；（描点）
（3）观察图象，直接写出方程x2-2x-1=0的根．（精确到0.1）
27．小颖利用计算机画出了函数y=x3-3x2-x+4的图象（如图），根据图象，你能求得方程x3-3x2-x+4=0的近似根吗？请写出你的结果，并说出你的理由（结果保留小数点后一位）
28．画出二次函数y=x2-2x-5的图象．
（1）利用图象求方程x2-2x-5=0的近似根（结果精确到0.1）；
（2）设该抛物线的顶点为M，它与直线y=-3的两个交点分别为C、D，求△MCD的面积．
29．我们在求方程x2+2x-6=0的近似根时，可以将原方程变形为-x2+3=x,然后在同一平面直角坐标系中画出函数y=-x2+3和y=x的图象，发现-4＜x1＜-3，1＜x2＜2．请你利用上述知识判断方程x3-6x+12=0在实数范围内有几个解？
人教版九年级上22.2二次函数与一元二次方程分层练习
(参考答案)
一．抛物线与x轴的交点问题（共15小题）
1、解：一元二次方程ax2+bx=0的根即为二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象与直线x轴的交点的横坐标，
结合图象，可知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，即方程ax2+bx=0有两个不相等的实数根，
故选：B．
2、解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线的另外一个交点为（-3，0），
∴一元二次方程-x2+bx+3=0的根为x1=1，x2=-3．
故选：D．
解法二：由图象可设一元二次方程-x2+bx+3=0的根为x1=1，x2，
则x1x2=-3，
解得：x2=-3，
∴一元二次方程-x2+bx+3=0的根为x1=1，x2=-3．
故选：D．
解法三：将（1，0）代入抛物线解析式中得-1+b+3=0，
∴b=-2，
∴y=-x2-2x+3，
令y=0，则-x2-2x+3=0，
解得：x1=1，x2=-3，
∴一元二次方程-x2+bx+3=0的根为x1=1，x2=-3．
故选：D．
3、解：二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴交点的横坐标为a、b,将其图象往上平移2个单位长度可得出二次函数y=（x-a）（x-b）+2的图象，
观察图象，可知：a＜m＜n＜b.
故选：A．
4、解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y=0时，方程x2-2x+1=0解的个数，
∵Δ=（-2）2-4×1×1=0，
∴此方程有两个相同的根，
∴二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
5、解：∵点A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx+1上的两点，
∴x=-=，
解得，b=-4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+1=（x-2）2-3，
∵将抛物线y=x2+bx+1向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，
∴n的最小值是4，
故选：C．
6、解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，所以A选项的说法正确；
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，所以B选项的说法错误；
当-3＜x＜1时，y＜0，所以C选项的说法正确；
方程ax2+bx+c=0的两个根是-3，1，所以D选项的说法正确．
故选：B．
7、解：函数的对称轴为直线x=-1，
∵CD∥AB，
∴CD=1×2=2，
故选：A．
8、解：由题意，∵抛物线y=x2-x+c（c是常数）与x轴没有交点，
∴Δ=1-4c＜0．
∴c＞．
故答案为：c＞．
9、解：∵将抛物线y=2（x-2）2+3向下平移m个单位后与x轴只有一个交点，
∴3-m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
10、解：∵A，B两点的横坐标为-2，3，
∴方程ax2+bx+c=3的解为x1=-2，x2=3，
故答案为：x1=-2，x2=3．
11、解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-4，-5），B（1，-2），
∴，既符合抛物线y=ax2+bx,也符合直线y=mx+n,
∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为：x1=-4，x2=1．
故答案为：x1=-4，x2=1．
12、证明：当y=0时，ax2+bx+3=0，
∵Δ=b2-4ac=b2-12a,
∵a＜0，
∴b2-12a＞0，
∴ax2+bx+3=0总有两个不相等的实数根，
∴在平面直角坐标系中，该抛物线y=ax2+bx+3与x轴总有两个公共点．
13、解：（1）将k=1代入二次函数表达式：，
∴当时，y取最小值．
（2）令y=0，得3x2-（3+k）x+k=0，
则，，
∴，
∵两个交点之间的距离为3，点A在点B的左侧，
∴x2-x1=3，
∴，
解得k=12或k=-6，
∴存在，k的值为12或-6．
14、解：（1）由题意，将点B坐标（m,0）代入y=x2-4x+m,
得m2-4m+m=0，即m2-3m=0，
∵m≠0，
∴m=3，
∴点D坐标（0，3），点B坐标（3，0），
设直线BD为y=kx+b,
则，解得，
∴直线BD解析式为y=-x+3．
（2）∵抛物线解析式为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C坐标（2，-1），
平移后抛物线顶点坐标为（0，0），
∴平移后抛物线的解析式为y=x2．
15、解：（1）当x=0时，y=2，当y=0时，，
解得x=4，
∴C（0，2），A（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴B（-2，0），
设y=a（x+2）（x-4），把C（0，2）代入，得：2=-8a,
∴，
∴；
（2）由题意可得：OA=4，OC=2，
∴，
设点，则：，
∴，
∴，
∴四边形AOCP的面积=，
∴当m=2时，四边形AOCP的面积最大为6，此时：P（2，2）．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共14小题）
16、解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4），
∴对称轴为x=1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是-3＜x＜-2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
17、解：∵二次函数y=x2+5x-3中a=1＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴x=-=-，
∴x＞-时y随x的增大而增大，
∵当x=0.5时，y=-0.25＜0，当x=0.75时，y=1.31＞0，
∴方程x2+5x-3=0的一个正根：0.5＜x＜0.75，
故选：C．
18、解：∵抛物线的顶点坐标为（6，-4），
即x=6时，二次函数有最小值为-4，
∴当m≥-4时，直线y=m与二次函数y=ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥-4．
故选：A．
19、解：∵，
∴k=x3+x,
∵关于x的方程有一个正的实数根，
∴x＞0，
∴k＞0．
故选：B．
20、解：∵抛物线与x轴的一个交点为（-3.4，0），又抛物线的对称轴为：x=-1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：D．
21、解：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．
故选：B．
22、解：方程x2+2x-9=0根是函数y=x2+2x-9与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2+2x-9的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间．
先求-5和-4之间的根，
当x=-4.15时，y=-0.0775；当x=-4.2时，y=0.24；
因此，x=-4.15（或x=-4.2）是方程的一个近似根，
同理，x=2.15（或x=2.2）是方程的另一个近似根．
故答案为：x1=-4.15，x2=2.15
23、解：当0＜m＜1时，函数y=m的图象与函数y=|x2-1|的图象有四个不同的交点；
故答案为：0＜m＜1
24、解：观察图象可知，抛物线y=2x2-4x+m与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∴一元二次方程2x2-4x+m=0的解为x1=-1，x2=3．
故本题答案为：x1=-1，x2=3．
25、解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c=3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴b=-2a,
∴2a+b=0，故②正确；
由图象可知，当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，故③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点在-1，0之间，
∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，
∴方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，故④正确，
故答案为：①②④．
26、解：（1）如图，
y=x2-2x-1=（x-1）2-2，
作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．
（2）正确作出点M，N；
（3）写出方程的根为-0.4，2.4．
27、解：根据函数和图象的关系可知：函数y=x3-3x2-x+4的图象与x轴交点的横坐标是相应的方程x3-3x2-x+4=0的解，
∵图象与x轴的交点坐标是（-1.2，0）（1.2，0），（2.8，0），
∴方程x3-3x2-x+4=0的近似根是x≈-1.2，x≈1.2，x≈2.8．
28、解：方程x2-2x-5=0根是函数y=x2-2x-5与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2-2x-5的图象，如图所示，
（1）由图象可知方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在3和4之间．
先求-2和-1之间的根，
当x=-1.4时，y=-0.24；当x=-0.15时，y=0.25；
因此，x=-1.4是方程的一个近似根，
同理，x=3.4是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x2-2x-5=0的近似根为x=-1.4或3.4．
（2）根据题意，得x2-2x-5=-3，
整理得x2-2x-2=0，
∴x1+x2=2，x1 x2=-2，
∴CD=|x1-x2|==2
∴在△CDM中，S△CDM=×2×3=3
∴三角形CDM的面积是3．
29、解：移项，得
x3=6x-12，
在同一平面直角坐标系内画出y=x3与y=6x-12的图象，如图
方程x3-6x+12=0在实数范围内有1个解（交点在第三象限）．