人教版九年级下册 27.2 相似三角形 同步练习（含答案）

人教版九年级下 27.2 相似三角形 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=3AD，DE∥BC交AC于点E，若线段AE=2.5，则线段AC的长为（　　）
A．10 B．7.5 C．15 D．20
2．若△ABC∽△DEF，相似比为1：5，则它们面积的比为（　　）
A．1：25 B．1：5 C．1：10 D．1：
3．如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO=2，OE=1，EC=2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　）
A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C． D．
5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．若AD：AB=3：4，则AE：EC=（　　）
A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3
6．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△DEF∽△ABC，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的相似比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
9．如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，DE=CF=2，连接DF交AE于点M，G，H分别是AE，DF的中点，连接HG并延长，交AD边于点N．下列结论：①∠AMF=90°；②△DME∽△DCF；③；④S△ANG=1．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
11．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED=∠B．如果BD=8，AE=6，EC=2，那么AD的长等于 ______．
12．如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，DE∥BC，交AC边于点E，EF∥AB，交BC边于点F，若BF：CF=3：2，AB=15，则线段BD的长为 ______．
13．如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DE=______．
14．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为2：3，则该矩形的周长为 ______．
15．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE：EQ=3：2，则的值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，点D为BC边的中点，连接EC，ED，AD．
（1）求证：△CAE∽△BAD；
（2）若BC=8，求ED的长．
17．如图所示，△PMN为等边三角形，其边长为8，ABCD是△PMN内的矩形，A，D分别是PM，PN上的点，B，C在MN上，设AD=x,AB=y.
（1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，矩形ABCD面积最大？最大面积为多少？
18．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ACB；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
19．如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，DE∥AC，AE=4，求AC、BE的长．
20．如图，点P是正方形ABCD中BC延长线上一点，对角线AC，BD相交于点O，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作AP的垂线，垂足为点G，交线段AC于H．
（1）若∠P=20°，求∠GBE的大小．
（2）求证：AE2=EF EP．
（3）若正方形ABCD的边长为1，CP=1，求HG的长．
人教版九年级下27.2相似三角形同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、A 3、A 4、C 5、A 6、D 7、C 8、A 9、C 10、D
二．填空题（共5小题）
11、4； 12、6； 13、2.5； 14、或； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，点D为BC边的中点，
∴∠B=60°，，
∴△BAD是等边三角形，
∴∠BAD=∠B=60°，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AE=AC，∠CAE=60°，
∴△CAE是等边三角形，
∴∠ACE=∠CAE=60°，
∴∠ACE=∠B，∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE∽△BAD（AAS）；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，点D为BC边的中点，
∴，，
∴，
∵△CAE是等边三角形，
∴∠ACE=60°，，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，
则在Rt△CDE中，．
17、解：（1）如图，作PF⊥MN于点F，交AD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBA=∠BAE=∠EFB=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=y,
∵AD∥MN，
∴∠PEA=∠PFM=90°，
∴PE⊥AD，
∵△PMN为等边三角形，PM=MN=8，
∴∠M=60°，
∴PF=PM sin60°=8×=4，
∵△PAD∽△PMN，
∴=，
∴=，
整理得y=-x+4，
由四边形ABCD是矩形得，
解得0＜x＜8，
∴y与x的函数关系式为y=-x+4（0＜x＜8）．
（2）∵AB=y=-x+4，AD=x,
∴S矩形ABCD=x（-x+4）=-（x-4）2+8，
∴S矩形ABCD最大=8，
∴当x=4时，矩形ABCD面积最大，最大面积为8．
18、（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC，
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
①当点P在线段AB上时，如图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，
∵△AQP∽△ABC，
∴，即 ，解得：PB=，
∴AP=AB-PB=3-=；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，
∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
19、（1）证明：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA；
（2）解：∵△CAD∽△CBA，
∴，
∴，
∴AC=12．
∵DE∥AC，
∴=，
∴=，
∴BE=5．
20、解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠ACB=45°，∠DBC=45°，
∵∠GEB=∠P+∠DBC，∠P=20°，
∴∠GEB=20°+45°=65°，
∵BG⊥AP，
∴∠BGE=90°，
∴∠GBE=90°-∠GEB=90°-65°=25°．
（2）如图所示，连接EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于BD对称，∠ACB=∠ACD=45°，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠EFC=180°-∠EAC-∠ACD，∠ECP=180°-∠ECA-∠ACB，
∴∠EFC=∠ECP，
又∵∠CEF=∠PEC，
∴△CEF∽△PEC，
∴，
∴EC2=EF EP，
∴EA2=EF EP．
（3）∵正方形的边长为1，
∴AB=BC=CD=AD=1，
又∵CP=1，
∴BP=2，
∴，，
∵BG⊥AP，
∴∠ABG+∠BAG=∠BAG+∠APB=90°，
∴∠APB=∠ABG，
∴，即，
∴，
方法（一），连接DP，
∵AD∥CP，AD=CP，
∴四边形ACPD为平行四边形，
∴AC∥PD，
∴∠CAP=∠APD，过D点作DM⊥AP于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即HG的长为．
方法（二），连接OF，
∵AD∥PC，
∴∠FAD=∠FPC，∠FDA=∠FCP，
∵AD=CP，
∴△FAD≌△FPC（ASA），
∴DF=FC，即点F是CD的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OF是△ADC的中位线，
∴OF：AD=1：2，OF∥AD，
∴OE：ED=1：2，
∴OE：OD=1：3，
∴OE：OA=1：3，
∴tan∠OAE=OE：OA=1：3，
∴tan∠HAG=tan∠OAE=HG：AG=1：3，
∴HG：=1：3，
∴HG=．