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第十八章 分式
18.4 整数指数幂
（第1课时）
1．理解负整数指数幂的意义．
2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算．
a a = ______(m，n是正整数)
(am)n＝ ______(m，n是正整数)
(ab)n＝ ______(n是正整数)
am÷an＝ ______(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
______ (n是正整数)
1 ．说一说正整数指数幂的运算性质．
amn
anbn
a +
am-n
2．填空：
随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广．例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围．同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？
下面，我们从追溯幂的符号的演变开始．
溯源：幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示．
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a -1，a -2，a -3，…．”
思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？
由分式的约分可知，当a≠0时，
．①
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有
a3÷a5＝a3-5＝a -2．②
由①②两式，我们想到如果规定a-2＝ (a≠0)，就能使am÷an＝am-n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当n是正整数时，
.
这就是说，a -n(a≠0)是an的倒数．
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数．
思考：引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an＝am＋n(m，n是正整数)①能否推广到m，n是任意整数的情形？
，即；
，即；
，即．
一般地，am·an＝am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．
探究：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质
(am)n＝amn(m，n是正整数)，②
(ab)n＝anbn(n是正整数)，③
am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)，④
(n是正整数)⑤
进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂．
例：计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
整数指数幂的计算方法
（1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算．
（2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式．
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
，
，
因此，
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法．
特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方．
于是，整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1） (m，n是整数)；
（2） (m，n是整数)；
（3） (n是整数)．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1)；(2)
解：（1）原式；
（2）原式．
【知识技能类练习】选做题：
4．计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ．
【综合拓展类练习】
5．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：．
(1)计算： ； ；
(2)如果，那么 ；如果，那么 ；
3
【综合拓展类练习】
(3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值．
解：（3）∵，∴，∴，
∵，为整数，
当时，；
当时，；
当时，
整数指数幂
整数指数幂的运算性质
负整数指数幂
【知识技能类作业】必做题：
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．若，则的值为（ ）
A．8 B． C． 8 D．
B
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)；
(2)．
解：（1）
。
；
（2）
；
【知识技能类作业】选做题：
4．将分式表示成不含有分母的形式： ．
【综合拓展类作业】
5．先化简，再求值：，其中
解：原式
，
其中，
将代入原式得．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 18.4 整数指数幂（第1课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解负整数指数幂的意义． 2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算．
重点 掌握整数指数幂的运算性质．
难点 负整数指数幂的性质的理解和应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说正整数指数幂的运算性质． a a = ______(m，n是正整数) (am)n＝ ______(m，n是正整数) (ab)n＝ ______(n是正整数) am÷an＝ ______(a≠0，m，n是正整数，m＞n) ______ (n是正整数) 答案：a + ，amn，anbn，am-n， 2．填空：
新知探究 本节课来研究： 本节我们研究负整数指数幂。 下面，我们从追溯幂的符号的演变开始． 溯源：幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示． an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a -1，a -2，a -3，…．” 思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 归纳：一般地，当n是正整数时， . 这就是说，a -n(a≠0)是an的________． 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数． 思考：引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an＝am＋n(m，n是正整数)①能否推广到m，n是任意整数的情形？ 归纳：一般地，am·an＝am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用． 探究：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质 (am)n＝amn(m，n是正整数)，② (ab)n＝anbn(n是正整数)，③ am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)，④ (n是正整数)⑤ 进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 归纳：事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂． 例：计算． （1）；（2）；（3）；（4）． 归纳：整数指数幂的计算方法 （1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算． （2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式． 阅读：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， ， ， 因此， 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． 特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方． 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： （1） (m，n是整数)； （2） (m，n是整数)； （3） (n是整数)．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 【综合拓展类练习】 5．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（ ） A．8 B． C． 8 D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．将分式表示成不含有分母的形式： ． 【综合拓展类作业】 5．先化简，再求值： ，其中
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分课时教学设计
第八课时《18.4 整数指数幂（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是人教版数学八年级上册分式章节的核心内容，是正整数指数幂知识的延伸与拓展．它打破了指数仅为正整数的限制，将指数取值范围扩充到全体整数，完善了整数指数幂的知识体系． 其作用体现在两方面：一是为分式运算提供了更简便的工具，通过负整数指数幂可将分式转化为幂的形式，简化运算过程；二是为后续学习科学记数法、函数等知识奠定基础，是连接初中代数与高中数学的重要桥梁． 同时，本节通过追溯幂的符号演变、推导运算性质，培养学生的逻辑推理与知识迁移能力，帮助学生形成“推广—验证—应用”的数学思维模式，提升数学运算与探究能力．
学习者分析 学生已具备正整数指数幂的定义、运算性质及分式的概念与约分知识，这为理解负整数指数幂的规定：奠定基础，能借助分式约分推导负整数指数幂意义，契合其从具体到抽象的认知规律．不过，他们虽有初步逻辑推理与知识迁移能力，可尝试将正整数指数幂运算性质推广到整数范围，但对“规定负整数指数幂的数学合理性”理解易存困惑，且常忽略“底数不为0”的限制条件．同时，在“分式运算与幂的运算转化”“整数指数幂混合运算”上易遇障碍，需通过实例解析与针对性练习强化转化思维，助力突破学习难点．
教学目标 1．理解负整数指数幂的意义． 2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算．
教学重点 掌握整数指数幂的运算性质．
教学难点 负整数指数幂的性质的理解和应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解负整数指数幂的意义． 2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说正整数指数幂的运算性质． a a = ______(m，n是正整数) (am)n＝ ______(m，n是正整数) (ab)n＝ ______(n是正整数) am÷an＝ ______(a≠0，m，n是正整数，m＞n) ______ (n是正整数) 答案：a + ，amn，anbn，am-n， 2．填空： 答案：1 导言：随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广．例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围．同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习正整数指数幂和零指数幂的运算性质，为探究负整数指数幂的运算性质做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：下面，我们从追溯幂的符号的演变开始． 溯源：幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示． an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a -1，a -2，a -3，…．” 思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 预设：由分式的约分可知，当a≠0时， ．① 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有 a3÷a5＝a3-5＝a -2．② 由①②两式，我们想到如果规定a-2＝ (a≠0)，就能使am÷an＝am-n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定： 一般地，当n是正整数时， . 这就是说，a -n(a≠0)是an的倒数． 指出：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数． 思考：引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an＝am＋n(m，n是正整数)①能否推广到m，n是任意整数的情形？ 预设：， 即； ， 即； ， 即． 归纳：一般地，am·an＝am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用． 探究：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质 (am)n＝amn(m，n是正整数)，② (ab)n＝anbn(n是正整数)，③ am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)，④ (n是正整数)⑤ 进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 归纳：事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂． 例：计算． （1）；（2）； （3）；（4）． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 归纳：整数指数幂的计算方法 （1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算． （2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式． 讲解：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， ， ， 因此， 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． 特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方． 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： （1） (m，n是整数)； （2） (m，n是整数)； （3） (n是整数)．学生活动3： 学生认真听老师的讲解，并主动进行探究活动意图说明： 通过讲解与探究，让学生掌握负整数指数幂的运算性质，并总结整数指数幂的运算，提高学生的运算能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：18.4整数指数幂（第1课时）一、负整数指数幂 二、整数指数幂的运算性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式； （2）原式． 选做题： 4．计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 答案： 解： ， 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 解：（1）由题意得，，； 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时，
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．若，则的值为（ ） A．8 B． C． 8 D． 答案：B 3．计算： (1)； (2)． 解：（1） ； （2） ； 选做题： 4．将分式表示成不含有分母的形式： ． 答案： 解：原分式为 ，根据负整数指数幂的意义，分母中的可写为， 可写为， 所以原式化为． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．先化简，再求值： ，其中 解：原式 ， 其中， 将代入原式得．
教学反思 本课教学中，通过追溯幂的符号演变历史引入负整数指数幂，能激发学生兴趣，且借助分式约分推导负整数指数幂定义，符合学生认知逻辑，多数学生可理解核心概念．但存在不足：对“底数不为0”的强调不够充分，部分学生在练习中仍忽略此条件；对运算性质推广的验证环节，留给学生自主探究的时间不足，导致少数学生未能深入理解推广的合理性．后续教学需加强易错点针对性训练，增加学生自主推导与交流时间，进一步提升知识应用与逻辑推理能力的培养效果．
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