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第十八章 分式
18.4 整数指数幂
（第2课时）
1．会用科学记数法表示小于1的正数．
2．会解决与科学记数法有关的实际问题．
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示．
1．光速约 300 000 000 m/s，太阳的半径约 696 000 km．请用科学记数法表示出来．
解：光速约为3×108m/s，太阳半径约为6.96×105km.
像这样，把一个大于10的数表示成 a×10n（其中a大于或等于1且a小于10， n是正整数），使用的是科学记数法.
2．什么是科学记数法？
无论是在生活中或学习中，我们还会遇到一些比较小的数．例如，人类毛细血管的直径约 0.000 008 m；单层的石墨烯的厚度仅有 0.335 nm，即0.000 000 000 335 m．
有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示．例如，0.000 008＝8×10-6，0.000 000 000 335 ＝3.35×10 -10．
一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10 -n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．
这种形式更便于比较数的大小和运算.
例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10 -6，纳对应10 -9．微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1μm＝10 -6m，1nm＝10 -9m．
思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？
答：如果小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0，用科学记数法表示这个数时，10 的指数是－9．如果有 m 个 0 ，那么 10 的指数是－(m＋1)．
0.000 000 002 57＝__________
2.57×10 -9
8个0
解：（1）0.3=3×10-1 ；
（2）-0.000 78=-7.8×10-4 ；
（3）0.000 020 09=2.009×10-5.
例1：用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.
例2：碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2～20nm．通常一根头发丝的直径约为70μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料．
解：70μm＝70×10 -6m，2nm＝2×10 -9m，20nm＝20×10 -9m．
(70×10 -6)÷(2×10 -9)＝3.5×104．
(70×10 -6)÷(20×10 -9)＝3.5×103．
因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103～3.5×104倍．
【知识技能类练习】必做题：
1．在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：（用科学记数法表示结果）
(1)； (2)．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识技能类练习】选做题：
4．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ．
【综合拓展类练习】
5．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有．
(1)用科学记数法表示上述三个数据．
(2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
解：（1），，
．
（2）．
答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量．
科学记数法
利用科学记数法解答实际问题
用科学记数法表示小于 1 的正数
【知识技能类作业】必做题：
1．用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．用科学记数法表示下列数或算式的结果：
(1)；(2)；(3)．
解：（1）；
（2）；
（3）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m
【综合拓展类作业】
5．1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取）
解：由题可得：一根头发的直径约为：，则一根头发的半径为：，
∴一根头发的横截面积为：
，
∴万根头发的横截面约为：
，
答：一根头发的直径大约是，一根头发的横截面积为，万根头发的横截面约为．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 18.4 整数指数幂（第2课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．会用科学记数法表示小于1的正数． 2．会解决与科学记数法有关的实际问题．
重点 会用科学记数法表示小于1的正数．
难点 正确掌握10-n的特征以及科学记数法中n与数位的关系．
探究过程
导入新课 【引入思考】 我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示． 问题：1．光速约 300 000 000 m/s，太阳的半径约 696 000 km．请用科学记数法表示出来． 2．什么是科学记数法？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助已经学过的“科学记数法表示较大的数”与负整数指数幂的知识，研究用科学记数法表示小于1的正数。 阅读：无论是在生活中或学习中，我们还会遇到一些比较小的数．例如，人类毛细血管的直径约 0.000 008 m；单层的石墨烯的厚度仅有 0.335 nm，即0.000 000 000 335 m． 有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示． 例如，0.000 008＝8×10-6，0.000 000 000 335 ＝3.35×10 -10． 归纳：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为________的形式，其中1≤a＜10，n是正整数． 注意：这种形式更便于比较数的大小和运算. 例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10 -6，纳对应10 -9．微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1μm＝10 -6m，1nm＝10 -9m． 思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？ 解：0.000 000 002 57＝__________ 答：如果小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0，用科学记数法表示这个数时，10 的指数是____．如果有 m 个 0 ，那么 10 的指数是________． 例1：用科学记数法表示下列各数： （1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09. 例2：碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2～20nm．通常一根头发丝的直径约为70μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？ 知识连接：纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 3．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 选做题： 4．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 【综合拓展类练习】 5．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（ ） A． B． C． D． 2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（ ） A． B． C． D． 3．用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m 【综合拓展类作业】 5．1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取）
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分课时教学设计
第九课时《18.4 整数指数幂（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版数学八年级上册第十八章分式的重要内容，承接之前正整数指数幂与科学记数法的知识，拓展了科学记数法的应用范围，使小于1的正数也能通过a×10-n(1≤a<10，n为正整数）的形式表示．它不仅完善了科学记数法的知识体系，为分式运算、后续物理化学等学科中微小量的表示与计算奠定基础，还能帮助学生体会数学与自然科学、生活的紧密联系，培养数感和运算能力，提升运用数学知识解决实际问题的意识．
学习者分析 学生已掌握正整数指数幂及用科学记数法表示较大正数的知识，对a×10n(1≤a<10，n为正整数）的形式有基础认知，这为学习用科学记数法表示小于1的正数奠定了基础，能较快理解a的取值要求延续性．但学生对负整数指数幂的意义理解较浅，确定10-n中n的值易混淆；处理涉及微米、纳米等单位的实际计算时，常忽略单位换算或在幂的乘除运算中出错，且跨学科应用数学知识的意识较弱，需借助实例强化引导．
教学目标 1．会用科学记数法表示小于1的正数． 2．会解决与科学记数法有关的实际问题．
教学重点 会用科学记数法表示小于1的正数．
教学难点 正确掌握10-n的特征以及科学记数法中n与数位的关系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．会用科学记数法表示小于1的正数． 2．会解决与科学记数法有关的实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示． 问题：1．光速约 300 000 000 m/s，太阳的半径约 696 000 km．请用科学记数法表示出来． 解：光速约为3×108m/s，太阳半径约为6.96×105km. 2．什么是科学记数法？ 预设：像这样，把一个大于10的数表示成 a×10n（其中a大于或等于1且a小于10， n是正整数），使用的是科学记数法.学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 带领学生复习已经学过的“科学记数法表示较大的数”的知识，巩固基础，为本节课学习科学记数法表示小于1的正数做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：无论是在生活中或学习中，我们还会遇到一些比较小的数．例如，人类毛细血管的直径约 0.000 008 m；单层的石墨烯的厚度仅有 0.335 nm，即0.000 000 000 335 m． 指出：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示．例如，0.000 008＝8×10-6，0.000 000 000 335 ＝3.35×10 -10． 归纳：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10 -n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数． 讲解：这种形式更便于比较数的大小和运算. 例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10 -6，纳对应10 -9．微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1μm＝10 -6m，1nm＝10 -9m． 思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？ 解：0.000 000 002 57＝__________ 答案：2.57×10 -9 答：如果小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0，用科学记数法表示这个数时，10 的指数是－9．如果有 m 个 0 ，那么 10 的指数是－(m＋1)． 例1：用科学记数法表示下列各数： （1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09. 解：（1）0.3=3×10-1 ； （2）-0.000 78=-7.8×10-4 ； （3）0.000 020 09=2.009×10-5. 例2：碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2～20nm．通常一根头发丝的直径约为70μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？ 讲解：纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料． 解：70μm＝70×10 -6m，2nm＝2×10 -9m，20nm＝20×10 -9m． (70×10 -6)÷(2×10 -9)＝3.5×104． (70×10 -6)÷(20×10 -9)＝3.5×103． 因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103～3.5×104倍．学生活动3： 学生认真听老师讲解，再进行小组合作探究，班内汇报交流，并听老师的点评活动意图说明： 通过观察与思考，让学生发现规律，得出小数点后至第一个非0数字前的0的个数与10的指数的关系，从而找到用科学记数法表示小数的关键是写出10的指数．通过例题，帮助学生提高学生利用科学记数法表示绝对值小于1的数，并用科学记数法解决实际问题的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：18.4整数指数幂（第2课时）一、用科学记数法表示小于 1 的正数 二、利用科学记数法解答实际问题教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 选做题： 4．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 答案： 【综合拓展类练习】 5．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 解：（1）， ， ． （2）． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．用科学记数法表示下列数或算式的结果： (1)； (2)； (3)． 解：（1）； （2）； （3） ． 选做题： 4．在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m 答案： 【综合拓展类作业】 5．1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取） 解：由题可得： 一根头发的直径约为：，则一根头发的半径为：， ∴一根头发的横截面积为：， ∴万根头发的横截面约为：， 答：一根头发的直径大约是，一根头发的横截面积为，万根头发的横截面约为．
教学反思 本课教学中，借助生活与科学实例（如碳纳米管、头发丝直径对比）帮助学生理解负整数指数幂的科学记数法，多数学生能掌握a×10-n的形式及a的取值要求．但存在不足：对n的确定，部分学生仍需反复强调；单位换算与幂运算结合的题目，出错率较高．后续需增加针对性练习，采用分层提问，关注理解薄弱的学生，同时加强数学与理化学科的联系，提升学生跨学科应用能力．
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