2025-2026学年九年级数学沪教版上册期中检测卷（24-25章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（24-25章）
一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．已知，则（　　）
A． B． C．或 D．
2．在中，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．如图，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线，直线与直线分别交于点，其中，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米
A． B． C． D．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．比较大小： ．(填“”，“”或“”)
8．若，则的值是 ．
9．已知为锐角，且，则 ．
10．已知边求余弦值→已知余弦值求边在中，则AC的长为 ．
11．如图，两个相似图形和 A/B/O，若，则 ．
12．如图，在 ABC中，若，，，则的长为 ．
13．如图， ABC的顶点在正方形网格的交点上，则的值为 ．
14．如图，已知四边形中，点、、分别是对角线、和边的中点．如果设，，那么向量 （用向量、表示）．
15．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ．
16．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ．
17．如图，点分别在 ABC的边上，直线交的延长线于点，若分别表示的面积，且，则 ．
18．定义：在平面直角坐标系中，已知，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如下图，点的“最佳间距”是1．
(1)理解：点的“最佳间距”是________．
(2)探究：已知点．
①若点O，A，B的“最佳间距”是1，求y的值；
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________．
三、解答题（7小题，共64分）
19．计算下列各题：
(1)； (2) ．
20．已知，且．
(1)的值为______；
(2)若，求的值．
21．如图，已知点在四边形的边上，设，，．
(1)试用向量、、表示向量，；
(2)在图中求作：．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
22．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，；
(2)当t为何值时，与 AOB相似．
23．在 ABC中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上．
【探究】
(1)正方形的边长为______；
(2)正方形的边长______；
(3)写出正方形的边长______（用含的代数式表示）．
24．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）．
(1)以点O为位似中心，在第四象限内将 ABC放大到原来的2倍，得到；
(2)求 ABC的面积；
(3) _______．
25．综合与实践．
【主题】探究化学实验中的数学问题．
【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．
【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角．
【问题解决】
(1)求的度数；
(2)铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，）
参考答案
一、选择题
1．A
【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则， ， ，
∵，即，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，，
∴，
∴，或，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
2．D
【详解】解：如图，
∵，，
∴设，则
∴
∴
解得：
∴
故选：D．
3．A
【详解】解：∵，
，
故选：A．
4．B
【详解】∵，，
∴，
即
解得：
故选：B
5．D
【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2，
∵小鱼上的点，
∴对应大鱼上的点为：．
故选：D．
6．B
【详解】解：如图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵扶梯的坡比为，
∴，
∴（米），
∴米，
∵滑梯的坡比为，
∴，
∴米，
∴（米），
答：滑梯的长为米．
故选：B．
二、填空题
7．
【详解】解：，
，
即，
故答案为：．
8．
【详解】解：∵，
∴设（），则，，，
∴，
故答案为：．
9．
【详解】解：．
又，．
故答案为：
10．6
【详解】解：，
，
，
，
由勾股定理可得：,
,
故答案为：6.
11．
【详解】解：∵和 A/B/O是位似图形，
∴，
∴，
故答案为：
12．16
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：16．
13．
【详解】解：如图：
在中，，，
，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵点、、分别是对角线、和边的中点．
∴，，
∴．
∵，，
∴．
，
，
故答案为：．
15．或
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵它们的面积比为，
∴它们的相似比为，
∵，
当点在y轴的右侧时，
∴，即；
当点在y轴的左侧时，
∴，即；
故答案为或．
16．
【解答】解：由题意可得，
∴，
过点B作，垂足为E，
在中，，
由题意可得，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【详解】解：如图，连接，
，
，即，
，
，，
，即，
解得，
故答案为：．
18．(1)2
(2)①；②3
【详解】（1）解：∵点，，，
∴，，
∵垂线段最短，
∴，
∴点，，的“最佳间距”是．
故答案为：.
（2）解：①∵点，，，
∴轴，
∴，，
∵点，，的“最佳间距”是，
∴，
∴．
②当时，点，，的“最佳间距”是，
当或时，，点，，的“最佳间距”是，
∴点，，的“最佳间距”的最大值为．
故答案为：.
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，且，
∴，，，
∵，
则，
∴的值为8．
21．（1）解：，，，
，
，
故答案为：，；
（2）连接．
，
即为所求．
22．（1）解：∵点，点，，
∴，，
；
由题意，，则，
由题意则有：，
解得，
当时，；
（2）解：∵是公共角，
∴①当时，，
∴，
即，
解得；
②当时，，
∴，
即，
解得；
综上，当的值为或时，与相似．
23．（1）解：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
设正方形的边长为x，
，
，
解得，
即正方形的边长为；
（2）由（1）得，，
设正方形的边长为y，
同理（1），得到，
得到，
解得，
即正方形的边长为．
（3）根据（1）和（2）的规律得到正方形的边长与n之间的关系为：．
24．（1）解：如图，即为所求：
（2）解： ABC的面积是；
（3）解：∵ ABC和关于原点位似，位似比为
∴，且相似比为
∴．
25．（1）解：∵．．
∴
由题意可知，
∴
（2）过点作，交的延长线于点，
∵试管的长为，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴
∵
∴
即水槽的高度约为