第一章集合与常用逻辑用语 单元检测（含答案）2025-2026学年人教A版数学必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语
(考查范围：第一章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x∈N|－1≤x≤2}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1，0，1，2}
B．{－1，0，1}
C．{0，1}
D．{1}
2．命题“对任意x∈R，都有x2>0”的否定是(　　)
A．对任意x∈R，都有x2≤0
B．不存在x∈R，使得x2≤0
C．存在x∈R，使得x2≥0
D．存在x∈R，使得x2≤0
3．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝(　　)
A．{0，2，4，6，8}
B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8}
D．U
4．若集合A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B＝(　　)
A．{3，7} B．{(3，7)}
C．(3，7) D．{x＝3，y＝7}
5．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　)
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
7．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为(　　)
A． B．0
C．或0 D．无解
8．对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是(　　)
A．{1，8} B．{2，3}
C．{1} D．{2}
10．下列命题正确的是(　　)
A．命题“ x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1＜0”
B．“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1”
C． x∈R，x2＞0
D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件
11．取整函数y=[x]中，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用．以下关于取整函数的命题是真命题的有(　　)
A． x∈R，[2x]＝2[x]
B． x∈R，[2x]＝2[x]
C． x，y∈R，若[x]＝[y]，则x－y＜1
D． x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某班50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有_________人．
13．若命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.
14．中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为　　　　　　　，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为　　　　　　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知集合A＝{x|2a－1(1)在①a＝－1，②a＝0，③a＝1这三个条件中选择一个作为已知条件，求A∪B；
(2)若A∩ RB＝A，求实数a的取值范围．
16．(15分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∩B≠ ，A∩C＝ ，求实数a的值．
17．(15分)已知集合A＝，B＝{x}．
(1)若C＝{3，4，a2＋2a－3}，0∈(B∩C)，求实数a的值；
(2)从①A∩B＝A，②A∩ RB＝ ，③B∪ RA＝R这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
18．(17分)已知命题p： x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，命题q： x∈R，x2＋2x－a>0.
(1)若命题p和命题綈q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
19．(17分)定义两种新运算“ ”与“ ”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a b＝ab，a b＝.设全集U＝{x|x＝(a b)＋(a b)，－2(1)求集合U和A．
(2)集合A，B是否能满足B∩ UA＝ ？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
第一章集合与常用逻辑用语
(考查范围：第一章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x∈N|－1≤x≤2}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1，0，1，2}
B．{－1，0，1}
C．{0，1}
D．{1}
C　解析：因为A＝{x∈N|－1≤x≤2}＝{0，1，2}，又B＝{－2，－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}．
2．命题“对任意x∈R，都有x2>0”的否定是(　D　)
A．对任意x∈R，都有x2≤0
B．不存在x∈R，使得x2≤0
C．存在x∈R，使得x2≥0
D．存在x∈R，使得x2≤0
3．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝(　　)
A．{0，2，4，6，8}
B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8}
D．U
A　解析：由题意可得 UN＝{2，4，8}，则M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．
4．若集合A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B＝(　　)
A．{3，7} B．{(3，7)}
C．(3，7) D．{x＝3，y＝7}
B　解析：联立集合A与集合B中方程得
消去y得3x－2＝x＋4，解得x＝3.
把x＝3代入方程y＝3x－2，得y＝9－2＝7，
所以方程组的解为
因为A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，
所以A∩B＝{(3，7)}．故选B．
5．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　)
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
C　解析：a＝b ac＝bc，当c＝0时，ac＝bc，a与b不一定相等，A是假命题；
当a＝1，b＝－2时，a>b，但a2a＜5不一定a＜3，但a＜3必有a＜5，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C是真命题；
若a＋5是无理数，则a是无理数，若a是无理数，则a＋5是无理数，所以“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D是假命题．故选C．
6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
C　解析：当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝2；当x＝3时，y＝－3.
所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2，5，6}，共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7.故选C．
7．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为(　　)
A． B．0
C．或0 D．无解
C　解析：由集合A的子集只有两个，知集合A中只有一个元素．
当a＝0时，A＝{x|ax2－3x＋2＝0}＝{x|－3x＋2＝0}＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝.
综上，a＝0或a＝.故选C．
8．对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．
p：x＋y≠8，对应集合为A＝{(x，y)|x＋y≠8}．
q：x≠2，或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2，或x≠6}．
綈p：x＋y＝8，对应集合为 UA＝{(x，y)|x＋y＝8}，
綈q：x＝2，且y＝6，对应集合为 UB＝{(x，y)|x＝2，且y＝6}＝{(2，6)}，
显然 UB? UA，所以A?B，即p是q的充分不必要条件.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是(　　)
A．{1，8} B．{2，3}
C．{1} D．{2}
AC　解析：因为A B，A C，所以A (B∩C)．因为B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以B∩C＝{1，8}．所以A {1，8}．故选AC．
10．下列命题正确的是(　　)
A．命题“ x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1＜0”
B．“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1”
C． x∈R，x2＞0
D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件
AD　解析：因为“ x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1＜0”，所以A正确；
当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，所以B错误；
当x＝0时，x2＝0，所以C错误；
当a＞1，b＞1时，ab＞1，所以充分性成立，所以D正确．
11．取整函数y=[x]中，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用．以下关于取整函数的命题是真命题的有(　　)
A． x∈R，[2x]＝2[x]
B． x∈R，[2x]＝2[x]
C． x，y∈R，若[x]＝[y]，则x－y＜1
D． x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
BC　解析：由取整函数的定义知[2x]＝2[x]不一定成立，如x取1.5时，[2x]＝3，2[x]＝2，故A是假命题；当x取1时，[2x]＝2，2[x]＝2，故B是真命题；设x＝n＋a(n∈Z，0≤a＜1)，y＝m＋b(m∈Z，0≤b＜1)，若[x]＝[y]，则n＝m，因此x－y＝a－b≤a＜1，故C是真命题；当x取1.6，y取1.6时，[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝1＋1＝2，故D是假命题．故选BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某班50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有_________人．
25　解析：根据题意，可设全集U表示全班学生，集合A表示做对物理实验的学生，集合B表示做对化学实验的学生，并将两种实验都做对的学生人数记为x，如图所示．
所以(40－x)＋x＋(31－x)＋4＝50，解得x＝25.
故两种实验都做对的学生为25人.
13．若命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.
{a|a≤1}　解析：由题意知，当1≤x≤2时，a≤x恒成立，所以a≤1.
14．中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为　　　　　　　，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为　　　　　　　　　.
{60，120，180}　{x|x＝60n，n∈N*}　解析：因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}．此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为{x|x＝60n，n∈N*}．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知集合A＝{x|2a－1(1)在①a＝－1，②a＝0，③a＝1这三个条件中选择一个作为已知条件，求A∪B；
(2)若A∩ RB＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)选择①a＝－1，则A＝{x|－3所以A∪B＝{x|－3选择②a＝0，则A＝{x|－1所以A∪B＝{x|－1选择③a＝1，则A＝{x|1所以A∪B＝{x|0≤x<2}．
(2)由题意知， RB＝{x|x<0，或x>1}，
因为A∩ RB＝A，所以A RB．
若2a－1≥a＋1，即a≥2，则A＝ ，满足题意；
若2a－1由A RB，得a＋1≤0或2a－1≥1，
解得a≤－1或a≥1.
所以a≤－1或1≤a<2.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a≥1}.
16．(15分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∩B≠ ，A∩C＝ ，求实数a的值．
解：(1)因为集合A＝{x}，
集合B＝{x}＝{2，3}，且A∩B＝{2}，
所以2∈A，所以4－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0，解得a＝－3或a＝5.
当a＝－3时，A＝{x}＝{－5，2}，A∩B＝{2}，符合题意；
当a＝5时，A＝{x}＝{2，3}，A∩B＝{2，3}，不符合题意．
综上，实数a的值为－3.
(2)因为A＝{x}，B＝{2，3}，C＝{x}＝{－4，2}，且A∩B≠ ，A∩C＝ ，
所以3∈A，－4 A，2 A，
所以9－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{x}＝{－5，3}，满足题意；
当a＝5时，A＝{x}＝{2，3}，不满足题意．
综上，实数a的值为－2.
17．(15分)已知集合A＝，B＝{x}．
(1)若C＝{3，4，a2＋2a－3}，0∈(B∩C)，求实数a的值；
(2)从①A∩B＝A，②A∩ RB＝ ，③B∪ RA＝R这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
解：(1)因为0∈(B∩C)，所以0∈C，
所以a2＋2a－3＝0，得a＝1或a＝－3.
当a＝－3时，B＝{x|－5当a＝1时，B＝{x|－1综上，实数a的值为1.
(2)选择条件①.
由A∩B＝A，得A B，
所以解得0≤a≤.
故实数a的取值范围是.
选择条件②.
由A∩ RB＝ ，得A B，
所以解得0≤a≤.
故实数a的取值范围是.
选择条件③.
由B∪ RA＝R，得A B，
所以解得0≤a≤.
故实数a的取值范围是.
18．(17分)已知命题p： x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，命题q： x∈R，x2＋2x－a>0.
(1)若命题p和命题綈q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：(1)若命题p为真命题，即 x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，则6<2a，所以a>3.
若命题q为真命题，即 x∈R，x2＋2x－a>0，
则Δ＝22＋4a<0，解得a<－1.
因为命题p和命题綈q有且只有一个为假命题，
所以当命题p为假命题，命题綈q为真命题时，解得－1≤a≤3；
当命题p为真命题，命题綈q为假命题时，
解得a∈ .
所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤3}．
(2)由(1)知，若命题p和命题q都为假命题，
则即－1≤a≤3.
因为命题p和命题q至少有一个为真命题，所以a>3或a<－1，即实数a的取值范围是{a|a>3，或a<－1}.
19．(17分)定义两种新运算“ ”与“ ”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a b＝ab，a b＝.设全集U＝{x|x＝(a b)＋(a b)，－2(1)求集合U和A．
(2)集合A，B是否能满足B∩ UA＝ ？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
解：(1)全集U中，x＝(a b)＋(a b)＝ab＋，
－2当a＝－1时，b＝0或b＝－1，此时x＝－或x＝1；
当a＝0时，b＝0，此时x＝0，所以U＝.
集合A中，x＝2(a b)＋＝2ab＋，－1当a＝0时，b＝1，此时x＝－，即A＝.
(2)因为 UA＝{0，1}，所以当B∩ UA＝ 时，B＝ 或B＝A．
当B＝ 时，方程无实根，则Δ＝(－3)2－4m<0，解得m>；
当B＝A时，方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根为－，
则
此时m的值不存在．
综上，实数m的取值范围是.
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