第二章一元二函数.方程和不等式 单元检测（含答案）2025-2026学年人教A版数学必修第一册

第二章一元二函数.方程和不等式
(考查范围：第二章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式正确的是(　　)
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
2．函数y＝(x>0)的最小值为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
3．已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　)
A．{－4，1} B．{1，5}
C．{3，5} D．{1，3}
4．已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围为(　　)
A．－6≤2a－b≤4
B．0≤2a－b≤10
C．－4≤2a－b≤2
D．－5≤2a－b≤1
5．不等式≤0的解集是(　　)
A．{x|x<－1，或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1，或x≥2}
D．{x|－16．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．A7．已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≥2}
B．{m|m≥4}
C．{m|m≥6}
D．{m|m≥8}
8．在R上定义运算：x?y＝x(1－y)．若 x∈R，使得(x－a)?(x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若a>b>0，则下列结论正确的是(　　)
A．a2>b2 B．ac2>bc2
C．< D．a2>ab
10．已知函数y＝x2＋ax＋b(a≠0)有且只有一个零点，则(　　)
A．a2－b2≤4
B．a2＋≤4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为{x|x10
D．若不等式x2＋ax＋b11．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，则(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2 D．ab有最小值3＋2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是　　　　.
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为　　　　.
14．海伦公式亦叫海伦－秦九韶公式，这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，我国宋代数学家秦九韶也得出了类似的公式，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，表达式为S＝，其中a，b，c分别是三角形的三边长，p＝.已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知a＞0，b＞0，a＋b＝3ab.
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：＋≥.
16．(15分)某公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比．若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．
(1)若使每月土地占用费与每月库存货物费之和不超过10万元，则仓库到车站的距离x应该在什么范围？
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多远处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．
17．(15分)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.
(1)求证：a＋b≤2；
(2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．
18．(17分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
19．(17分)若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)有两个不相等的实数根x1，x2，且(x1＋x2)2－4x1x2＝4.
(1)求证：m2＝4n＋4；
(2)若m≤－4，求－＋的最小值．
第二章一元二函数.方程和不等式
(考查范围：第二章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式正确的是(　　)
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
A　解析：由a>b>c及a＋b＋c＝0，知a>0，c<0.
所以ab－ac>0，即ab>ac，A正确；ac－bc<0，即acb2>c2不成立，D错误．故选A．
2．函数y＝(x>0)的最小值为(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
C　解析：y＝＝x＋－1≥2－1＝5，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立．
故选C．
3．已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　)
A．{－4，1} B．{1，5}
C．{3，5} D．{1，3}
D　解析：由x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}．
又因为B＝{－4，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．
故选D．
4．已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围为(　　)
A．－6≤2a－b≤4
B．0≤2a－b≤10
C．－4≤2a－b≤2
D．－5≤2a－b≤1
A　解析：因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4.
5．不等式≤0的解集是(　　)
A．{x|x<－1，或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1，或x≥2}
D．{x|－1D　解析：原不等式等价于解得－16．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．AB　解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，
所以A＝＋>2＝2，即A>2.
B＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2.
所以A>B．
7．已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≥2}
B．{m|m≥4}
C．{m|m≥6}
D．{m|m≥8}
B　解析：因为ab＝1，所以由题设m≥4(a＋b)－·(a＋b)＝4(a＋b)－(a＋b)2恒成立．
而4(a＋b)－(a＋b)2＝4－(a＋b－2)2，又a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
所以4(a＋b)－(a＋b)2≤4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m≥4.
故选B．
8．在R上定义运算：x?y＝x(1－y)．若 x∈R，使得(x－a)?(x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
A　解析：由题意可得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)·[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a＝
－2＋a2－a＋.若 x∈R，使得(x－a)?(x＋a)>1 成立，则需函数y＝
－2＋a2－a＋的最大值大于1，即当x＝时，y＝a2－a＋>1成立，解得a<－ 或a>.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若a>b>0，则下列结论正确的是(　　)
A．a2>b2 B．ac2>bc2
C．< D．a2>ab
ACD　解析：由a>b>0，得a2>b2，>>0，即<，a2>ab，故A，C，D正确；
当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误．
故选ACD．
10．已知函数y＝x2＋ax＋b(a≠0)有且只有一个零点，则(　　)
A．a2－b2≤4
B．a2＋≤4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为{x|x10
D．若不等式x2＋ax＋bAD　解析：因为函数y＝x2＋ax＋b(a≠0)有且只有一个零点，
所以Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.
a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，即(b－2)2≥0，显然成立，故A正确；
a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝，即b＝时，等号成立，故B错误；
因为不等式x2＋ax－b<0的解集为{x|x1故可得x1x2＝－b<0，故C错误；
因为不等式x2＋ax＋b所以实数1与3是方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，
所以－a＝1＋3＝4，则a＝－4，从而b＝4，
又b－c＝1×3＝3，所以c＝b－3＝1，故D正确．
11．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，则(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2 D．ab有最小值3＋2
AD　解析：因为a>1，b>1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号，所以1＝ab－(a＋b)≤ab－2，解得≥＋1或≤1－(舍)，所以≥＋1，ab≥(＋1)2＝3＋2，所以ab有最小值3＋2；因为ab≤2，当且仅当a＝b时取等号，所以1＝ab－(a＋b)≤2－(a＋b)，所以(a＋b)2－4(a＋b)≥4，所以[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b≥2＋2或a＋b≤2－2(舍)，所以a＋b≥2(＋1)，所以a＋b有最小值2(＋1)．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是　　　　.
a＜0＜b　解析：若ab＜0，由a＜b两边同乘，可得＜；若ab＞0，由a13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为　　　　.
　解析：由题意知方程x2－ax－b＝0的根为2，3，
由根与系数的关系得a＝5，b＝－6.
所以不等式bx2－ax－1＞0为－6x2－5x－1>0，
即6x2＋5x＋1<0，解得－＜x＜－.
所以不等式bx2－ax－1>0的解集为.
14．海伦公式亦叫海伦－秦九韶公式，这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，我国宋代数学家秦九韶也得出了类似的公式，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，表达式为S＝，其中a，b，c分别是三角形的三边长，p＝.已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为　　　　.
　解析：由公式可知p＝＝5.
不妨设a＝2，则b＋c＝8，
所以S＝≤×＝，
当且仅当5－b＝5－c，即b＝c＝4时，等号成立．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知a＞0，b＞0，a＋b＝3ab.
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：＋≥.
(1)解：因为a＋b＝3ab，所以·＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝≥＝.
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．
(2)证明：因为a＞0，b＞0，所以要证＋≥，只需证a2＋b2≥.
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a＋b)2－，
令t＝a＋b，由(1)得t≥，
所以a2＋b2＝t2－＝2－.
当t＝时，t2－取得最小值.
所以a2＋b2≥.
原不等式得证.
16．(15分)某公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比．若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．
(1)若使每月土地占用费与每月库存货物费之和不超过10万元，则仓库到车站的距离x应该在什么范围？
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多远处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．
解：(1)设y1＝，y2＝mx，
由题意知，当x＝10时，y1和y2的值分别为2和8，
即＝2，10m＝8，解得k＝20，m＝，
所以y1＝(x>0)，y2＝x(x>0)．
若使每月土地占用费与每月库存货物费之和不超过10万元，则＋x≤10.
因为x>0，所以2x2－25x＋50≤0，即(2x－5)(x－10)≤0，
解得≤x≤10.
(2)由(1)知，y1＋y2＝＋x，x>0，
由基本不等式得y1＋y2＝＋x≥2＝2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5 时，等号成立．
所以应该把仓库建在离车站5 km处，两项费用之和最小，最小值为8万元.
17．(15分)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.
(1)求证：a＋b≤2；
(2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．
(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤32＋1，当且仅当a＝b时，等号成立，
解得(a＋b)2≤4.
又a>0，b>0，所以a＋b≤2.
(2)解：不能成立．
理由：由基本不等式得＋≤＋，
当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．
因为a＋b≤2，所以＋≤1＋.
因为c>0，d>0，cd>1，所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋.
故＋＝c＋d不能成立.
18．(17分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式可化为1≥0恒成立；
当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为{a|0≤a≤1}．
(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
又由(1)知0≤a≤1，则
①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，原不等式可化为2<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，不等式的解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，不等式的解集为 ；
当19．(17分)若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)有两个不相等的实数根x1，x2，且(x1＋x2)2－4x1x2＝4.
(1)求证：m2＝4n＋4；
(2)若m≤－4，求－＋的最小值．
(1)证明：由根与系数的关系得，
x1＋x2＝－m，x1x2＝n，
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝(－m)2－4n＝4，
所以m2＝4n＋4.
(2)解：－＋＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＋3m＋＝－＋3m＋
＝－＋3m＋
＝－4m－＋3m＋＝－m＋＋.
因为m≤－4，所以－m＋>0，
所以－m＋＋≥2＝8，
当且仅当－m＋＝，即m＝－2－2时，等号成立，
所以－＋的最小值为8.
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