第四章 指数函数与对数函数 单元检测（含答案）2025-2026学年人教A版数学必修第一册

第四章指数函数与对数函数
(考查范围：第四章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0，1)
B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2．函数f(x)＝2ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　)
A．(1，－1) B．(1，1)
C．(0，1) D．(0，－1)
3．设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
4．已知a>1，则函数y＝ax与y＝(a－1)x2在同一平面直角坐标系中的图象大致为(　　)
A　　 　　　 　B
　　
C　　 　　　 　D
5．设p：log2x≤0，q：2x≤2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
7．下列式子中，错误的是(　　)
A．2.1>2.3>2.1
B．2－0.2＜21.6＜0.4－2.5
C．log0.90.7＞log0.90.8＞log0.80.9
D．log23＞log34＞log45
8．设常数a∈R，函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不相等的实数根x1，x2，x3，且x1A．a的取值范围为
B．x3的取值范围为(4，＋∞)
C．x1x2＝2
D．的取值范围为[5，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有(　　)
A．01
C．b>0 D．b<0
10．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)上单调递增
B．f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
11．设f(x)＝若f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的值可以是(　　)
A． B．1
C．－1 D．2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用二分法求函数f(x)＝x3－2x－5在区间(2，3)内的零点时，取区间(2，3)的中点2.5，则f(x)的下一个有零点的区间是　　　　.
13.若函数y＝f(x)与y＝10x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递增区间是　　　　.
14.某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/(100 kg))与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t/天 60 100 180
种植成本Q/(元/(100 kg)) 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数为　　　　，最低种植成本是　　　　
元/(100 kg)．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)计算下列各式的值：
(1)－(－9.6)0－＋－2；
(2)log3＋lg 25＋lg 4－7log72.
16.(15分)某化工企业致力于改良工艺，使排放的废气中污染物的含量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中污染物的含量为r0 mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中污染物的含量为r1 mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中污染物的含量为rn mg/m3，则可建立函数模型rn＝r0－(r0－r1)·50.5n＋p(p∈R，n∈N*)，其中n是指改良工艺的次数．现已知r0＝2，r1＝1.94.
(1)试求改良工艺后所排放的废气中污染物的含量的函数解析式；
(2)若该地环保部门要求，企业所排放的废气中污染物的含量不能超过0.08 mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中污染物的含量达标？(参考数据：lg 2≈0.3)
17.(15分)已知函数f(x)＝log2·log2(2x)，g(x)＝4x－2x＋1－3.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若不等式f(x)－g(a)≤0对任意实数a∈恒成立，试求实数x的取值范围．
18.(17分)已知函数f(x)＝a·3x＋是定义域为R的偶函数．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝9x＋9－x＋mf(x)＋m2－1，求函数g(x)的最小值．
19.(17分)若函数f(x)满足对于任意正实数m，n，都有f(m)>0，f(n)>0，且f(m)＋f(n)(1)试判断函数f1(x)＝x2与f2(x)＝log2(x＋1)是否是“速增函数”；
(2)若函数g(x)＝2x－1＋2a(2－x－1)为“速增函数”，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)为“速增函数”，且f(1)＝1，求证：对任意x∈(2k－1，2k)(k∈N*)，都有f(x)－f>－.
第四章指数函数与对数函数
(考查范围：第四章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0，1)
B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
C　解析：由x2－x>0，得x>1或x<0.
2．函数f(x)＝2ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　)
A．(1，－1) B．(1，1)
C．(0，1) D．(0，－1)
B　解析：令x－1＝0，得x＝1，则f(1)＝1，
所以函数f(x)的图象恒过定点(1，1)．
3．设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B　解析：因为函数f(x)＝log2x＋2x－3在(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，f(2)＝log22＋22－3＝2>0，所以f(1)f(2)<0.
根据函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(1，2)内．
4．已知a>1，则函数y＝ax与y＝(a－1)x2在同一平面直角坐标系中的图象大致为(　　)
A　　 　　　 　B
　　
C　　 　　　 　D
A　解析：因为a>1，所以函数y＝ax为R上的增函数，函数y＝(a－1)x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以A中图象符合题意．故选A．
5．设p：log2x≤0，q：2x≤2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：因为log2x≤0，所以06．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
D　解析：＝ ，两边取对数，得lg＝lg＝lg 3361－lg1080＝361×lg 3－80≈93.28，所以＝1093.28，即与最接近的是1093.
故选D．
7．下列式子中，错误的是(　　)
A．2.1>2.3>2.1
B．2－0.2＜21.6＜0.4－2.5
C．log0.90.7＞log0.90.8＞log0.80.9
D．log23＞log34＞log45
A　解析：因为2.3＞2.1＞2.1，选项A错误；因为0.4－2.5＝2.52.5＞22.5＞21.6＞2－0.2，选项B正确；因为log0.90.7＞log0.90.8＞log0.90.9＞log0.80.9，选项C正确；log23－log34＝－＝>＝＞0，即log23＞log34，同理可得log34＞log45，即log23＞log34＞log45，选项D正确．
8．设常数a∈R，函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不相等的实数根x1，x2，x3，且x1A．a的取值范围为
B．x3的取值范围为(4，＋∞)
C．x1x2＝2
D．的取值范围为[5，＋∞)
D　解析：画出函数f(x)的图象，如图所示．
方程f(x)＝a有三个不相等的实数根可转化为函数f(x)的图象与直线y＝a有三个交点，所以实数a的取值范围是(0，2]，A不正确；令＝2，得x＝5，所以x3≥5，B不正确；由图可知，00，logx2<0，由|logx1|＝|logx2|，得logx1＝－logx2，所以x1x2＝1，C不正确；＝x3≥5，D正确．故选D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有(　　)
A．01
C．b>0 D．b<0
BC　解析：若00且a≠1)的图象过第一、三、四象限，所以a>1.
当a>1时，要使y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则b＋1>1，即b>0.
故选BC．
10．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)上单调递增
B．f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
BC　解析：由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]．由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以A错误，B正确；f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(x＋1)，f(1＋x)＝ln(x＋1)＋ln(1－x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；f＝ln＋ln＝ln，f＝ln＋ln＝ln，所以f＝f＝ln，所以D错误．故选BC．
11．设f(x)＝若f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的值可以是(　　)
A． B．1
C．－1 D．2
AB　解析：由f(x)－a＝0，得a＝f(x)．
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)及y＝a的图象如图所示．
f(x)－a＝0有三个不同的实数根等价于函数y＝f(x) 的图象与直线y＝a有三个不同的交点．
由图象知，当0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用二分法求函数f(x)＝x3－2x－5在区间(2，3)内的零点时，取区间(2，3)的中点2.5，则f(x)的下一个有零点的区间是　　　　.
(2，2.5)　解析：因为f(2)<0，f(2.5)>0，所以下一个有零点的区间为(2，2.5)．
13.若函数y＝f(x)与y＝10x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递增区间是　　　　.
(2，＋∞)　解析：由题意知，f(x)＝log10x＝lg x，在(0，＋∞)上单调递增．设g(x)＝x2－2x，令x2－2x>0，解得x<0或x>2.由二次函数的性质知，g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．所以y＝f(x2－2x)的单调递增区间是(2，＋∞).
14.某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/(100 kg))与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t/天 60 100 180
种植成本Q/(元/(100 kg)) 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数为　　　　，最低种植成本是　　　　
元/(100 kg)．
120　80　解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝at2＋bt＋c描述．将表中数据(60，116)，(100，84)和(180，116)代入，
可得解得
所以Q＝0.01t2－2.4t＋224＝0.01(t－120)2＋80.
故当上市天数为120时，种植成本取到最低，最低为80元/(100 kg)．
故答案分别为120和80.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)计算下列各式的值：
(1)－(－9.6)0－＋－2；
(2)log3＋lg 25＋lg 4－7log72.
解：(1)－(－9.6)0－＋－2＝－1－＋2＝－1－＋＝.
(2)log3＋lg 25＋lg 4－7 log72＝log33＋lg 52＋lg 22－2＝＋2lg 5＋2lg 2－2＝＋2－2＝.
16.(15分)某化工企业致力于改良工艺，使排放的废气中污染物的含量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中污染物的含量为r0 mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中污染物的含量为r1 mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中污染物的含量为rn mg/m3，则可建立函数模型rn＝r0－(r0－r1)·50.5n＋p(p∈R，n∈N*)，其中n是指改良工艺的次数．现已知r0＝2，r1＝1.94.
(1)试求改良工艺后所排放的废气中污染物的含量的函数解析式；
(2)若该地环保部门要求，企业所排放的废气中污染物的含量不能超过0.08 mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中污染物的含量达标？(参考数据：lg 2≈0.3)
解：(1)由题意知，r0＝2，r1＝1.94，
所以当n＝1时，r1＝r0－(r0－r1)·50.5＋p，
即1.94＝2－(2－1.94)×50.5＋p，解得p＝－0.5，
所以rn＝2－0.06×50.5n－0.5(n∈N*)．
故改良工艺后所排放的废气中污染物的含量的函数解析式为rn＝2－0.06× 50.5n－0.5(n∈N*)．
(2)由题意可得，rn＝2－0.06×50.5n－0.5≤0.08，
整理得50.5n－0.5≥32，
两边同时取常用对数，得0.5n－0.5≥，
整理得n≥2×＋1，
将lg 2≈0.3代入，得2×＋1≈5.3.
又n∈N*，所以n≥6.
所以至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中污染物的含量达标．
17.(15分)已知函数f(x)＝log2·log2(2x)，g(x)＝4x－2x＋1－3.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若不等式f(x)－g(a)≤0对任意实数a∈恒成立，试求实数x的取值范围．
解：(1)f(x)＝log2·log2(2x)＝(log2x－3)·(log2x＋1)＝(log2x)2－2log2x－3＝(log2x－1)2－4≥－4，
即f(x)的值域为[－4，＋∞)．
(2)因为不等式f(x)－g(a)≤0对任意实数a∈恒成立，所以f(x)≤g(a)min.
g(a)＝4a－2a＋1－3＝(2a)2－2×2a－3＝(2a－1)2－4，
令t＝2a，因为 a∈，所以t∈[，4]．
设h(t)＝(t－1)2－4，t∈[，4]，
当t＝时，h(t)取得最小值－1－2，
即g(a)min＝－1－2，
所以f(x)≤－1－2，
即(log2x－1)2－4≤－1－2，
所以1－≤log2x－1≤－1，
即2－≤log2x≤，
解得.
所以实数x的取值范围为．
18.(17分)已知函数f(x)＝a·3x＋是定义域为R的偶函数．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝9x＋9－x＋mf(x)＋m2－1，求函数g(x)的最小值．
解：(1)因为f(x)＝a·3x＋＝a·3x＋3·3－x，所以f(－x)＝a·3－x＋3·3x.
又因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以a·3－x＋3·3x＝a·3x＋3·3－x，
即(3－a)(3x－3－x)＝0对任意x∈R恒成立，则a＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝3(3x＋3－x)，则g(x)＝32x＋3－2x＋3m(3x＋3－x)＋m2－1＝(3x＋3－x)2＋3m(3x＋3－x)＋m2－3.
令t＝3x＋3－x，由基本不等式可得t≥2，当且仅当x＝0时，等号成立，
则h(t)＝t2＋3mt＋m2－3，t∈[2，＋∞)．
①当－≤2，即m≥－时，h(t)＝t2＋3mt＋m2－3在[2，＋∞)上单调递增，
则h(t)min＝h(2)＝m2＋6m＋1，
即g(x)min＝m2＋6m＋1；
②当－>2，即m<－时，h(t)＝t2＋3mt＋m2－3在上单调递减，在上单调递增，
则h(t)min＝h＝2＋3m·＋m2－3＝－m2－3，即g(x)min＝－m2－3.
综上所述，g(x)min＝
19.(17分)若函数f(x)满足对于任意正实数m，n，都有f(m)>0，f(n)>0，且f(m)＋f(n)(1)试判断函数f1(x)＝x2与f2(x)＝log2(x＋1)是否是“速增函数”；
(2)若函数g(x)＝2x－1＋2a(2－x－1)为“速增函数”，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)为“速增函数”，且f(1)＝1，求证：对任意x∈(2k－1，2k)(k∈N*)，都有f(x)－f>－.
(1)解：对于函数f1(x)＝x2，当m>0，n>0时，f1(m)＝m2>0，f1(n)＝n2>0.
又f1(m)＋f1(n)－f1(m＋n)＝m2＋n2－(m＋n)2＝－2mn<0，
所以f1(m)＋f1(n)故函数f1(x)＝x2是“速增函数”．
对于函数f2(x)＝log2(x＋1)，当m＝n＝1时，
f2(m)＋f2(n)＝2>log23＝f2(m＋n)，
故函数f2(x)＝log2(x＋1)不是“速增函数”．
(2)解：当n>0时，由函数g(x)＝2x－1＋2a(2－x－1)是“速增函数”，
可知g(n)＝2n－1＋2a(2－n－1)>0，即(2n－1)·(2n－2a)>0对一切正实数n恒成立，
又2n－1>0，可得2a<2n对一切正实数n恒成立，所以a≤.
由g(m)＋g(n)0，
即2n(2m－1)－(2m－1)＋2a(2－m－1)(2－n－1)＝(2m－1)(2n－1)＋2a(2－m－1)(2－n－1)＝(2m－1)(2n－1)＋2a·2－m－n(2m－1)(2n－1)>0，
故(2m－1)(2n－1)(2m＋n＋2a)>0.
又(2n－1)(2m－1)>0，则2m＋n＋2a>0.
由2m＋n＋2a>0对一切正实数m，n恒成立，可得2a＋1≥0，即a≥－.
综上可知，a的取值范围是.
(3)证明：由函数f(x)为“速增函数”，可知对于任意正实数m，n，
都有f(m)>0，f(n)>0，且f(m)＋f(n)令m＝n，可知f(2m)>2f(m)，即>2，
故对于任意正整数k与正数m，都有＝··…·>2k，
对任意x∈(2k－1，2k)(k∈N*)，可得∈(2－k，21－k)．
又f(1)＝1，所以f(x)>f(x－2k－1)＋f(2k－1)>f(2k－1)≥2k－1f(1)＝>，
同理f故f(x)－f>－.
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