第五章 三角函数 单元检测(含答案)2025-2026学年人教A版数学必修第一册

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名称 第五章 三角函数 单元检测(含答案)2025-2026学年人教A版数学必修第一册
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-12-15 10:47:35

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第五章 三角函数
(考查范围:第五章 时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各角中,与27°角终边相同的是(  )
A.63° B.153°
C.207° D.387°
2.若sin=,则sin 2α等于(  )
A. B.-
C. D.-
3.函数f(x)=3cos x-sin x图象的一条对称轴的方程是(  )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
4.将函数y=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x),则“φ=”是“g(x)为偶函数”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,若cos Acos B=-cos2+1,则△ABC一定是(  )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
6.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=(  )
A. B.-
C. D.-
7.已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
8.已知函数y=sin(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,则下列结论正确的是(参考数据:≈2.236)(  )
A.=
B.若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
C.若扇面为“美观扇面”,则θ≈138°
D.若扇面为“美观扇面”,扇形的半径R=20,则此时扇形的面积为200(3-)
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列关于函数y=f(x)的说法正确的有(  )
A.图象关于点对称
B.最小正周期为π
C.图象关于直线x=对称
D.在区间上单调递减
11.已知函数f(x)=|cos x|+cos|2x|,则下列说法正确的是(  )
A.π是f(x)的一个周期
B.f(x)在区间上单调递减
C.若x∈[-π,π],则f(x)有2个零点
D.f(x)的最小值为-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知α,β都是锐角,cos α=,cos(α+β)=-,则β=     .
13.已知函数f(x)=3sin(ω>0)在上单调递增,则ω的最大值是   .
14.已知函数f(x)=sin(πx+φ)(|φ|<π)的图象过点,若f(x)在[-2,a]内有5个零点,则实数a的取值范围为    .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α是第一象限角,且________________________.
(1)求tan α的值;
(2)求cos+cos(α+π)cos(α-3π)的值.
在①sin α=,②tan2α+tan α-4=0这两个条件中任选一个,补充到上面的问题中,并解答.
16.(15分)设x∈R,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;
(3)若f(x)>,求x的取值范围.
.
17.(15分)已知0≤φ≤π,函数f(x)=cos(2x+φ)+sin2x.
(1)若f(0)=,求φ的值;
(2)若φ=,求f(x)的单调递增区间.
18.(17分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在上的值域.
19.(17分)如图,点P在直径AB=1的圆的弧AB上移动(点P不与A,B重合),过点P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α.过点B作BC⊥PT于点C.
(1)当α为何值时,四边形ABTP的面积最大?
(2)求PA+PB+PC的取值范围.
第五章 三角函数
(考查范围:第五章 时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各角中,与27°角终边相同的是(  )
A.63° B.153°
C.207° D.387°
D 解析:与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.所以387°角与27°角终边相同.
2.若sin=,则sin 2α等于(  )
A. B.-
C. D.-
B 解析:设β=α+,则sin β=,α=β-,故sin 2α=sin 2=-cos 2β=2sin2β-1=-.
3.函数f(x)=3cos x-sin x图象的一条对称轴的方程是(  )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
A 解析:因为f(x)=3cos x-sin x=2=2cos,
所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x+=kπ,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,
所以当k=1时,x=是其中的一条对称轴方程.
4.将函数y=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x),则“φ=”是“g(x)为偶函数”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A 解析:因为函数y=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,所以g(x)=sin.若g(x)为偶函数,则-2φ+=+kπ(k∈Z),即φ=--(k∈Z),当k=-1时,φ=.因为φ=可以推出函数g(x)为偶函数,而函数g(x)为偶函数不能推出φ=,所以“φ=”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件.故选A.
5.在△ABC中,若cos Acos B=-cos2+1,则△ABC一定是(  )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
D 解析:由已知得2cos Acos B=-2cos2+2=-cos C+1=cos(A+B)+1=cos Acos B-sin Asin B+1,所以cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1.又-π6.若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=(  )
A. B.-
C. D.-
C 解析:cos=cos=coscos+sinsin,因为0<α<,所以<+α<,所以sin=.又-<β<0,所以<-<,所以sin=,
所以cos=×+×=.
故选C.
7.已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
D 解析:f(x)=sin x+cos x=sin,因为x∈[a,b],所以x+∈.又因为-1≤sin≤,所以-≤sin≤1.
结合正弦函数y=sin x的图象(图略)可知,
(b-a)max=,(b-a)min=,所以b-a的取值范围是.
故选D.
8.已知函数y=sin(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
C 解析:令X=ωx+,ω>0,-≤x≤,则-+≤X≤+,所以函数y=sin X在区间上单调递增.由正弦函数的单调性可得k∈Z,分析可知k取0,则0<ω≤.当0≤x≤π时,≤X≤πω+,因为函数y=sin X在区间上恰好取得一次最大值1,所以≤πω+<,解得≤ω<.综上,可知≤ω≤.故选C.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,则下列结论正确的是(参考数据:≈2.236)(  )
A.=
B.若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
C.若扇面为“美观扇面”,则θ≈138°
D.若扇面为“美观扇面”,扇形的半径R=20,则此时扇形的面积为200(3-)
AC 解析:对于A,设扇形的半径为R,因为S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ,2π-θ,
所以==,故A正确;
对于B,因为==,所以θ=,所以S1=·θ·R2=××9=3π,故B错误;
对于C,因为==,所以θ=(3-)π,所以θ≈(3-2.236)×180°≈138°,故C正确;
对于D,S1=·θ·R2=×(3-)π×400=200(3-)π,故D错误.
故选AC.
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列关于函数y=f(x)的说法正确的有(  )
A.图象关于点对称
B.最小正周期为π
C.图象关于直线x=对称
D.在区间上单调递减
BCD 解析:由题图可知,A=2,

所以sin φ=.
又|φ|<,所以φ=.
所以2sin=0.
结合图象走势,知ω+=2kπ,k∈Z,
则ω=-,k∈Z.
又<所以<ω<,
故取k=1,得ω=2.
所以f(x)=2sin.
对于A,当x=-时,f=2sin=-2,不满足题意,故A错误;
对于B,f(x)的最小正周期为π,故B正确;
对于C,当x=时,f=2sin=2,满足题意,故C正确;
对于D,当x∈时,2x+∈, f(x)单调递减,故D正确.
故选BCD.
11.已知函数f(x)=|cos x|+cos|2x|,则下列说法正确的是(  )
A.π是f(x)的一个周期
B.f(x)在区间上单调递减
C.若x∈[-π,π],则f(x)有2个零点
D.f(x)的最小值为-
AB 解析:函数f(x)=|cos x|+cos|2x|=2cos2x+|cos x|-1.
对于A,f(x+π)=|cos(x+π)|+cos|2x+2π|=|cos x|+cos|2x|=f(x),所以f(x)的一个周期为π,故A正确;
对于B,当x∈时,cos x∈,由复合函数的单调性可知,函数f(x)在区间上单调递减,故B正确;
对于C,由f(x)=2cos2x+|cos x|-1=0,x∈[-π,π],解得x=±或±,故函数f(x)有四个零点,故C错误;
对于D,f(x)=2cos2x+|cos x|-1,|cos x|∈[0,1],当|cos x|=0时,函数f(x)取最小值为-1,故D错误.
故选AB.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知α,β都是锐角,cos α=,cos(α+β)=-,则β=     .
 解析:因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π.
因为cos α=,cos(α+β)=-,
所以sin α==,
sin(α+β)==,
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
因为β是锐角,所以β=.
故答案为.
13.已知函数f(x)=3sin(ω>0)在上单调递增,则ω的最大值是   .
4 解析:由函数f(x)=3sin(ω>0)在区间上单调递增,分析可得ω·+≤,求得ω≤4,故ω的最大值为4.
故答案为4.
14.已知函数f(x)=sin(πx+φ)(|φ|<π)的图象过点,若f(x)在[-2,a]内有5个零点,则实数a的取值范围为    .
 解析:由题意知,函数f(x)的图象过点,所以sin=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.
因为|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.
当x∈[-2,a]时,可得πx+∈.
因为f(x)在[-2,a]内有5个零点,结合正弦函数的性质可得3π≤aπ+<4π,
所以≤a<,即实数a的取值范围为.
故答案为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α是第一象限角,且________________________.
(1)求tan α的值;
(2)求cos+cos(α+π)cos(α-3π)的值.
在①sin α=,②tan2α+tan α-4=0这两个条件中任选一个,补充到上面的问题中,并解答.
解:(1)选①:因为sin α=,所以cos2α=1-sin2α=,所以cos α=±.
因为α是第一象限角,所以cos α=,
则tan α==.
选②:因为tan2α+tan α-4=0,
所以(tan α-)(tan α+2)=0,
解得tan α=或tan α=-2.
因为α是第一象限角,所以tan α=.
(2)cos+cos(α+π)cos(α-3π)
=sin 2α+cos2α=2sin αcos α+cos2α
==
==.
16.(15分)设x∈R,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;
(3)若f(x)>,求x的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T==π,
所以ω=2,f(x)=cos(2x+φ),
所以f=cos=cos=-sin φ=.
因为-<φ<0,所以φ=-.
(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:
x 0 π
2x- - 0 π
f(x) 1 0 -1 0
f(x)在[0,π]上的图象如下:
(3)因为f(x)>,即cos>,
所以2kπ-<2x-<2kπ+(k∈Z),
则2kπ+<2x<2kπ+(k∈Z),
即kπ+所以x的取值范围是.
17.(15分)已知0≤φ≤π,函数f(x)=cos(2x+φ)+sin2x.
(1)若f(0)=,求φ的值;
(2)若φ=,求f(x)的单调递增区间.
解:(1)因为f(0)=cos φ=,
所以cos φ=.
又因为0≤φ≤π,所以φ=.
(2)因为φ=,所以f(x)=cos+sin2x
=+sin2x
=cos 2x-sin 2x+
=cos 2x-sin 2x+
=cos+.
令2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
18.(17分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在上的值域.
解:(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-=sin 2x+cos 2x=2sin,
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
因此,函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,
可得函数y=2sin的图象,
即函数y=2sin的图象;
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数y=g(x)=2sin的图象.
当x∈时,4x+∈,
所以2sin∈[-1,2],
所以y=g(x)在上的值域为[-1,2].
19.(17分)如图,点P在直径AB=1的圆的弧AB上移动(点P不与A,B重合),过点P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α.过点B作BC⊥PT于点C.
(1)当α为何值时,四边形ABTP的面积最大?
(2)求PA+PB+PC的取值范围.
解:(1)因为AB为直径,且AB=1,所以∠APB=90°,PA=cos α,PB=sin α.
因为PT切圆于点P,所以∠TPB=∠PAB=α,
所以BC=sin α·PB=sin2α.
所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB
=PA·PB+PT·BC
=sin αcos α+sin2α
=sin 2α+(1-cos 2α)
=(sin 2α-cos 2α)+
=sin+.
因为0<α<,所以-<2α-<,
所以当2α-=,即α=时,四边形ABTP的面积最大.
(2)PA+PB+PC=cos α+sin α+sin αcos α.
设t=cos α+sin α,则t2=cos2α+sin2α+2cos αsin α=1+2cos αsin α,
所以cos αsin α=,
则PA+PB+PC=+t=+t-.
令g(t)=+t-,
因为t=cos α+sin α=sin∈(1,],
又g(t)在(1,]上单调递增,
所以g(t)∈,
故PA+PB+PC的取值范围是.
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