第五章 三角函数 单元检测（含答案）2025-2026学年人教A版数学必修第一册

第五章 三角函数
(考查范围：第五章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各角中，与27°角终边相同的是(　　)
A．63° B．153°
C．207° D．387°
2．若sin＝，则sin 2α等于(　　)
A． B．－
C. D．－
3．函数f(x)＝3cos x－sin x图象的一条对称轴的方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
4．将函数y＝sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)，则“φ＝”是“g(x)为偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，若cos Acos B＝－cos2＋1，则△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A． B．－
C. D．－
7．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的取值范围是(　　)
A． B．
C. D．
8．已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C. D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论正确的是(参考数据：≈2.236)(　　)
A．＝
B．若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138°
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝20，则此时扇形的面积为200(3－)
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列关于函数y＝f(x)的说法正确的有(　　)
A．图象关于点对称
B．最小正周期为π
C．图象关于直线x＝对称
D．在区间上单调递减
11．已知函数f(x)＝|cos x|＋cos|2x|，则下列说法正确的是(　　)
A．π是f(x)的一个周期
B．f(x)在区间上单调递减
C．若x∈[－π，π]，则f(x)有2个零点
D．f(x)的最小值为－
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β＝　　　　　.
13.已知函数f(x)＝3sin(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值是　　　.
14.已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(|φ|<π)的图象过点，若f(x)在[－2，a]内有5个零点，则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α是第一象限角，且________________________．
(1)求tan α的值；
(2)求cos＋cos(α＋π)cos(α－3π)的值．
在①sin α＝，②tan2α＋tan α－4＝0这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答．
16.(15分)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若f(x)>，求x的取值范围．
.
17.(15分)已知0≤φ≤π，函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin2x.
(1)若f(0)＝，求φ的值；
(2)若φ＝，求f(x)的单调递增区间．
18.(17分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)先将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在上的值域．
19.(17分)如图，点P在直径AB＝1的圆的弧AB上移动(点P不与A，B重合)，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α.过点B作BC⊥PT于点C.
(1)当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
(2)求PA＋PB＋PC的取值范围．
第五章 三角函数
(考查范围：第五章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各角中，与27°角终边相同的是(　　)
A．63° B．153°
C．207° D．387°
D　解析：与27°角终边相同的角的集合为{α|α＝27°＋k·360°，k∈Z}，取k＝1，可得α＝387°.所以387°角与27°角终边相同．
2．若sin＝，则sin 2α等于(　　)
A． B．－
C. D．－
B　解析：设β＝α＋，则sin β＝，α＝β－，故sin 2α＝sin 2＝－cos 2β＝2sin2β－1＝－.
3．函数f(x)＝3cos x－sin x图象的一条对称轴的方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
A　解析：因为f(x)＝3cos x－sin x＝2＝2cos，
所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，
所以当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程．
4．将函数y＝sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)，则“φ＝”是“g(x)为偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：因为函数y＝sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝sin.若g(x)为偶函数，则－2φ＋＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－－(k∈Z)，当k＝－1时，φ＝.因为φ＝可以推出函数g(x)为偶函数，而函数g(x)为偶函数不能推出φ＝，所以“φ＝”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件．故选A．
5．在△ABC中，若cos Acos B＝－cos2＋1，则△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
D　解析：由已知得2cos Acos B＝－2cos2＋2＝－cos C＋1＝cos(A＋B)＋1＝cos Acos B－sin Asin B＋1，所以cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1．又－π6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A． B．－
C. D．－
C　解析：cos＝cos＝coscos＋sinsin，因为0<α<，所以<＋α<，所以sin＝.又－<β<0，所以<－<，所以sin＝，
所以cos＝×＋×＝.
故选C.
7．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的取值范围是(　　)
A． B．
C. D．
D　解析：f(x)＝sin x＋cos x＝sin，因为x∈[a，b]，所以x＋∈.又因为－1≤sin≤，所以－≤sin≤1．
结合正弦函数y＝sin x的图象(图略)可知，
(b－a)max＝，(b－a)min＝，所以b－a的取值范围是.
故选D.
8．已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C. D．
C　解析：令X＝ωx＋，ω>0，－≤x≤，则－＋≤X≤＋，所以函数y＝sin X在区间上单调递增．由正弦函数的单调性可得k∈Z，分析可知k取0，则0<ω≤.当0≤x≤π时，≤X≤πω＋，因为函数y＝sin X在区间上恰好取得一次最大值1，所以≤πω＋<，解得≤ω<.综上，可知≤ω≤.故选C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论正确的是(参考数据：≈2.236)(　　)
A．＝
B．若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138°
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝20，则此时扇形的面积为200(3－)
AC　解析：对于A，设扇形的半径为R，因为S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π－θ，
所以＝＝，故A正确；
对于B，因为＝＝，所以θ＝，所以S1＝·θ·R2＝××9＝3π，故B错误；
对于C，因为＝＝，所以θ＝(3－)π，所以θ≈(3－2.236)×180°≈138°，故C正确；
对于D，S1＝·θ·R2＝×(3－)π×400＝200(3－)π，故D错误．
故选AC.
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列关于函数y＝f(x)的说法正确的有(　　)
A．图象关于点对称
B．最小正周期为π
C．图象关于直线x＝对称
D．在区间上单调递减
BCD　解析：由题图可知，A＝2，
且
所以sin φ＝.
又|φ|<，所以φ＝.
所以2sin＝0.
结合图象走势，知ω＋＝2kπ，k∈Z，
则ω＝－，k∈Z.
又<所以<ω<，
故取k＝1，得ω＝2.
所以f(x)＝2sin.
对于A，当x＝－时，f＝2sin＝－2，不满足题意，故A错误；
对于B，f(x)的最小正周期为π，故B正确；
对于C，当x＝时，f＝2sin＝2，满足题意，故C正确；
对于D，当x∈时，2x＋∈， f(x)单调递减，故D正确．
故选BCD.
11．已知函数f(x)＝|cos x|＋cos|2x|，则下列说法正确的是(　　)
A．π是f(x)的一个周期
B．f(x)在区间上单调递减
C．若x∈[－π，π]，则f(x)有2个零点
D．f(x)的最小值为－
AB　解析：函数f(x)＝|cos x|＋cos|2x|＝2cos2x＋|cos x|－1．
对于A，f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＋cos|2x＋2π|＝|cos x|＋cos|2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为π，故A正确；
对于B，当x∈时，cos x∈，由复合函数的单调性可知，函数f(x)在区间上单调递减，故B正确；
对于C，由f(x)＝2cos2x＋|cos x|－1＝0，x∈[－π，π]，解得x＝±或±，故函数f(x)有四个零点，故C错误；
对于D，f(x)＝2cos2x＋|cos x|－1，|cos x|∈[0,1]，当|cos x|＝0时，函数f(x)取最小值为－1，故D错误．
故选AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β＝　　　　　.
　解析：因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π.
因为cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
因为β是锐角，所以β＝.
故答案为.
13.已知函数f(x)＝3sin(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值是　　　.
4　解析：由函数f(x)＝3sin(ω>0)在区间上单调递增，分析可得ω·＋≤，求得ω≤4，故ω的最大值为4.
故答案为4.
14.已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(|φ|<π)的图象过点，若f(x)在[－2，a]内有5个零点，则实数a的取值范围为　　　　.
　解析：由题意知，函数f(x)的图象过点，所以sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin.
当x∈[－2，a]时，可得πx＋∈.
因为f(x)在[－2，a]内有5个零点，结合正弦函数的性质可得3π≤aπ＋<4π，
所以≤a<，即实数a的取值范围为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α是第一象限角，且________________________．
(1)求tan α的值；
(2)求cos＋cos(α＋π)cos(α－3π)的值．
在①sin α＝，②tan2α＋tan α－4＝0这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答．
解：(1)选①：因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，所以cos α＝±.
因为α是第一象限角，所以cos α＝，
则tan α＝＝.
选②：因为tan2α＋tan α－4＝0，
所以(tan α－)(tan α＋2)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－2.
因为α是第一象限角，所以tan α＝.
(2)cos＋cos(α＋π)cos(α－3π)
＝sin 2α＋cos2α＝2sin αcos α＋cos2α
＝＝
＝＝.
16.(15分)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若f(x)>，求x的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
所以ω＝2，f(x)＝cos(2x＋φ)，
所以f＝cos＝cos＝－sin φ＝.
因为－<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：
x 0 π
2x－ － 0 π
f(x) 1 0 －1 0
f(x)在[0，π]上的图象如下：
(3)因为f(x)>，即cos>，
所以2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)，
则2kπ＋<2x<2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋所以x的取值范围是.
17.(15分)已知0≤φ≤π，函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin2x.
(1)若f(0)＝，求φ的值；
(2)若φ＝，求f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为f(0)＝cos φ＝，
所以cos φ＝.
又因为0≤φ≤π，所以φ＝.
(2)因为φ＝，所以f(x)＝cos＋sin2x
＝＋sin2x
＝cos 2x－sin 2x＋
＝cos 2x－sin 2x＋
＝cos＋.
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
18.(17分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)先将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在上的值域．
解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
因此，函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)先将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得函数y＝2sin的图象，
即函数y＝2sin的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数y＝g(x)＝2sin的图象．
当x∈时，4x＋∈，
所以2sin∈[－1,2]，
所以y＝g(x)在上的值域为[－1,2].
19.(17分)如图，点P在直径AB＝1的圆的弧AB上移动(点P不与A，B重合)，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α.过点B作BC⊥PT于点C.
(1)当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
(2)求PA＋PB＋PC的取值范围．
解：(1)因为AB为直径，且AB＝1，所以∠APB＝90°，PA＝cos α，PB＝sin α.
因为PT切圆于点P，所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以BC＝sin α·PB＝sin2α.
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·BC
＝sin αcos α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)＋
＝sin＋.
因为0<α<，所以－<2α－<，
所以当2α－＝，即α＝时，四边形ABTP的面积最大．
(2)PA＋PB＋PC＝cos α＋sin α＋sin αcos α.
设t＝cos α＋sin α，则t2＝cos2α＋sin2α＋2cos αsin α＝1＋2cos αsin α，
所以cos αsin α＝，
则PA＋PB＋PC＝＋t＝＋t－.
令g(t)＝＋t－，
因为t＝cos α＋sin α＝sin∈(1，]，
又g(t)在(1，]上单调递增，
所以g(t)∈，
故PA＋PB＋PC的取值范围是.
1/19