第三章函数的概念与性质 单元检测（含答案）2025-2026学年人教A版数学必修第一册

第三章函数的概念与性质
(考查范围：第三章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．[0，3] B．[1，3]
C．[3，＋∞) D．(1，3]
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x与y＝
B．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1
C．y＝()2与y＝3|x|
D．y＝·与y＝
3．已知函数f(x)＝x2－mx＋1在区间(－∞，－2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)<6 B．f(1)≤6
C．f(－1)>－2 D．f(－1)≤－2
4．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A． B．
C． D．1
5．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－1，2)
D．[1，2]
6．已知函数f(x)＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(0，2) D．(0，2]
7．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．无法判断
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，且x1A．(1，2)
B．(1，3)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数为(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝ D．y＝|x|
10．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值3 D．有最小值－3
11．给出定义：若m－A．函数y＝f(x)的定义域为R，值域为
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
C．函数y＝f(x)是偶函数
D．函数y＝f(x)在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　.
13．设函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 025的值为　　　　.
14．已知a∈R，函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则a＝　　　　；若不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)的部分图象如图所示，函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－4x.
(1)求函数f(x)的解析式，补全函数f(x)的图象，并求不等式xf(x)>0的解集；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递减，求实数a的取值范围．
16．(15分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，函数定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间．
17．(15分)函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
18．(17分)经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元．在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
19．(17分)已知函数f(x)＝x＋(k∈R，k<0)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性，并加以证明；
(2)设函数F(x)＝x2＋－2a，x∈[1，2]，a∈R，利用(1)中的结论求函数F(x)的最小值g(a)．
第三章函数的概念与性质
(考查范围：第三章　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．[0，3] B．[1，3]
C．[3，＋∞) D．(1，3]
D　解析：由题意，得解得12．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x与y＝
B．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1
C．y＝()2与y＝3|x|
D．y＝·与y＝
B　解析：对于A，函数y＝x的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A不符合；对于B，两函数的定义域均为R，且对应关系相同，故B符合；对于C，函数y＝()2的定义域为[0，＋∞)，y＝3|x|的定义域为R，故C不符合；对于D，函数y＝·的定义域为[2，＋∞)，y＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故D不符合．故选B．
3．已知函数f(x)＝x2－mx＋1在区间(－∞，－2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)<6 B．f(1)≤6
C．f(－1)>－2 D．f(－1)≤－2
B　解析：因为函数f(x)＝x2－mx＋1在区间(－∞，－2]上单调递减，所以≥
－2，即m≥－4，
所以f(1)＝2－m≤6，f(－1)＝2＋m≥－2.
故选B．
4．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A． B．
C． D．1
A　解析：由函数f(x)＝为奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，所以＝－，所以－x(2x－1)(x＋a)＝－x·(－2x－1)(－x＋a)，化简得2(2a－1)x2＝0恒成立，所以2a－1＝0，即a＝.故选A．
5．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－1，2)
D．[1，2]
D　解析：令－x2＋4x－3≥0，解得1≤x≤3，
所以函数f(x)＝的定义域为[1，3]，值域为[0，1]．
因为函数y＝－x2＋4x－3在[1，2]上单调递增，在(2，3]上单调递减，函数y＝在定义域内为增函数，
所以，根据复合函数的单调性得f(x)＝在[1，2]上单调递增，在(2，3]上单调递减．
故选D．
6．已知函数f(x)＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(0，2) D．(0，2]
B　解析：因为函数f(x)＝在R上是减函数，所以解得07．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．无法判断
A　解析：因为f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，所以m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－6>0，故m＝3，所以f(x)＝x3为奇函数且为R上的增函数．若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0.故选A．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，且x1A．(1，2)
B．(1，3)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
A　解析：因为对任意x1，x2∈R，若x1因为f(1＋x2)＋f(1－3x)又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以－f(1－3x)＝f(3x－1)，
所以f(1＋x2)－(1＋x2)由g(x)在R上单调递增可知，1＋x2<3x－1，解得1故选A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数为(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝ D．y＝|x|
AD　解析：y＝x2是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故A满足；
y＝x是奇函数，故B不满足；
y＝是偶函数，但在区间(0，＋∞)上单调递减，故C不满足；
y＝|x|是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，故D满足．
故选AD．
10．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值3 D．有最小值－3
BC　解析：(方法一)根据题意可知f(x)在(－∞，0)上也单调递减，作出函数y＝f(x)的简图如图所示，由图知，故选BC．
(方法二)由题可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递减．
当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
则有f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3.
故在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3.
11．给出定义：若m－A．函数y＝f(x)的定义域为R，值域为
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
C．函数y＝f(x)是偶函数
D．函数y＝f(x)在上单调递增
ABC　解析：根据{x}的定义知函数y＝f(x)的定义域为R，{x}－函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，B正确；
由图象知函数y＝f(x)是偶函数，C正确；
由图象知D不正确．
故选ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　.
f(x)＝(x≠1)　解析：令＝t，则x＝，t≠1，所以f(t)＝，t≠1，所以f(x)＝(x≠1).
13．设函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 025的值为　　　　.
1　解析：由题意知，f(x)＝＋1，设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．所以g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，故M＋N＝2，(M＋N－1)2 025＝(2－1)2 025＝1.
14．已知a∈R，函数f(x)＝若f(f(a))＝1，则a＝　　　　；若不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
±1　[1，2]　解析：当a<1时，f(a)＝a2－a2＝0，所以f(f(a))＝f(0)＝a2＝1，所以a＝－1；当a≥1时，f(a)＝a2－a2＝0，所以f(f(a))＝f(0)＝a2＝1，所以a＝1.故a＝±1.
因为不等式f(x)≥f(1)对任意x∈R恒成立，所以当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，所以解得1≤a≤2.
所以a的取值范围是[1，2]．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)的部分图象如图所示，函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－4x.
(1)求函数f(x)的解析式，补全函数f(x)的图象，并求不等式xf(x)>0的解集；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝2x2＋4x.
由f(x)是奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－2x2－4x(x<0)．
所以f(x)＝
根据奇函数的图象关于原点对称这一性质即可补全函数f(x)的图象，如图所示．
对于不等式xf(x)>0，当x>0时，f(x)>0，由图可知x>2；
当x<0时，f(x)<0，由图可知x<－2.
综上，不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)由(1)中图象可知，函数f(x)的单调递减区间是[－1，1]，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递减，
则解得1所以实数a的取值范围是(1，3].
16．(15分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，函数定义h(x)＝求函数h(x)的最大值以及单调区间．
解：设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，所以f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，所以g(x)＝x－1.
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象(图略)．
由题意及图，可知h(x)＝
作出函数h(x)的图象如图所示．
由图可知函数h(x)的最大值为1，
h(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(－∞，0)和(1，＋∞).
17．(15分)函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，所以f(0)＝－＝0，解得b＝0.
又f(1)＝，即＝，解得a＝1，所以f(x)＝.
又因为对 x∈(－2，2)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，
所以函数f(x)的解析式是f(x)＝，x∈(－2，2)．
(2)任取x1，x2∈(－2，2)，x1因为－20，4＋x1x2>0，4－x>0，4－x>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(－2，2)上单调递增．
由(1)知，不等式f(t－1)＋f(t)<0 f(t－1)<－f(t) f(t－1)从而－2所以所求不等式的解集为.
18．(17分)经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元．在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
解：(1)由题可知，L(x)＝6x－3－W(x)，
所以L(x)＝
＝
(2)当0由二次函数的性质知，图象的对称轴为直线x＝5，开口向下，
所以当x＝5时，L(x)取得最大值为；
当x≥6时，L(x)＝－x－＋34≤－2＋34＝16，当且仅当x＝，即x＝9时，等号成立．
因为16>， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元.
19．(17分)已知函数f(x)＝x＋(k∈R，k<0)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性，并加以证明；
(2)设函数F(x)＝x2＋－2a，x∈[1，2]，a∈R，利用(1)中的结论求函数F(x)的最小值g(a)．
解：(1)函数f(x)为奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
由题意知函数f(x)＝x＋(k∈R，k<0)的定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝－x＋＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
任取0因为00，
x1x2>0，x1x2－k>0，
所以<0，所以f(x1)即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上也单调递增．
综上，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)F(x)＝x2＋－2a＝2－2a＋4，
设t＝x－，x∈[1，2]，由(1)知t＝x－在[1，2]上单调递增，则t∈[－1，1]，
所以F(x)即为h(t)＝t2－2at＋4，t∈[－1，1]，其图象的对称轴为直线t＝a.
当a≤－1时，h(t)在[－1，1]上单调递增，则g(a)＝h(－1)＝5＋2a；
当－1则g(a)＝h(a)＝－a2＋4；
当a≥1时，h(t)在[－1，1]上单调递减，则g(a)＝h(1)＝5－2a.
综上，g(a)＝
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