专题16二次函数线段数量关系问题
第一部分：基础知识储备
一、线段中点坐标公式
平面直角坐标系中，点，点，则线段的中点坐标为： .
二、两点间距离公式
如右图，已知： ，，
则，
所以由勾股定理可得：
所以（两点距离公式）
三、基本思路
若是已知或者求解两线段倍数关系，常见的思路如下：
1、设点坐标，利用方程函数思想，联立一次函数二次函数，得到新的一元二次方程，根据韦达定理，表示出相关线段。建立方程或者式子化简求值。这个技能在前面已经讲过了。
2、线段比例问题，也可以考虑构造相似三角形，找到两条线段所在三角形，证明相似或者转化线段来求解。
3、若题目中出现等角，考虑利用等角的三角函数值相同来建立等式。
4、若求线段比例最值，则考虑用同一个字母分别表示出线段，化简式子利用函数思想求解。
第二部分：典型例题分析
例1
如图，已知二次函数（，是常数，）的图象与轴交于点和点。动直线（为常数）与抛物线交于不同的两点、（点在的左侧）。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 动直线与轴交于点，若，求的值；
（3） 将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，若动直线与翻折后的图像交于点、，点、能否是线段的三等分点？ 若能，求的长度；若不能，请说明理由。
【解答】（1） ，在抛物线上， ，解得：， 二次函数关系式为；
（2） 当在轴的上方，如图，
抛物线的对称轴，与直线交于点，，根据抛物线的对称性可得，，，，，，点的坐标为，点在抛物线上，代入得，，
当在x轴的上方，如图，
此时，根据抛物线的对称性可得，，，，，
点的坐标为，点在抛物线上，代入得，，
综上所述，或；
（3） 点、可以是线段的三等分点，此时，
抛物线的顶点坐标为，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，点与点关于x轴对称，点的坐标为，翻折后的抛物线解析式为：，直线与抛物线交于，两点，，解得：，点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点，，解得：，点的坐标为，点的坐标为，要使点、是线段的三等分点，则，，解得：，。
例2 已知：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线经过点B，且与该抛物线有唯一公共点，平移直线l交抛物线于M、N两点（点M、N分别位于x轴下方和上方）
（1）若，
①直接写出点A，点B的坐标和抛物线的解析式；
②如图1，连接AM、AN，取MN的中点P，连接PB，求证：；
（2）如图2，连接MC. 若轴，求的值.
【解答】（1）由题意得：，解得，，令，解得或，，，抛物线的解析式；
②证明：设，
即，，
解得，. 又，
设，
即，，，
;
（2）解：，
对称轴：，
轴
，当时，，，
即，.
，得，即，
由于直线与抛物线有唯一公共点B，所以，且，
解得，，又，设
，即，，，
过N作轴于G，过M作轴交x轴于H，交AN于P，设，
当时，，当时，，
在和中
又，，.
例3（湖北青山三模） 已知抛物线，与轴交于、两点（点在点的左边），在与轴交于点，顶点为.
（1） 如图1，当为等边三角形时，求的值；
（2） 点为轴下方抛物线上一动点.
①如图2，抛物线的对称轴交轴于点，直线交轴于点，直线交对称轴于点，求的值；
②如图3，若，点在轴上方的抛物线上，交轴于，且，轴于，求证：.
【解答】（1） 令，则或，、，，为等边三角形， ，过点作轴，则有：
，，，，
，解得：；
（2） ①设，解析式为：，解析式为
由（1）知，，把，代入得：，
解得，，∴AE解析式为，∵当时，，∴，同理：BE解析式为，∵，当时，，∴，又，∴；
②过点作轴于，设，，
设直线解析式为，∵，∴，∴联立方程组，
∴，∴，；∵，
，∴，∴，又，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或，当时直线EF经过点B，不合题意，∴，
∴，∴，∴，∴。
练1 (广东惠州一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A(，0)，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E(，4)，对称轴交x轴于点F.
请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；
连接AC、AE、CE，判断的形状，并说明理由；
如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且，过点D作轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H. 在点D的运动过程中，
DG、GH、HK这三条线段能否相等？ 若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；
在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论.
参考答案
★专题16：二次函数线段数量关系★
【练1】解：（1） 分别过点、作于点，于点，
轴，
，，，，，则，将代入上式并解得：， 抛物线的表达式为：，则点，，则，，，，，，，解得：，，；
（2） 不变，理由：过点，则，解得：，， 点，，，，由（1）的结论得：，，；
（3） 过点作轴于点，则，则，
，，，，则，，，
，，
，将点的坐标代入得：，
解得： ，故 。
【练2】
解：（1） 抛物线的表达式为： ，
故 ，解得： ，故抛物线的表达式为： ；将点A、E的坐标代入一次函数表
达式并解得： 直线AE的表达式为： ；同理
可得： 直线AC的表达式为： ；
（2） 点A、C、E的坐标分别为： 、、
，则 ，，，故 ，则 为直角三角形；
（3） ①设点D、G、H的坐标分别为：
、、，
则 ；；；
当 时，，解得： 或 （舍去 ），故 ，当 时，，故 、、 这三条线段相等
时，点D的坐标为： ；
② ；，故 。
