2025-2026学年上海进才中学高三上学期数学期中试卷（2025.11）（含答案）

进才中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的最小正周期为 .
2．函数的定义域是 .
3．已知等差数列的前项和为，若，则 .
4．已知是互斥事件，，则 .
5．若函数为奇函数，则函数的值域为 .
6．已知，则 .
7．4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为 种.
8．已知复数满足，其中i为虚数单位，则的最小值为 .
9．双曲线的左、右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 .
10．已知，其中为虚数单位.从组合数、中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作.
若的概率为 .
11．体育器材室定做了半径为，高为的圆柱形球框（有盖也有下底），用来盛放半径为的篮球，则该球框合上盖子最多可以放篮球的个数为 .
12．已知，若只有5个不同的实根，则实数的取值范围是 .
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13－14每小题4分，15－16每小题5分）
13．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
14．则下列4组样本数中的散点图中，样本相关系数最小的是（ ）.
A． B． C． D．
15．我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为＂广义坐标系＂．如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的＂广义坐标＂，可记作，下面表述正确的个数（ ）.
（1）；
（2）
（3）的充要条件是
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本题满分76分，共有5小题）
17．（本题满分14分）
玉溪青花瓷起源于元末明初，其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为．
（1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
（2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望。
18．（本题满分14分）
如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度
19．（本题满分14分）
已知向量，记函数．
（1）若为偶函数，求的最小值；
（2）把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值．
20．（本题满分18分）
已知和为椭圆上两点．
（1）求的离心率；
（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程；
（3）设过点的动直线与椭圆有两个交点，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（本题满分18分）
在平面直角坐标系中，已知两点，定义为、两点间＂曼哈顿距离＂，定义为两点间＂欧几里得距离＂.
（1）为坐标原点，已知点满足，求的最小值；
（2）为坐标原点，已知点满足为函数上的动点，求的最小值；
（3）已知函数，对于函数图象上的点有的最小值为4，求的值．
进才中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的最小正周期为 .
【答案】
2．函数的定义域是 .
【答案】
3．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】48
4．已知是互斥事件，，则 .
【答案】0.6
5．若函数为奇函数，则函数的值域为 .
【答案】
6．已知，则 .
【答案】
7．4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为 种.
【答案】1440
8．已知复数满足，其中i为虚数单位，则的最小值为 .
【答案】
9．双曲线的左、右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为 .
【答案】3
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，则，
过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，
显然直线为抛物线的准线，则，
由双曲线的定义及已知条件可知，
则，
由勾股定理可知，
又，所以，即，
整理得，所以，所以，
所以双曲线的离心率大小为3
10．已知，其中为虚数单位.从组合数、中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作.
若的概率为 .
【答案】
【解析】由，即，
由题设，组合数，共41个，
对于，展开式通项的系数且构成，共41个，
根据等可能性，选取的样本空间容量为，
由于，即，则，故，
所以，只需为奇数时，
所以，即或，显然均为奇数，
对于，共有20个对应的有序数对，
对于，共有20个对应的有序数对，
综上，共有40个数对，故的概率．
11．体育器材室定做了半径为，高为的圆柱形球框（有盖也有下底），用来盛放半径为的篮球，则该球框合上盖子最多可以放篮球的个数为 .
【答案】30
【解析】紧挨两层的四个球的球心构成一个正四面体，棱长为，则对棱的距离为，则，则，共30个球.
12．已知，若只有5个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，本题转化为中的解的个数为5．
，当时，令，解得或e，
，当时，令，解得，
则作出的图象，如下图所示，
当时，有两个根，，则有1个实数根，
当时，有3个根，时有两个根，故共有3个或4个根，故舍去；
当时，此时有3个根，，
有1个根，有1个根，
时，有1个根，不合题意；时，有2个根，不合题意；时，有3个根，此时满足题意共5个根的情况，而，则；
当时，有两个根，，有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去；
当时，有1个根，，此时共1个根，舍去．
综上所述：实数的取值范围是．
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13－14每小题4分，15－16每小题5分）
13．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．则下列4组样本数中的散点图中，样本相关系数最小的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由散点图变化趋势可知，，又第2组散点图中的散点更为集中，更接近于一条直线，所以，故样本相关系数最小的是．故选B.
15．我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为＂广义坐标系＂．如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的＂广义坐标＂，可记作，下面表述正确的个数（ ）.
（1）；
（2）
（3）的充要条件是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】（1），（3）正确，其中（2）应该是
16．已知数列不是常数列，前项和为，且.若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是＂可控数列＂．现给出两个命题：
（1）存在等差数列是＂可控数列＂；（2）存在等比数列是＂可控数列＂．
则下列判断正确的是（ ）.
A．（1）与（2）均为真命题 B．（1）为真命题，（2）为假命题
C．（1）为假命题，（2）为真命题 D．（1）与（2）均为假命题
【答案】C
【详解】（1）数列不是常数列，则，则看作是一次函数的变化，
由得看作是二次函数的变化，
当足够大时，极限的思想说明不成立；
（2）取，则，
当时，取，满足，当时，取，满足；
三、解答题（本题满分76分，共有5小题）
17．（本题满分14分）
玉溪青花瓷起源于元末明初，其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为．
（1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
（2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望。
【答案】（1） （2）
【详解】（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为，
（2）∵乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率，
∴的可能取值为，
∴的分布列为：
的期望．
18．（本题满分14分）
如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度
【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）∵为棱中点，为正三角形，∴．
又三棱柱是直三棱柱，∴面，又面，
∴，而平面面，
∵面面面；
（2）方法一：由（1）得∵面面，
∴是二面角的平面角，设
在中，
则，所以
方法二：
以为原点，建立直角坐标系如图：则
，
设平面、平面的法向量分别为，
∴可以是
∴可以是，
∴则，所以
19．（本题满分14分）
已知向量，记函数．
（1）若为偶函数，求的最小值；
（2）把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【详解】（1）
,
因为为偶函数，所以
因此当时．
（3），令，则．
所以或，
解得或．
函数的每个周期内有2个零点，要使得函数在区间内恰有20个零点，
则至少需要9个完整周期加1个零点，所以的最小值为．
20．（本题满分18分）
已知和为椭圆上两点．
（1）求的离心率；
（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程；
（3）设过点的动直线与椭圆有两个交点，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2）或 （3）存在，
【详解】（1）由题意得，解得，所以．
（2）如图，当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设，则，
消去可得，
当时，，
又，所以，
∴，又点到直线的距离，
所以，
整理可得或（无解），
即，解得或，此时代入检验，均满足，
∴或，即或．
（3）椭圆方程为：．若过中点的动直线的斜率存在，
则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且，
而，
故
因为恒成立，故
若过点的动直线的斜率不存在，则，
此时需，综上，可得．
故这个点纵坐标的取值范围为
21．（本题满分18分）
在平面直角坐标系中，已知两点，定义为、两点间＂曼哈顿距离＂，定义为两点间＂欧几里得距离＂.
（1）为坐标原点，已知点满足，求的最小值；
（2）为坐标原点，已知点满足为函数上的动点，求的最小值；
（3）已知函数，对于函数图象上的点有的最小值为4，求的值．
【答案】（1） （2） （3）
【详解】（（1）设，由得：，
点的轨迹是由直线围成的边长为的菱形，且对角线在坐标轴上．
∴点到直线的距离即为的最小值，∴．
（2）设，
因为
∵为单调递减函数，当且仅当时有最小值，
所以
（3）∵过定点，当为时，
此时，
即时满足．
∵对于函数图像上的点有的最小值为4，
只需，求的值即可．
∵
①当时，
∵此时没有能使恒成立．
②当时，
，当且仅当时，上式等号成立.
要使，则，即．
构造函数，要使，即等价于求取何值时恒成立.
∵，令，得.
∴时，在上单调递减；
∴时，在上单调递增．
∴，要使恒成立，即。
构造函数，
∵，令，得，
∴时，在上单调递增；
∴时，在上单调递减．∴，
因此要使恒成立，则。
结合图像可知，当时，也满足。因此，．