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2025—2026学年八年级数学上册期末模拟试卷02（湖南专用）
（测试范围：八年级上册湘教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，平分交于D，于E，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．如图，已知的面积为12，平分，且于M，D为边上靠近点B的三等分点，连接，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
9．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．如图，点B在上，且，只需添加 条件，即可利用来判定．
12．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
13．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ．
14．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺．
15．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等．
16．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则
17．如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ．
18．对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，求的最大值为 ．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．分解因式：
（1）
（2）．
20．先化简，再求值：已知，，求的值．
21．计算下列各式：
(1)；
(2)．
22．在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接．
(1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______；
(2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
(3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长．
23．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分；
(3)若，的面积为，求的面积．
24．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题：
(1)因式分解：________；
(2)计算：
(3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解）
25．如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数．
26．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．
求证：．
下面是本题的部分解答过程，请补充完整．
证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，则为等边三角形．完成接下来的证明．
（2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．保密★启用前
2025—2026学年八年级数学上册期末模拟试卷02（湖南专用）
（测试范围：八年级上册湘教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A C A C D D C
1．A
本题考查平方差公式的应用，直接使用公式 进行因式分解即可．
解：∵，
∴由平方差公式，得，
故选：A．
2．B
本题考查科学记数法，同底数幂的除法，科学记数法表示形式为，其中，为整数，准确分析计算是解题的关键．
用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果即可得解．
解：分子的直径为，
将小数点向右移动位至第一个非零数字后，得到，且，
科学记数法表示为；
故选．
3．D
本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否将多项式化为整式的积的形式，且等式成立．
解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，
A项：右边含有分式，不是整式，所以不是因式分解，故A错误；
B项：右边，所以等式不成立，不是因式分解，故B错误；
C项：右边，所以等式不成立，不是因式分解，故C错误；
D项：右边，与左边相等，且是整式的积，所以是因式分解，故D正确．
故选：D．
4．A
本题考查了角平分线的性质定理、与三角形的高的计算，过点作于，先利用三角形的面积公式计算得出，再由角平分线的性质定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图：过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∵平分交于D，于E，
∴，
故选：A．
5．C
本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可．
解：由题意，得：，，
中，，
由，
∴，
中，，
答：C岛和A港之间的距离．
故选：C．
6．A
根据中垂线的性质，两点关于对称，连接，交于点，此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，求出，进而求出的周长的最小值即可．
解：∵的周长，
∴当最小时，的周长最小．
∵是的垂直平分线，
∴两点关于对称，
∴，
连接，交于点，此时的周长最小，
∵，D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：A．
本题考查等腰三角形的性质和中垂线的性质，以及利用轴对称解决周长最小问题．熟练掌握相关知识点以及将军饮马问题，是解题的关键．
7．C
本题考查了全等三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算，延长交于，证明，得出，从而可得，，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，延长交于，
，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵D为边上靠近点B的三等分点，
∴的面积为，
故选：C．
8．D
本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．对每个选项逐一判断即可．
解：A、当时，没有意义，不符合题意；
B、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意；
C、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意；
D、当，即取全体实数时，有意义，符合题意．
故选：D．
9．D
本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可．
解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得：
；
故选D．
10．C
本题考查分式的混合运算，涉及知识点：分式的通分、因式分解、分式的除法．解题方法是先对括号内的分式通分，化简后根据 “因数=积÷另一个因数”求W；解题关键是正确分解因式并通分，易错点是符号处理或因式分解错误．解题思路：对括号内的分式通分，化简后求其倒数得W．
解：∵原式为，
其中，且，
∴括号内可写为．
通分后：．
约去公因式（∵）：．
∴方程化为，
解得，且由分母不为零，需．
∴W等于，且．
故选C．
11．
本题考查全等三角形的判定．熟练掌握证明三角形全等，是解题的关键．根据与的夹角为，与的夹角为，即可得出答案．
解：由图和已知，得：，，
∴当时，；
故答案为：．
12．
且
本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围．
解：，
，
，
，
，
解得，
由于解为非正数，即，
所以，
即，
又因为分母且，即且，
当时，，解得，但此时，不符合非正数条件；
当时，，解得，但此时分母，分式无意义，
因此需排除，
故的取值范围是且．
故答案为：且．
13．/
本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求解即可．
解：由数轴得，且，，
∴，
故．
故答案为：．
14．
本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长．
解：根据题意可得（尺），
设水深尺，则芦苇长尺，
在中，，
即，
解得，
，即芦苇长尺．
故答案为：．
15．2或6或8
本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可．
解：①当在线段上，时，，
这时在点未动，因此时间为0秒，不合题意，应舍去；
②当在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动时间为（秒）；
③当在上，时，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动时间为（秒）；
④当在上，时，，，
∴点的运动时间为（秒），
故答案为：2或6或8．
16．20
本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到．
解：，分别是边的垂直平分线，
，，
，
，，，
，
，
．
故答案为：
17．/度
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定义；根据题意得出三角形的外角性质得出，即可得出，根据三角形内角和定理求得，即可求解．
解：∵，
∴，
三角形的内角的角平分线为，
，
平分外角，
，
在中，由三角形的外角性质，得，
，
，
；
故答案为：．
18．
本题考查了因式分解的应用，根据题意，p和q均为矩数，且，，其中t和s为正整数，．由，可得方程，整理得．由于t和s为正整数且，因此和均为正整数，且．枚举8的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故．由于只有一组解，最大值即为．
解：由已知，，，且．
展开得，
即，
因式分解得．
由于t和s是正整数，且，故，．
又，且，
因此可能因子对为或．
当，时，解得，．
当，时，解得，，不满足正整数条件，舍去．
故唯一解为，，此时．
因此，的最大值为．
故答案为：．
19．（1）
（2）
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先提公因式，要注意变号，然后利用平方差进行因式分解．
（1）；
（2）．
20．
；
本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先运用分式的性质结合完全平方公式和平方差公式化简，再运用二次根式的混合运算法则求得，，然后将，整体代入计算即可．
解：
，
，
，，
∴原式．
21．(1)
(2)
此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键．
（1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可；
（2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可．
（1）
；
（2）
22．(1)；；
(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析；
(3)或
（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得；
（2）同（1）求解即可；
（3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可．
（1）解：在中，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：
同理可得，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有，
∴，
∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动；
如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
，；
同理，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
23．(1)见详解
(2)见详解
(3)24
本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分；
（3）首先确定，结合易得，然后由求解即可．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴垂直平分；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的面积为24．
24．(1)
(2)2024
(3)
（1）令，代入计算即可；
（2）令，，代入计算即可；
（3）首先求出，然后求出，即可求出的值．
（1）解：令，
∴
；
故答案为：；
（2）解：令，，
∴
；
故答案为：2024；
（3）解：∵，，，
∴
∴
∴
∴
∴．
本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想．
25．
本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质：，旋转角，得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，即可解决问题．
解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，旋转角，
在中，，
∴是等腰三角形，
∴，
又，
∴．
26．（1）见解析；（2），见解析；
（1）将旋转，利用等边三角形和直角三角形的性质证勾股定理；
（2）类比旋转法，结合等腰直角三角形的性质推导线段关系．
（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，如图：
由旋转性质可得，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）
证明如下：
如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，
由旋转性质可得：，，，
为等腰三角形，
，，
，
，
，
，
.
本题考查几何变换中的旋转法（全等变换）、等边三角形与直角三角形的性质，涉及知识点：旋转的性质、等边三角形判定与性质、勾股定理．解题方法是通过旋转将分散的线段集中到一个三角形中，利用特殊三角形的角度和边长关系推导线段平方关系；解题关键是选择合适的旋转中心和角度，将三条线段转化到直角三角形中，易错点是旋转后角度关系的推导错误．(共5张PPT)
湘教版2024 八年级上册
八年级数学上册期末模拟试卷02
（湖南省专用）试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 平方差公式分解因式
2 0.85 用科学记数法表示绝对值小于1的数
3 0.75 判断是否是因式分解
4 0.65 角平分线的性质定理
5 0.65 解决航海问题(勾股定理的应用)
6 0.65 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定
7 0.65 根据三角形中线求面积；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
8 0.65 分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
9 0.64 列分式方程
10 0.64 异分母分式加减法；分式加减乘除混合运算
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 用SAS证明三角形全等（SAS）；添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
12 0.74 根据分式方程解的情况求值；求一元一次不等式的解集
13 0.65 根据点在数轴的位置判断式子的正负；利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题
14 0.65 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
15 0.65 全等的性质和HL综合（HL）
16 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角
17 0.64 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用；三角形的外角的定义及性质；等边对等角
18 0.4 因式分解的应用
二、知识点分布
三、解答题 19 0.75 平方差公式分解因式；综合提公因式和公式法分解因式；提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
20 0.65 分式化简求值；二次根式的混合运算；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
21 0.65 异分母分式加减法
22 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质说明线段或角相等
23 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的有关计算；与三角形的高有关的计算问题；线段垂直平分线的判定
24 0.65 完全平方公式分解因式；分式化简求值；有理数四则混合运算
25 0.64 等边对等角；根据旋转的性质求解；三角形内角和定理的应用
26 0.4 用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质
