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2025—2026学年九年级数学上册期末模拟试卷（湖南专用）
（测试范围：九年级上册湘教版，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B D A B B B
1．D
本题主要考查反比例函数解析式的求法，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式，是做题的关键．将已知点的坐标代入函数解析式即可求出的值．
解：∵ 反比例函数 () 的图象经过点，
∴ 当时，，
代入函数解析式得，，
∴ ．
故选：D．
2．C
本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意不要两边同时约去，需要移项后运用因式分解法求解．
将方程移项为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解．
解：移项得： ，
因式分解得：，
∴ 或 ，
∴ ， ．
故选：C．
3．A
本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数的增减性，根据函数图象分布的象限可知，以及增减性，据此可判断①②；反比例函数图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，据此可判断③；根据点A在反比例函数的图象上可知横纵坐标的乘积为12的点都在该反比例函数的图象上，据此可判断④．
解：∵反比例函数的函数图象分别在第一和第三象限，
∴，在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；
∴，故①正确；
反比例函数图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，故③错误；
∵点是该函数图像上一点，
∴，
∴横纵坐标的乘积为12的点都在该反比例函数的图象上，
∵，
∴点也在该函数图象上，故④正确，
故选：A．
4．B
本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量，用最喜欢秦州小曲的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，据此可判断A；再求出样本中最喜欢剪纸的人数，用1600乘以样本中最喜欢剪纸的人数占比即可判断B；用360度乘以样本中最喜欢黄河战鼓的人数占比即可判断C；用参与调查的人数乘以最喜欢皮影戏的人数占比即可判断D．
解：人，
∴这次一共调查了200人，即样本容量为200，故A说法错误，不符合题意；
人，
∴样本中最喜欢剪纸的有30人，
∴全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有人，故B说法正确，符合题意；
扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是，故C说法错误，不符合题意；
人，
∴被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有60人，故D说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．B
本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案．
解：∵，，
∴，
∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意，
∴，故C选项正确，不符合题意，
∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意．
故选：B．
6．D
本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决本题的关键．过点B作，先利用平行线分线段成比例定理求出，再利用直角三角形的边角间关系得结论．
解：过点B作，交的延长线于点
，O是的中点，
在中，
，
故选：D.
7．A
本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值．
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴，
∴．
故选：A．
8．B
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关性质，确定出面积之间的关系．
根据题意可得，，，从而得到，且，得到，设，则，连接，可得，即，则，即可求解．
解：在平行四边形中，，，
又∵，点为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，则，连接，如下图：
则，
由题意可得，，
∴，
故选：B
9．B
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质，以及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
先证明，利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合线段中点性质，以及勾股定理求出，，即可解答．
解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴在中，，
∴，解得，
∵分别是的中点，
∴，，
∴在中，，
在中，，
∴．
故选：B．
10．B
本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．3
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设一元二次方程的两个根为，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再结合题意可知，求出的值即可解答．
解：设一元二次方程的两个根为，，
则，
∵其中一个根是，不妨设，
∴，
∴，
∴方程的另外一个根的值为3．
故答案为：3．
12．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可．
解：如图，连接，记与轴的交点为，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：∵，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．50.4
本题考查了用样本估计总体，先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而计算出这个家庭4月份用电度数，最后估计出小红家4月份（按30天计）的电费．
解：这七天每天用电的度数，4月份用电度数（度），
∴小红家4月份（按30天计）的电费（元）．
故答案为：50.4．
15．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
过点作轴，作交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，根据锐角三角函数比求出相关边长，然后根据平移的性质求出，即可求出点的坐标．
解：如图，过点作轴，作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
根据平移的性质，
，
，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
；
故答案为：．
16．
本题考查了三角形中位线，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取的中点，连接，先证明是的中位线，推出，从而得到，那么，，不妨设，那么，那么，，从而得出答案．
解：取的中点，连接，如图所示：
∵点是的两条中线、的交点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，，
不妨设，那么，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
17．
本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得．
解：∵是的中点，
∴，
过点F作交于点G，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
18．2027
本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答．
解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴，，，
解得，，
则
，
当时，则，
∴，
即代数式的最小值是，
故答案为：．
19．(1)
(2)
本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
（1）解：，
，
，
即，
或，
解得；
（2）解：，
，
，则方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
20．（1）, ; （2）
本题考查了配方法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
（1），
则，
配方得，
，
解得，
, ；
（2）原式
．
21．(1)，
(2)
(3)人
本题考查了扇形统计图、频数分布表、样本容量、平均数，众数的含义，用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，并准确计算是解题的关键．
（1）根据众数的含义求解A组数据的众数，再利用组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量；利用样本容量减去组的频数得到组的频数；
（2）利用平均数公式列式计算即可；
（3）用该校学生总数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比，即可估计该校学生劳动时间超过的人数．
（1）解：由题意可得，A组数据的众数为．
本次调查的样本容量是，
则．
（2）解：抽取的部分学生星期日做家务时间的平均数是：
．
（3）解：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的人数为860人．
22．(1)见详解
(2)
本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键；
（1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证；
（2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：过点C作于点F，如图所示：
∵，
∴，
设，则根据勾股定理可得：，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
解得：（负根舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称、位似变换，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点连线即可得到；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以依次得到、、的坐标，然后描点连线即可得到；
（3）利用割补法即可求出的面积．
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：的面积，
故答案为：8．
24．(1)
(2)5元
(3)
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答；
（2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答；
（3）根据题意列出方程，求出的值即可解答；
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔每个应涨价元，
根据题意，得，
整理得：，
解得，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔每个应涨价5元；
（3）解：由题意得，，
整理得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：道路宽x应为．
25．(1)，
(2)6
(3)或
本题考查了利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，三角形面积的计算，利用图象法解不等式．
（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案；
（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案．
（1）解：把代入得：，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：∵直线的解析式为，
令，则，即，
∴．
（3）解：由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴或．
26．(1)
(2)是定值；直线与直线所夹锐角的度数是，不变化；理由见解析
(3)或
（1）根据正方形的性质可证等腰直角三角形，利用三角函数可得边的关系，则问题得解；
（2）连接，可证，则，延长交于点，根据相似三角形的性质及对顶角相等可得；
（3）分情况讨论，当时，点，，三点共线时，；当时，点，，三点共线时，，最后根据前一问的结论可得的长．
（1）解：∵正方形中，，平分、，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴；
（2）答：；直线与直线所夹锐角的度数是，理由如下：
连接，延长交于点 ，
∵由（1）可知：正方形中，，，
∴，，
即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
综上：；直线与直线所夹锐角的度数是；
（3）解：当时，三点共线时，
∵正方形中，，，
∴是直角三角形，是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，三点共线时，连接，如图，
∵正方形中，，，
∴，
即：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：或；
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理以及旋转的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．(共5张PPT)
湘教版 九年级上册
九年级数学上册期末模拟试卷
（湖南省专用）试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 求反比例函数解析式
2 0.75 因式分解法解一元二次方程
3 0.75 已知双曲线分布的象限，求参数范围；判断反比例函数的增减性；求反比例函数值
4 0.65 用样本的频数估计总体的频数；条形统计图和扇形统计图信息关联；总体、个体、样本、样本容量
5 0.65 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
6 0.65 由平行判断成比例的线段；解直角三角形的相关计算
7 0.65 线段垂直平分线的性质；特殊三角形的三角函数；与角平分线有关的三角形内角和问题
8 0.65 利用平行四边形的性质求解；相似三角形的判定与性质综合
9 0.64 相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；根据矩形的性质求线段长
10 0.64 已知式子的值，求代数式的值；由一元二次方程的解求参数
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 一元二次方程的根与系数的关系
12 0.75 已知比例系数求特殊图形的面积
13 0.85 比较反比例函数值或自变量的大小
14 0.65 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）
15 0.65 图形的平移；相似三角形的判定与性质综合；写出直角坐标系中点的坐标；解直角三角形的相关计算
16 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；相似三角形的判定与性质综合
17 0.64 由平行截线求相关线段的长或比值
18 0.64 配方法的应用；新定义下的实数运算
二、知识点分布
三、解答题 19 0.85 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
20 0.75 解一元二次方程——配方法；特殊角三角函数值的混合运算；实数的混合运算
21 0.65 由样本所占百分比估计总体的数量；求一组数据的平均数；频数分布表；求众数
22 0.65 相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算；等边对等角；用勾股定理解三角形
23 0.65 坐标与图形变化——轴对称；在坐标系中画位似图形；利用网格求三角形面积
24 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)；增长率问题(一元二次方程的应用)
25 0.64 求一次函数解析式；求反比例函数解析式；求直线围成的图形面积；一次函数与反比例函数的交点问题
26 0.4 根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算保密★启用前
2025—2026学年九年级数学上册期末模拟试卷（湖南专用）
（测试范围：九年级上册湘教版，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
3．反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②y随x的增大而减小；③该函数为的图象中心对称图形但不是轴对称图形；④若点是该函数图象上一点，则点也在该函数图象上．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③
4．甘肃省某中学为了加深学生对本省非物质文化遗产的了解，计划开展一些非物质文化遗产知识的相关选修课程（分别是剪纸、皮影戏、黄河战鼓、秦州小曲、跳鼓舞），选取了若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课程”的调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是110
B．全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有240人
C．扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是
D．被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有33人
5．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ）
A．路线的坡角是 B．路线的坡度是
C．的长度为 D．路线的坡比是
6．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，，当跷跷板的一端A着地时，跷跷板与地面的夹角，此时另一端B离地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．1
8．如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：6 D．1：12
9．如图，在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，，分别是的中点，连接，若，则的值为 （ ）
A． B．2 C． D．
10．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．已知一元二次方程（m为常数）的一个根是，则此方程的另外一个根的值为 ．
12．如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为 ．
13．已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是 ．
14．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8
电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49
若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是 元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数）
15．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在轴上，点在轴上．若，，，则点坐标为 ．
16．如图，中，点是的两条中线、的交点，若，则 ．
17．如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ．
18．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．解方程（1）；
计算（2）
21．劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为；，，，，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别 时间 频数 小组平均数（）
A 5
B a
C 20
D 15
E 8
请根据以上信息解答下列问题：
(1)A组数据的众数为___________，频数分布表中的a的值为___________
(2)抽取的部分学生星期日做家务时间的平均数是多少？
(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数
22．如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为；
(3)求的面积为_______．
24．深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
(3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？
25．如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图像直接写出不等式时x的解集．
26．如图，正方形与正方形有公共点，点分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针方向旋转，旋转角为（）．
(1)当时， ；直线与直线所夹锐角的度数是 ．
(2)如图，当时，连接，是否为定值？直线与直线所夹锐角的度数是否发生变化？请说明理由；
(3)若，，当三点共线时，直接写出的长度．
