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2025—2026学年九年级数学上册期末模拟试卷02（湖南专用）
（测试范围：九年级上册湘教版，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B D A C B B C
1．A
本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质；
先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可.
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限；
故选：A.
2．C
本题考查了一元二次方程根的定义．
利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值．
解：∵m是方程的实数根，
∴，
即，
∴．
故选：C．
3．C
本题考查的知识点是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是正确理解函数图象和性质．
观察函数图象即可求解．
解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
不等式的解集是或．
故选：．
4．B
本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出．
解：由图象可得当点P在起点C时，，
当点P与点B重合时最长为，此时，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
5．D
根据平均数、众数与中位数的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、m%＝×100%＝28%，则m的值为28，故本选项错误；
B、平均次数是：＝5.16，故本选项错误；
C、∵5次出现了16次，出现的次数最多，∴众数为5，故本选项错误；
D、把这些数从小到大排列，则中位数是5，故本选项正确；
故选：D．
本题考查了平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
6．A
本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先根据直角三角形的性质，求出、和的关系，再根据，求出和的关系，最后根据正切函数的定义即可求出的值．
解：在中，，，
，．
，
，
，
即的值为．
故选：A．
7．C
本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键．
设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可．
解：设，则，
当时，
则，
代入得，，
解得，；
当时，
则，
代入得，，
解得，或，
故选：C．
8．B
此题考查平行线分线段成比例，即由平行线得到对应的线段成比例，得出正确的比例式是解此题的关键．
根据，得到，然后将已知条件代入即可完成求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．B
本题考查一元二次方程的判别式；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零，且判别式大于零，即可求解
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 二次项系数 ，即 ，
且判别式 ，
，
∴ ，
，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选 B
10．C
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：如图，过点D作的延长线于点F．
∵坡度为，，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故选：C．
11．/
本题考查反比例函数的应用，根据图象可得点在反比例函数图象上，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得当时的P值即可．
解：由图象知，点在反比例函数图象上，
设反比例函数的解析式为，则，
∴该反比例函数的解析式为，
当时，．
故答案为：．
12．
知识点：反比例函数的函数值计算、有理数的大小比较．方法：将点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的函数值，再比较大小．关键：准确代入横坐标计算函数值，注意符号运算（负数除以负数得正）．易错点：代入时符号运算错误；忽略正负号直接比较数值大小．
根据反比例函数的解析式，将点A和点B的横坐标代入函数，分别求出纵坐标和的值，再比较大小．
解：对于点，代入函数解析式，得．
对于点，代入函数解析式，得．
因为，所以．
故答案为：．
13．/30度
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出的度数．
解：作轴于C，轴于D，如图：
点A、B分别在反比例函数，的图象上，
，，
，
，
∵，
，
，
∵轴于
∴
，
．
即
即，
故答案为：．
14．
直角三角形
本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键．
根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状．
解：∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是三角形的锐角，
∴，
则，
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
15．12
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据平行线分线段成比例定理求出线段的长．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，根据线段之间的关系，即可得出答案．
解：∵，
∴，
即，
解得，
∴．
故答案为：12．
16．
本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，掌握三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．
如图：延长交于D，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可．
解：如图：延长交于D，
∵I为重心，
∴是的中线，，即
∵，
，
∴．
故答案为：．
17．且
本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
解：∵，
解得：．
∴一元二次方程为．
∵一元二次方程有实数根，
∴
∴且，
故答案为：且．
18．
本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键．
仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为．
解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为．
故答案为：．
19．(1)无解
(2)，．
本题考查了解分式方程、解一元二次方程．
（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）根据直接开平方法解方程即可．
（1）解：
方程两边同时乘以，得
∴
解得：
当时，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
∴
∴
∴，．
20．(1)见解析
(2)10
本题考查平行线分线段成比例定理．
（1）由，求得，由求得，据此即可得到；
（2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴的长为10．
21．树的高度为
本题考查的是相似三角形的应用，根据相似三角形的判定与性质即可得到答案．
解：根据题意可得：，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
答：树高为．
22．(1)5，
(2)
本题考查了一元二次方程的解，平方差公式，完全平方公式，将方程的解代入原方程，求出，的值是解题的关键．
（1）根据运算法则，即可求出化简及；
（2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
（1）解：根据题意得：；
，
故答案为：5，；
（2）解：将代入原方程得：，
整理得：，
，，
，，
．
23．(1)
见解析
(2)
1
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据证明即可；
（2）由题意知，，由，可得，计算求解即可．
（1）证明：∵关于的一元二次方程中，
，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，即，
解得，
∴的值是1．
24．(1)
(2)秒
本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）设这个反比例函数表达式为，根据表格中的数据求出即可；
（2）分别求出、时的速度及相应的时间，比较后得出结论．
（1）解：设这个反比例函数表达式为，
∵当时，，
∴，
反比例函数表达式为；
（2）当时，，
（秒），
当时，，
（秒），
（秒），
机器狗所用的最短时间为198秒．
25．(1)
(2)
本题考查了一次函数与反比例函的交点问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键．
（1）将点代入求解即可得到答案；
（2）求出点，再将点，带入求解即可得到答案．
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴；
（2）解：设点，连接，
∵的面积为9，
∴，
解得：，
∴，
将点，代入一次函数，
得，
解得，
∴．
26．（1）证明见解析，（2）
本题考查了相似三角形的判定及性质，矩形的性质，三角函数的比值关系，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）利用相似三角形的判定方法判定出，，再根据相似的比值关系求解即可；
（2）过点作，交，分别于点，，利用三角函数的比值关系求出的长，证出，得到，即可求出的长，再利用三角形的面积公式运算求解即可．
解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
，，
，
；
（2）：过点作，交，分别于点，如图所示：
∵为中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴．(共5张PPT)
湘教版 九年级上册
九年级数学上册期末模拟试卷02
（湖南省专用）试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 根据一次函数解析式判断其经过的象限；判断反比例函数图象所在象限
2 0.85 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
3 0.75 一次函数与反比例函数的交点问题
4 0.65 动点问题的函数图象；求角的余弦值；用勾股定理解三角形
5 0.65 求一组数据的平均数；求众数；求条形统计图的相关数据；条形统计图和扇形统计图信息关联
6 0.65 求角的正切值；解直角三角形的相关计算
7 0.65 相似三角形的判定与性质综合；相似三角形——动点问题
8 0.65 由平行判断成比例的线段
9 0.64 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
10 0.4 相似三角形实际应用；坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 求反比例函数解析式；实际问题与反比例函数；从函数的图象获取信息
12 0.75 比较反比例函数值或自变量的大小
13 0.65 反比例函数与几何综合；相似三角形的判定与性质综合；解直角三角形的相关计算
14 0.65 由特殊角的三角函数值判断三角形形状；根据特殊角三角函数值求角的度数；绝对值非负性；利用算术平方根的非负性解题
15 0.65 由平行截线求相关线段的长或比值
16 0.65 重心的有关性质；斜边的中线等于斜边的一半
17 0.64 利用算术平方根的非负性解题；根据一元二次方程根的情况求参数；绝对值非负性
18 0.64 配方法的应用
二、知识点分布
三、解答题 19 0.75 解一元二次方程——直接开平方法；解分式方程（化为一元一次）
20 0.74 由平行截线求相关线段的长或比值
21 0.65 相似三角形实际应用
22 0.65 整式的混合运算；由一元二次方程的解求参数
23 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；一元二次方程的根与系数的关系
24 0.65 求反比例函数解析式；实际问题与反比例函数
25 0.64 求一次函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题
26 0.4 相似三角形的判定与性质综合；利用矩形的性质证明；利用同角三角函数关系求值
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2025—2026学年九年级数学上册期末模拟试卷02（湖南专用）
（测试范围：九年级上册湘教版，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
2．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．2023 B．2026 C．2027 D．2028
3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计．绘制出如下的统计图1和图2，根据相关信息，下列选项正确的是（ ）
A．m的值为28% B．平均数为5 C．众数为6 D．中位数为5
6．如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（ ）．
A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5
8．如图，，若，，，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
10．如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（ ）m
A．6 B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 24分）
11．在功一定的条件下，功率是做功时间的反比例函数，与之间的函数关系如图所示．当时，的值为 ．
12．已知点 ， 都在函数 的图象上，则 ，的大小关系是 ．
13．如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的度数为 ．
14．已知在中、都是锐角，，那么的形状是 ．
15．如图，已知直线，直线，分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，，，，则的长为 ．
16．如图，中，，I为重心，则 ．
17．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
18．材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19 、20 题每小题6 分，第21 、22 题每小题8 分，第23 、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分，要有必需的解题步骤与过程）
19．解方程：
(1)
(2)
20．如图，在中，，．
(1)求证：
(2)已知，，求的长．
21．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的）．小华利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小华的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度．
22．材料阅读：
材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数．
材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则：
；
；
．
(1)化简直接填空：① ，② ；
(2)关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值．
23．已知关于的一元二次方程方程有两个实数根．
(1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根，满足，求的值．
24．“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表：
总质量（千克）
最快速度（米/秒） 6 4 3
(1)求出关于的反比例函数表达式；
(2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间．
25．如图，一次函数的图象与轴负半轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求点的坐标；
(2)当的面积为9时，求一次函数的表达式．
26．【问题提出】（1）如图①，在矩形中，是的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接并延长与的延长线交于点，连接交于点．求证：；
【问题解决】（2）如图②，在矩形中，是的中点，延长到，连接并延长与的延长线交于点，连接、，与交于点，已知，，，求的面积．
