2025-2026学年人教A版数学必修第一册期末质量检测练习卷（含解析）

人教A版数学必修第一册期末质量检测练习卷
(考查范围：必修　第一册　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，B＝{x|1－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝
B．A∩B＝
C．A∪B＝
D．A∪B＝R
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
3．命题“ x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x2＋2x＋2>0
B． x∈R，x2＋2x＋2≤0
C． x∈R，x2＋2x＋2>0
D． x∈R，x2＋2x＋2≥0
4．已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于原点对称，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
5．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　B　)
A． B．
C．－ D．－
6．函数y＝的图象大致为(　　)
　　
A　　　　 　 　　　　B
　　
C　　　　 　 　　　　D
7．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若 a，b∈[0，＋∞)，且a≠b，都有<0成立，则不等式f－(2t2－t)f(2t－1)>0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪
B.∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·天津卷改编)已知f(x)＝sin 2x，下列关于该函数的说法错误的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在上单调递增
C．当x∈时，f(x)的取值范围为
D．函数f(x)的图象可由函数g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到
10．若bA．a2C.b2
11．已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数
D．函数f(x)的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数f(x)＝的定义域为∪(2，＋∞).
13.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为 　　　　.
14.已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合A＝{x|a－1(1)若a＝1，求集合A∩( RB)；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
16.(15分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
17.(15分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若tan α＋＝5，求的值．
18.(17分)如图，在Rt△ACB中，斜边AB＝2，BC＝1，在以AB为直径的半圆上有一点D(不含端点)，∠DAB＝θ，设△ABD的面积为S1，△ACD的面积为S2.
(1)若S1＝S2，求θ；
(2)令S＝S1－S2，求S的最大值及此时的θ.
19.(17分)已知函数f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)试判断f(x)的单调性，并说明理由．
(3)定义：若函数F(x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数F(x)的“完美区间”．若函数g(x)＝f(x)＋ln b存在“完美区间”，求实数b的取值范围．
人教A版数学必修第一册期末质量检测练习卷
(考查范围：必修　第一册　时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，B＝{x|1－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝
B．A∩B＝
C．A∪B＝
D．A∪B＝R
A　解析：由1－2x>0，得x<，所以A∩B＝∩＝，A∪B＝∪＝.
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
3．命题“ x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x2＋2x＋2>0
B． x∈R，x2＋2x＋2≤0
C． x∈R，x2＋2x＋2>0
D． x∈R，x2＋2x＋2≥0
A　解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，且要注意到要否定结论．故选A．
4．已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于原点对称，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：将函数f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得函数g(x)＝2cos＝2cos的图象．又函数g(x)的图象关于原点对称，则φ－＝＋kπ，k∈Z，得φ＝＋＋kπ＝＋kπ，k∈Z.
因为0<φ<，则取k＝－1，φ＝.
5．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　B　)
A． B．
C．－ D．－
6．函数y＝的图象大致为(　　)
　　
A　　　　 　 　　　　B
　　
C　　　　 　 　　　　D
B　解析：设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；
当x∈(0,1)时，ln|x|<0，x2＋2>0 ，所以f(x)<0，排除D.故选B.
7．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　解析：显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数．当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0，因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件．
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若 a，b∈[0，＋∞)，且a≠b，都有<0成立，则不等式f－(2t2－t)f(2t－1)>0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪
B.∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
D　解析：令g(x)＝xf(x)，由题意知g(x)在[0，＋∞)上为减函数，
又f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为R上的奇函数．
又g(x)在[0，＋∞)上为减函数，g(0)＝0，
所以g(x)在R上为减函数．
①当t>0时，f>(2t－1)f(2t－1)，即g>g(2t－1)，所以<2t－1，所以1<2t2－t, 解得t>1；
②当t<0时，f<(2t－1)f(2t－1)，即g2t－1，所以1<2t2－t, 解得t<－.
综上，t<－或t>1．
故选D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·天津卷改编)已知f(x)＝sin 2x，下列关于该函数的说法错误的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在上单调递增
C．当x∈时，f(x)的取值范围为
D．函数f(x)的图象可由函数g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到
ACD　解析：因为f(x)＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，A不正确；令t＝2x∈，而y＝sin t在上单调递增，所以f(x)在上单调递增，B正确；因为t＝2x∈，sin t∈，所以f(x)∈，C不正确；由于g(x)＝sin＝sin，所以函数f(x)的图象可由函数g(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到，D不正确．故选ACD.
10．若bA．a2C.b2
ABD　解析：因为bab，故A，B正确．
对于C，因为y＝x在R上单调递减，ba，故C不正确．
对于D，因为b0，>0，≠，
所以＋>2＝2，故D正确．
11．已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数
D．函数f(x)的值域为
BD　解析：因为f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log44＝log4＝log4(2－x＋2x)，
所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确；
令t＝2x，则y＝log4，
令s＝t＋，则y＝log4s，
当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，
又y＝log4s为增函数，所以y＝log4为增函数．
又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
又f(x)为R上的偶函数，
所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为.
所以C错误，D正确．
故选BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数f(x)＝的定义域为∪(2，＋∞).
13.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为 　　　　.
－4　解析：因为f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则－1≤t≤1，
令g(t)＝－2t2－3t＋1，则其图象开口向下，对称轴方程为t＝－，在[－1,1]上先增后减，
故当t＝1即cos x＝1时，函数有最小值－4.
14.已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为　　　　.
　解析：因为正实数a，b满足a＋b＝4，
所以a＋1>1，b＋3>3，a＋1＋b＋3＝8，
所以＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥＝.
当且仅当＝，即a＝3，b＝1时取等号，
所以＋的最小值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合A＝{x|a－1(1)若a＝1，求集合A∩( RB)；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解：(1)因为B＝{x|x－x2>0}＝{x|0又a＝1时，A＝{x|0所以A∩( RB)＝{x|1≤x<3}．
(2)若A＝ ，则a－1≥2a＋1，
解得a≤－2，满足A∩B＝ .
若A≠ ，且由A∩B＝ ，
可知或
解得－2综上，实数a的取值范围是∪[2，＋∞).
16.(15分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)依题意得
y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝取最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使 x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，
只要x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即解得a≥.
则实数a的取值范围为.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若tan α＋＝5，求的值．
解：(1)设最高点为(x1,1)，相邻的最低点为(x2，－1)，则|x1－x2|＝(T>0)．
由题意及勾股定理得(x1－x2)2＋[1－(－1)]2＝4＋π2，
所以＋4＝4＋π2，所以T＝2π＝.
又ω>0，所以ω＝1，
因此f(x)＝sin(x＋φ)．
由于函数f(x)是偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z.
又0≤φ≤π，则φ＝，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＝cos x.
(2)因为tan α＋＝5，
所以＋＝5，
所以sin αcos α＝.
所以＝
＝
＝
＝
＝2sin αcos α＝.
18.(17分)如图，在Rt△ACB中，斜边AB＝2，BC＝1，在以AB为直径的半圆上有一点D(不含端点)，∠DAB＝θ，设△ABD的面积为S1，△ACD的面积为S2.
(1)若S1＝S2，求θ；
(2)令S＝S1－S2，求S的最大值及此时的θ.
解：因为在Rt△ACB中，AB＝2，BC＝1，
所以AC＝，∠BAC＝，∠ABC＝.
又因为D为以AB为直径的半圆上一点，
所以∠ADB＝.
在Rt△ADB中，AD＝2cos θ，BD＝2sin θ，θ∈，
作CF⊥AD于点F(图略)，则CF＝sin，
S1＝×AD×BD＝×2cos θ×2sin θ＝sin 2θ，
S2＝×AD×CF＝×2cos θ×sin＝cos θsin.
(1)若S1＝S2，则sin 2θ＝cos θsin，
因为cos θ≠0，所以2sin θ＝sin＝sin θ＋cos θ，
整理得sin θ＝cos θ，
所以tan θ＝，θ＝.
（2）S＝sin 2θ－cos θsin＝sin 2θ－cos θ·
＝sin 2θ－sin 2θ－(1＋cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ－＝sin－，
因为0<θ<，所以－<2θ－<，
当2θ－＝，即θ＝时，S取得最大值，为.
19.(17分)已知函数f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)试判断f(x)的单调性，并说明理由．
(3)定义：若函数F(x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数F(x)的“完美区间”．若函数g(x)＝f(x)＋ln b存在“完美区间”，求实数b的取值范围．
解：(1)要使函数f(x)有意义，须使ex－1>0，
解得x>0，
所以函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．
(2)f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)在(0，＋∞)上单调递增．
理由如下：
(方法一)因为f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln，
又y＝ex＋1在(0，＋∞)上为增函数，
所以y＝在(0，＋∞)上为减函数，
所以y＝1－在(0，＋∞)上为增函数，
所以y＝ln在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)在(0，＋∞)上单调递增．
(方法二)因为f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)＝ln，
对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1ex1>1，
则f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln.
又(ex1－1)(ex2＋1)－(ex1＋1)(ex2－1)＝2(ex1－ex2)<0，
可知0<<1，
所以ln<0，即f(x1)故f(x)＝ln(ex－1)－ln(ex＋1)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)可知g(x)＝f(x)＋ln b在(0，＋∞)上单调递增，设区间[m，n]是函数g(x)＝f(x)＋ln b的“完美区间”．
则g(m)＝m，g(n)＝n.
可知方程g(x)＝x在(0，＋∞)上至少存在两个不同的实数解，
即b＝在(0，＋∞)上至少存在两个不同的实数解，
所以直线y＝b与函数y＝在(0，＋∞)上的图象至少存在两个不同的交点．
令t＝ex－1，则t>0，
所以b＝＝＝t＋＋3≥3＋2，当且仅当t＝时，取等号．
又y＝t＋＋3在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
且当t→0时，y→＋∞；当t→＋∞时，y→＋∞.
所以b>3＋2.
故实数b的取值范围为(3＋2，＋∞)．
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