26.1 二次函数-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.1 二次函数
什么叫函数？ 它有几种表示方法？
什么叫一次函数？
y = kx + b 的自变量是什么？常量是什么？为什么要有 k ≠ 0 的条件？k 值对函数性质有什么影响？
问题1
用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃. 怎样围才能使花圃的面积最大？
我先列举一些不同的围法。
设围成的矩形花圃为 ABCD，给 AB 的长一些值，求出 BC 的长。
26.1 二次函数 教学过程
一、情境激趣，导入新课（5分钟）
师：同学们，生活中有很多有趣的曲线现象，比如投篮时篮球的运动轨迹、喷泉喷出的水流、拱桥的轮廓，这些曲线都不是我们之前学过的直线，而是“抛物线”。大家思考一下，若要描述篮球的高度与运动时间的关系，用我们学过的一次函数y=kx+b能准确表示吗？（学生讨论）
生：不能，一次函数的图像是直线，而篮球的运动轨迹是弯曲的，它们的变化规律不一样。
师：非常正确。这类曲线现象需要用一种新的函数来描述，今天我们就来学习初中阶段最重要的函数之一——二次函数。（板书课题）
设计意图：通过生活中熟悉的抛物线现象，引发学生认知冲突，凸显一次函数的局限性，激发对新函数的探究需求。
二、实例抽象，构建概念（15分钟）
1. 列关系式，感知特征
师：我们先通过三个实例，列出变量之间的关系式，观察它们的共同特点。
实例1：正方形的边长为x，面积为y，写出y与x的关系式。（生：y=x ）
实例2：一个长方形的长是宽的2倍，宽为x，面积为y，求y与x的关系式。（生：长=2x，y=2x·x=2x ）
实例3：某商场将进价为20元的商品以x元出售，每件的利润为（x-20）元，若每天卖出（100-x）件，每天的总利润y与x的关系式是什么？（引导学生计算：y=(x-20)(100-x)= -x +120x-2000）
2. 归纳共性，定义二次函数
师：请大家观察这三个关系式：y=x 、y=2x 、y=-x +120x-2000，它们有什么共同特征？（小组讨论后发言）
生1：都含有两个变量x和y，x是自变量，y是因变量。
生2：自变量x的最高次数都是2。
生3：等号右边都是整式，没有分式或根号。
师：大家总结得很全面。我们把形如y=ax +bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。这里要特别注意“a≠0”这个条件，若a=0，函数就变成y=bx+c，是一次函数了。
即时判断：下列函数是二次函数吗？（1）y=3x-1；（2）y=2x +3x；（3）y=1/x ；（4）y=√x +1。（生：（2）是，其余不是，理由：（1）是一次函数，（3）不是整式，（4）自变量在根号内）
三、探究顶点式，突破性质核心（25分钟）
1. 最简二次函数y=ax 的图像与性质
师：二次函数的性质可以通过图像直观体现。我们先研究最简单的二次函数y=x 和y=-x ，大家用描点法画出它们的图像。（学生列表、描点、连线，教师巡视指导）
师：观察y=x 的图像，它是什么形状？（生：抛物线，开口向上）顶点在哪里？（生：（0,0），是图像的最低点）当x增大时，y的变化规律是什么？（生：x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小）
师：再看y=-x 的图像，与y=x 有什么不同？（生：开口向下，顶点（0,0）是最高点，x>0时y随x增大而减小，x<0时y随x增大而增大）
总结：y=ax 的图像是抛物线，顶点在原点；a>0时开口向上，有最低点；a<0时开口向下，有最高点；a的绝对值越大，开口越窄。
2. 一般顶点式y=a(x-h) +k的性质
师：若将y=x 的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数关系式是什么？（引导学生猜想：y=(x-2) +3）我们通过描点法验证，它的顶点坐标是（2,3），开口方向不变。
师：由此归纳y=a(x-h) +k的性质：（1）顶点坐标为（h,k），这是抛物线的“核心点”；（2）开口方向由a决定，a>0向上，a<0向下；（3）对称轴是直线x=h，垂直于x轴且过顶点。
例题：已知二次函数y=2(x-1) +4，说出它的顶点坐标、开口方向、对称轴，并判断当x为何值时y有最值。（生：顶点（1,4），开口向上，对称轴x=1，x=1时y有最小值4）
3. 一般式转化为顶点式：配方法
师：对于一般式y=ax +bx+c，我们可以通过配方法转化为顶点式，从而快速确定性质。以y=x -4x+5为例，大家尝试配方。（学生动手，教师板书：y=x -4x+4+1=(x-2) +1）
师：配方的关键是“先提二次项系数，再补常数项”。比如y=2x -12x+13，第一步提系数：y=2(x -6x)+13；第二步补常数项：x -6x=(x-3) -9，所以y=2[(x-3) -9]+13=2(x-3) -5，顶点坐标（3,-5）。
四、综合应用，衔接生活（20分钟）
1. 最值问题：二次函数的核心应用
例1：某农场要建一个矩形养鸡场，一边靠围墙（围墙长20米），另三边用篱笆围成，篱笆总长30米。怎样围才能使养鸡场面积最大？最大面积是多少？
师：先设垂直于围墙的边长为x米，则平行于围墙的边长为（30-2x）米，面积y=x(30-2x)=-2x +30x。注意自变量取值范围：30-2x≤20且x>0，即5≤x<15。
师：通过配方得y=-2(x-7.5) +112.5，顶点（7.5,112.5）在自变量范围内，所以x=7.5时，面积最大为112.5平方米，此时平行于围墙的边长为15米（≤20米，符合条件）。
2. 图像信息题：从图形中提取性质
例2：如图，二次函数y=ax +bx+c的图像过点（-1,0）、（3,0）和（0,3），求函数关系式并说出顶点坐标。（引导学生用交点式：y=a(x+1)(x-3)，代入（0,3）得3=a(0+1)(0-3)，a=-1，所以y=-(x+1)(x-3)=-x +2x+3，配方得y=-(x-1) +4，顶点（1,4））
五、易错点警示与方法总结（10分钟）
1. 常见易错点
（1）忽略二次函数定义中“a≠0”的条件，如误将y=0x +2x+1当作二次函数；（2）配方时漏乘二次项系数，如将y=2x -4x+1配成y=2(x-1) +1，忘记减2；（3）求最值时忽略自变量取值范围，如例1中若忽略围墙长度限制，会导致结果错误；（4）混淆“对称轴是直线x=h”，表述时漏写“直线”二字。
2. 核心方法总结
（1）判定二次函数：抓“整式、自变量最高次2、a≠0”三个要素；（2）研究性质：优先将一般式化为顶点式，锁定顶点、开口、对称轴；（3）解决最值问题：先列函数关系式，再确定自变量范围，最后结合顶点位置求最值。
六、课堂练习，强化技能（15分钟）
1. 填空题：（1）二次函数y=-3x +2x-5中，a=____，b=____，c=____，开口向____；（2）函数y=2(x+3) -1的顶点坐标是____，对称轴是____；（3）将y=x -6x+8配方得____，顶点在第____象限。（答案：（1）-3,2,-5,下；（2）(-3,-1),直线x=-3；（3）y=(x-3) -1,四）
2. 解答题：某商店销售一种进价为10元的文具，售价为x元时，每天可卖（100-5x）件，求售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（提示：y=(x-10)(100-5x)=-5x +150x-1000=-5(x-15) +125，售价15元时最大利润125元）
七、课堂小结，梳理知识（3分钟）
师：今天我们学习了二次函数的核心内容，大家回顾一下重点。
生1：二次函数的定义是y=ax +bx+c（a≠0），图像是抛物线，性质由a、h、k决定。
生2：会用配方法将一般式转化为顶点式，找到顶点和对称轴，这是求最值的关键。
生3：能解决生活中的最值问题，先列关系式，再结合自变量范围求结果。
师：很好。二次函数的核心是“数形结合”，图像直观体现性质，性质指导实际应用，掌握顶点式和配方法，就能轻松应对各类问题。
八、布置作业，延伸学习（2分钟）
1. 课本习题26.1第4、7、10题，重点练习配方和最值问题；
2. 实践任务：观察生活中一个抛物线实例（如拱桥、投篮轨迹），测量必要数据，尝试建立二次函数关系式，描述其变化规律。
师：今天的课就上到这里，下课！
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你能发现什么？能作出怎样的猜想？
对于一边 AB 的长的每一个确定值（0 < AB < 10)，矩形的面积有唯一确定的值与它对应。
面积是一边 AB 的长的函数。
当AB = x m 时，面积 y 等于多少？写出它们之间的关系式。
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y = x ( 20-2x) ( 0 < x < 10 )
即 y = -2x2+20x ( 0 < x < 10 )
问题2
某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100 件. 该店想通过降低售价﹑增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件. 将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
销售利润 = （售价 - 进价）×销售量
设每件商品降价 x 元，销售该商品每天的利润为 y 元。
分析
（1）售价降低 x 元，每件利润为_____________元.
（10 - x - 8）
（2）售价降低 x 元时，共卖_____________件.
（100 +100x ）
（3）x 的取值范围是____________.
0 ≤ x ≤ 2
问题2
某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100 件. 该店想通过降低售价﹑增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件. 将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
利润 y 与 x 之间有怎样的关系？
y = (10–x - 8)(100 + 100x)
(0 ≤ x ≤ 2)
即 y = -100x2 + 100x + 200
(0 ≤ x ≤ 2)
探 索
观察所得的两个函数关系式，它们有什么共同特点？
y = -2x2 + 20x ( 0 < x < 10 )
y = -100x2 + 100x + 200
(0 ≤ x ≤ 2)
形如 y = ax2 + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数叫做 x 的二次函数。
a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项得系数，c 叫做常数项。
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C
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2. 下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，0的是(　　)
A. y＝(x－2)(x＋1)　
B. y＝(x－1)2－2x2－1　
C. y＝(x＋2)(x－3)＋6　
D. y＝(2x－1)2－3(x2－x)
C
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3. [2025淮南期中]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为(　　)
A. y＝9(1＋x)3　 B. y＝9＋9x＋x2
C. y＝9＋9(1＋x)＋9(1＋x)2　 D. y＝9(1＋x)2
C
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4. 关于x的二次函数y＝(m2－2m－3)xm2－7－2x＋1中m的值是(　　)
A. ±3 B. 3 C. －3 D. 1
C
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5. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0，则b＝______，c＝______，故该二次函数的表达式为______________. 当x＝－2时，二次函数y的值为________.
－2
－3
y＝x2－2x－3
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7. 如图，有长为28 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为16 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，并留有两个1 m的小门. 设花圃的一边AB为x m，面积为S m2.
(1)求S与x的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)要围成面积为63 m2的花圃，求出AB的长是多少米.
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(2)要围成面积为63 m2的花圃，求出AB的长是多少米.
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8. [2025福州期末]下列每组变量之间的关系为二次函数关系的是(　　)
A. 正方形周长y与边长x的关系　
B. 菱形面积S一定，两条对角线的长a与b的关系
C. 速度v一定时，路程s与时间t的关系　
D. 等边三角形的面积S与边长x的关系
D
9. 若函数y＝xk2－2k－1是关于x的二次函数，则一次函数y＝kx的图象可能是(　　)
【点拨】一次函数y＝kx的图象是过原点的直线，故首先排除C；∵y＝xk2－2k－1是关于x的二次函数，∴k2－2k－1＝2，解得k1＝3，k2＝－1. 当k＝3时，一次函数y＝kx的图象经过第一、三象限，且图象靠近y轴，选项B中图象相符；当k＝－1时，一次函数y＝kx的图象经过第二、四象限，且为第二、四象限的角平分线，无相符图象. 故选B.
【答案】B
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A
11. 把大小相同的小正方体木块进行摆放. 图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是由这样的小正方体木块叠放而成的图形，按照这样的规律继续叠放下去，则第n(n为正整数)个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的表达式是____________.
m＝2n2－n
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
形如 y = ax2 + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数叫做 x 的二次函数。
a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项得系数，c 叫做常数项。
谢谢观看！