26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质
探究1
二次函数 y = ax2 的图象
先画二次函数 y = x2 的图象
1.列表
在 y = x2 中，自变量 x 可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
26.2.1 二次函数y＝ax 的图象与性质
一、温故知新，导入新课（5分钟）
师：上节课我们认识了二次函数的定义，谁能说说什么样的函数是二次函数？（学生回答：形如y=ax +bx+c，a、b、c是常数且a≠0的函数）
师：非常好。当b=0、c=0时，二次函数就简化为y=ax （a≠0），这是最简单的二次函数形式。它的图象是什么样的？又有哪些特殊性质呢？今天我们就通过动手实验和探究来解决这些问题。（板书课题）
设计意图：从二次函数一般式过渡到最简形式，明确本节课的研究对象，通过设问激发学生的探究欲望，衔接新旧知识。
二、动手操作，探究y=x 的图象与性质（20分钟）
1. 描点法绘制y=x 的图象
师：我们用描点法画函数图象，步骤是“列表—描点—连线”。首先确定自变量x的取值，考虑到对称性，x可以取-3、-2、-1、0、1、2、3，大家计算对应的y值并填写表格。（出示表格，学生计算）
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x
9
4
1
0
1
4
9
师：请大家在平面直角坐标系中描出这些点，注意点的位置要准确。描完后观察这些点的分布规律，用平滑的曲线将它们连接起来。（学生操作，教师巡视指导，强调“平滑曲线”而非折线）
2. 观察图象，总结y=x 的性质
师：大家绘制的图象是什么形状？（生：像一个“U”形）我们把这种由二次函数图象形成的“U”形曲线叫做抛物线，y=x 的图象是抛物线y=ax 的基础形态，也叫抛物线y=x 。
师：结合图象思考以下问题，小组讨论后发言：（1）抛物线y=x 的顶点在哪里？这个点是图象的最高点还是最低点？（2）图象关于哪条直线对称？（3）当x的取值变化时，y的值有什么变化规律？
生1：顶点在（0,0），是图象的最低点，因为这里的y值最小，为0。
生2：图象关于y轴（直线x=0）对称，比如x=1和x=-1对应的y值都是1，两点关于y轴对称。
生3：当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小。
师：大家总结得非常准确。我们把抛物线的顶点、对称轴和增减性称为它的核心性质，y=x 的这些性质是研究更复杂二次函数的基础。
三、对比探究，分析a的取值对图象的影响（25分钟）
1. 绘制y=2x 和y=1/2x 的图象
师：当a的取值改变时，抛物线y=ax 会发生什么变化？我们以a=2和a=1/2为例，大家参照绘制y=x 的方法，列表计算x=-2、-1、0、1、2对应的y值，然后描点连线，画出这两个函数的图象。（学生操作，教师展示规范图象）
师：将y=2x 、y=1/2x 与y=x 的图象放在同一坐标系中，观察它们的共同点和不同点。
2. 探究a>0时的共性与差异
师：先看共同点。这三条抛物线的顶点、对称轴和开口方向有什么相同之处？（生：顶点都在（0,0），都关于y轴对称，开口都向上）
师：再看不同点。它们的开口宽窄不一样，y=2x 的开口最窄，y=1/2x 的开口最宽，y=x 介于两者之间。这说明什么？
生：a的绝对值越大，抛物线的开口越窄。
师：非常正确。当a>0时，抛物线y=ax 的开口都向上，顶点是最低点，增减性与y=x 一致，区别仅在于开口宽窄，由a的绝对值决定。
3. 探究a<0时的图象与性质
师：如果a是负数，比如a=-1、a=-2，抛物线y=ax 的图象会有什么变化？大家大胆猜想一下。（生：开口方向可能向下）
师：我们以y=-x 为例验证猜想。大家快速计算x=-2、-1、0、1、2对应的y值，描点连线后观察图象特征。（学生操作，教师引导）
师：y=-x 的图象与y=x 有什么关系？（生：关于x轴对称，开口向下，顶点还是（0,0），但变成了最高点）
师：那它的增减性呢？（生：x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大）
师：若a=-2，抛物线y=-2x 的开口宽窄与y=-x 相比，会有什么变化？（生：a的绝对值更大，开口更窄）
3. 总结y=ax 的性质
师：结合以上探究，我们完整总结二次函数y=ax （a≠0）的性质，大家填空：（1）图象是______，顶点坐标为______，对称轴为______；（2）当a>0时，开口______，顶点是______，x>0时y随x增大而______，x<0时y随x增大而______；（3）当a<0时，开口______，顶点是______，x>0时y随x增大而______，x<0时y随x增大而______；（4）a的绝对值越大，抛物线开口越______。（学生集体回答，教师板书）
四、综合应用，巩固性质（20分钟）
1. 基础题型：根据性质判断图象与解析式
例1：下列抛物线中，开口向上且开口最窄的是（ ）A. y=3x B. y=2x C. y=1/2x D. y=-4x
师：先排除开口向下的选项，D选项a=-4<0，排除；剩余选项a都大于0，开口向上，其中a的绝对值最大的是A选项的3，所以开口最窄的是A。（学生呼应）
2. 中档题型：利用性质求最值与取值范围
例2：已知二次函数y=-2x ，求：（1）当x=3时，y的值；（2）当x为何值时，y有最值？最值是多少；（3）当-2≤x≤1时，y的取值范围。
师：大家结合y=-2x 的性质来解题。（1）直接代入计算，y=-2×3 =-18；（2）a=-2<0，顶点是最高点，x=0时y有最大值0；（3）先找区间内的顶点值和端点值，x=0时y=0，x=-2时y=-8，x=1时y=-2，所以y的取值范围是-8≤y≤0。
3. 实际应用：结合生活场景的最值问题
例3：一个小球从高处竖直向上抛出，它的高度y（米）与运动时间x（秒）的函数关系式为y=-5x +20x，忽略空气阻力，小球上升的最大高度是多少？（提示：先简化函数，y=-5x +20x=-5(x -4x)=-5(x-2) +20，这里虽然不是y=ax ，但顶点依然是最值点，最大高度为20米）
师：这个例子说明，y=ax 的性质是解决复杂二次函数问题的基础，掌握顶点与最值的关系非常重要。
五、易错点警示与方法总结（10分钟）
1. 常见易错点
师：大家在理解和应用性质时，容易出现这些错误：（1）混淆抛物线的对称轴表述，比如将y=ax 的对称轴说成“y轴”是对的，但说成“x=0”时漏写“直线”二字，规范表述应为“直线x=0”；（2）增减性判断错误，忽略x的取值范围，比如误说“y=ax （a>0）的y随x增大而增大”，忘记限定“x>0”；（3）a的符号与开口方向对应错误，把a<0说成开口向上。
2. 核心方法总结
师：研究二次函数y=ax 的关键方法是“数形结合”：（1）通过描点法画出图象，从图象中直观提取顶点、对称轴等性质；（2）通过对比不同a值的图象，归纳a的符号和绝对值对图象的影响；（3）解决问题时，先根据a的符号确定开口方向和最值类型，再结合对称轴分析增减性。
六、课堂练习，强化技能（15分钟）
1. 填空题：（1）抛物线y=-3x 的顶点坐标是______，对称轴是______，开口向______；（2）当a______时，抛物线y=ax 的开口向下，顶点是图象的______点；（3）若抛物线y=ax 与y=2x 的开口宽窄相同、方向相反，则a=______。（答案：（1）(0,0)，直线x=0，下；（2）<0，最高；（3）-2）
2. 解答题：已知二次函数y=1/3x ，求：（1）当x=-3时的函数值；（2）当y=3时x的值；（3）当x>0时，y随x的变化规律。（答案：（1）3；（2）±3；（3）y随x的增大而增大）
七、课堂小结，梳理知识（3分钟）
师：今天我们重点学习了二次函数y=ax 的图象与性质，大家回顾一下核心内容。
生1：图象是抛物线，顶点在（0,0），对称轴是y轴，a的符号决定开口方向，绝对值决定开口宽窄。
生2：a>0时开口向上，有最低点；a<0时开口向下，有最高点，增减性随x的取值范围变化。
师：很好。y=ax 是二次函数的“基础模型”，它的性质是后续学习y=a(x-h) +k和y=ax +bx+c的关键，大家要牢牢掌握“数形结合”的方法，从图象中找性质，用性质解决问题。
八、布置作业，延伸学习（2分钟）
1. 课本习题26.2第1、2、3题，巩固图象绘制和性质应用；
2. 实践任务：在同一坐标系中画出y=3x 和y=-3x 的图象，对比它们的对称性，写出你的发现并与同学交流。
师：今天的课就上到这里，下课！
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2.描点
根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描出对应的点.
3
6
9
y
O
-3
3
x
y = x2
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
y = x2
观察：二次函数 y = x2 的图象像什么？
这样的曲线通常叫做抛物线.
它是轴对称图形，y轴是它的对称轴.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
探究2
二次函数 y = ax2 的性质
（1）在同一个平面直角坐标系中，画出函数 y = x2 与 y = -x2 的图象，观察并比较这两个函数的图象，它们有什么共同点？又有什么区别？
y = x2
y = -x2
共同点:
区别：
顶点坐标（0,0）
对称轴是 y 轴
y = x2开口向上，y = -x2 开口向下
（2）在同一个平面直角坐标系中，画出函数 y =2x2与 y = -2x2 的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
y =2x2
y = -2x2
共同点:
区别：
顶点坐标（0,0）
对称轴是 y 轴
y = 2x2开口向上，y = -2x2 开口向下
（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
y =2x2
y = -2x2
y = x2
y = -x2
1.函数 y = ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于 y 轴对称，顶点坐标是（0,0）.
2.a>0时，抛物线y=ax2的开口_____，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口_____.
向上
越小
3.a<0时，抛物线 y=ax2的开口_____，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口_____.
向下
越大
返回
C
返回
2. 若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点(　　)
A. (2，4)　 B. (－2，－4)　 C. (－4，2)　 D. (4，－2)
A
返回
3. 如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
C
返回
4. 二次函数y＝x2的图象上有三个动点(m，y1)，(m＋1，y2)，(m＋2，y3)，下列说法错误的是(　　)
A. 若y10
B. 若y1＝y3，则y2＝0
D. 无论m取何值，都有y3－y2>y2－y1
A
返回
5. 如果抛物线y＝(2a－1)x2的开口向下，那么实数a的值可能是__________________.
－2(答案不唯一)
返回
6. 已知函数y＝(m＋2)·xm2＋m－4是关于x的二次函数，当m＝________时，该二次函数有最小值，最小值为________；当m＝________时，在其图象的对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.
2
0
－3
7. 如图所示，三个二次函数的图象分别对应的是①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是____________.
a1＞a2＞a3
【点方法】抛物线的开口方向决定了a的正负，抛物线的开口大小决定了a的绝对值的大小，即开口越大，|a|越小，开口越小，|a|越大. )
返回
8. 如图所示，直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，△AOP的面积为 .
(1)求点P的坐标；
(2)二次函数的表达式为__________.
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9. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
D
【点拨】由一次函数y＝ax＋a可知，一次函数的图象与x轴交于点(－1，0)，排除A；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限，排除B；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限，排除C.
【答案】D
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10. 如图，正方形的四个顶点坐标依次为(1，－1)，(3，－1)，(3，－3)，(1，－3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是(　　)
B
【答案】A
返回
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
1.函数 y = ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于 y 轴
对称，顶点坐标是（0,0）.
2.a>0时，抛物线y=ax2的开口_____，顶点是抛物线的最低
点，a越大，抛物线的开口_____.
向上
越小
3.a<0时，抛物线 y=ax2的开口_____，顶点是抛物线的最高
点，a越大，抛物线的开口_____.
向下
越大
谢谢观看！