(共20张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章 二次函数
26.3.1建立二次函数模型解决实际问题
问题1
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水. 柱子在水面以上部分的高度为1.25 m. 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示.
(1)
建立二次函数模型解决实际问题 教学过程
幻灯片1:情境激趣,引入课题(5分钟)
生活实例展示:播放两段短视频——①农民伯伯调整蔬菜种植密度,使产量最大化;②工程师设计抛物线形拱桥,确保车辆通行安全。
师问1:这些场景中,产量随种植密度的变化、拱桥高度随水平距离的变化,都呈现出怎样的规律?(学生结合已有知识,猜测是二次函数关系)
师问2:当实际问题中的变量关系符合二次函数特征时,我们如何通过建立函数模型来解决“最大产量”“最优设计”这类问题呢?今天我们就来学习建立二次函数模型解决实际问题的方法。
设计意图:用贴近生活的实例激发学生兴趣,让学生感知二次函数模型的实用价值,自然引出本节课核心任务。
幻灯片2:梳理流程,明确建模步骤(10分钟)
回顾旧知:二次函数的顶点式y=a(x-h) +k(a≠0),当a>0时,顶点为最低点,y有最小值;当a<0时,顶点为最高点,y有最大值,这是解决实际问题中“最值”问题的关键。
建模核心流程:师生共同梳理,板书建立二次函数模型的一般步骤:
1. 审:审题,明确问题中的已知量、未知量,找出变量之间的关系;
2. 设:设自变量,用字母表示关键变量(通常设问题中“变化的量”为x,“所求的量”为y);
3. 列:根据题意,列出变量之间的函数关系式(注意自变量的取值范围);
4. 解:将函数关系式化为顶点式或利用公式,结合自变量范围求出最值或所需结果;
5. 答:检验结果的合理性,写出符合实际意义的答案。
强调重点:“列关系式”是核心,“定范围”是关键,“验结果”是保障,三者缺一不可。
幻灯片3:探究一:利润最值问题(15分钟)
例题1:某网店销售一种成本为40元/件的T恤,当售价为50元/件时,每月可售出500件。经市场调查发现,售价每上涨1元,月销量就减少10件。设售价为x元/件(x≥50),月利润为y元,如何定价才能使月利润最大?最大月利润是多少?
分步引导:
1. 审题分析:利润=(售价-成本)×销量,售价x是自变量,利润y是因变量,销量随售价变化而变化;
2. 设变量:设售价为x元/件,月利润为y元;
3. 列关系式:销量=500-10(x-50)=1000-10x,利润y=(x-40)(1000-10x)=-10x +1400x-40000;自变量范围:x≥50,且销量1000-10x≥0→x≤100,故50≤x≤100;
4. 求最值:将关系式化为顶点式y=-10(x-70) +9000,a=-10<0,顶点(70,9000)在自变量范围内;
5. 写答案:售价定为70元/件时,月利润最大,最大月利润为9000元。
易错提醒:销量的表达式容易漏算“基础销量与上涨幅度的关系”,需明确“售价每涨1元,销量减10件”,故上涨(x-50)元时,销量减10(x-50)件。
即时练习:若售价每下降1元,月销量增加10件,其他条件不变,求最大利润,学生独立完成后教师点评。
幻灯片4:探究二:面积最值问题(15分钟)
例题2:某农户有一块长20米、宽10米的矩形空地,计划在空地中修两条宽度相同的互相垂直的小路,剩余部分种植蔬菜,使种植面积为168平方米。求小路的宽度是多少米?若不考虑种植面积限制,小路宽度为多少时,种植面积最小?
分步引导:
1. 审题分析:矩形面积=长×宽,小路宽度是自变量,种植面积是因变量,可通过“平移法”简化剩余面积计算;
2. 设变量:设小路宽度为x米,种植面积为y平方米;
3. 列关系式:平移后种植区域为长(20-x)米、宽(10-x)米的矩形,故y=(20-x)(10-x)=x -30x+200;自变量范围:x>0,且20-x>0、10-x>0→0<x<10;
4. 解决问题:①求种植面积为168时的x:x -30x+200=168→x -30x+32=0→x=2或x=28(舍去),故小路宽2米;②求最小种植面积:a=1>0,顶点(15,25),但x=15超出0<x<10范围,结合增减性,x<15时y随x增大而减小,故x=10时y最小为0(实际意义为小路占满空地);
5. 写答案:小路宽度为2米时种植面积168平方米;在0<x<10范围内,x越大种植面积越小,无实际意义上的最小种植面积(除x=10时)。
方法技巧:涉及矩形内修等宽小路的问题,用“平移法”将分散的种植区域整合为一个新矩形,可简化面积计算。
幻灯片5:探究三:运动轨迹问题(10分钟)
例题3:一个小球从地面竖直向上抛出,它的高度h(米)与运动时间t(秒)的函数关系式为h=-5t +20t,求小球经过多少秒到达最高点?最高点的高度是多少?小球从抛出到落地共用多少秒?
分步解答:
1. 审:高度h随时间t变化,二次函数a=-5<0,图象开口向下,顶点为最高点;
2. 解:顶点横坐标t=-b/(2a)=-20/(2×(-5))=2,顶点纵坐标h=-5×2 +20×2=20,故t=2秒时到达最高点,高度20米;
3. 求落地时间:落地时h=0,解方程-5t +20t=0→t=0(抛出时)或t=4,故共用4秒。
实际意义解读:t=0对应抛出瞬间,h=0对应地面位置,顶点对应运动最高点,体现了二次函数与物理运动的紧密联系。
幻灯片6:总结方法,布置作业(5分钟)
课堂总结:
1. 常见二次函数实际问题类型:利润最值、面积最值、运动轨迹等,核心都是建立函数模型求最值或特定值;
2. 建模关键步骤:审清数量关系,正确设变量,列出关系式并确定自变量范围,结合函数性质求解,检验结果合理性;
3. 常用技巧:利润问题抓“利润公式”,面积问题用“平移法”,运动问题析“实际意义”。
作业布置:
1. 基础题:某商品进价50元,售价60元时销量100件,售价每涨2元销量减10件,求最大利润;
2. 提升题:用长30米的篱笆围一个矩形菜园,一面靠墙(墙长18米),求菜园的最大面积;
3. 拓展题:调查生活中一个可用二次函数解决的问题,记录数据并建立模型求解。
问题1
(2)
根据设计图纸已知:在图(2)所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是 .
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
就是求函数 最大值
问题1
(2)
根据设计图纸已知:在图(2)所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是 .
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
当x=1时,
∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 .
(2)
(2)如果不计其他因素,为使水不溅落在水池外,那么水池的半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
就是求当y=0时,x在正半轴的值。
(2)
(2)如果不计其他因素,为使水不溅落在水池外,那么水池的半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
解得 ,
(舍)
∴水池的半径至少为 2.5m 时,才能使喷出的水流都落在水池内.
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线,如图所示. 现测得当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m. 这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?
ED的长
D或E的坐标
抛物线的函数表达式
涵洞的横截面所成抛物线有什么特点?
顶点在原点
对称轴为y轴
开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线,如图所示. 现测得当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m. 这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?
ED的长
D或E的坐标
抛物线的函数表达式
可设抛物线表达式为 y=ax2(a<0)
顶点在原点
对称轴为y轴
开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线,如图所示. 现测得当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m. 这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?
解:设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y=ax2(a<0)
∵ AB=1.6m ,
∴
又由题可知OC=2.4 m,
∴点B的坐标是(0.8,-2.4)
代入y=ax2(a<0) ,得-2.4=a×0.82
∴
因此,函数关系式是
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线,如图所示. 现测得当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m. 这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?
由题可知OF=1.5m,
设 FD=x1m (x1>0),
则点D的坐标为(x1,-1.5),
代入 ,得
∴
(舍)
∴
所以涵洞宽ED是 ,超过1m.
返回
1. [2025烟台期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2. 那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是( )
A. 5 B. 10 C. 1 D. 2
D
2. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分,且在平面直角坐标系中关于y轴对称,如图所示,AB∥x轴,AB=4,最低点C,F在x轴上,CH⊥AB且CH=1,BD=2. 则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为( )
B
返回
3. 如图,在羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分(水平地面为x轴,单位:m),有下列结论:①出球点A离点O的距离是1 m;②羽毛球最高达到 ;③羽毛球横向飞出的最远距离是3 m. 其中,正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
返回
4. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一,也是一项广受欢迎的民俗体育运动. 某地计划进行一场划龙舟比赛,图①是比赛途中经过的一座拱桥,图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图,可看作抛物线的一部分,建立如图②所示的平面直角坐标系,桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位:m)与到点O的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0. 01(x-30)2+9.
返回
据调查,龙舟最高处距离水面2 m,为保障安全,通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为3 m. 若每条龙舟赛道宽度为9 m,则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计________条.
4
5. 某市民广场有一个直径为16 m的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计),各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合,水柱离中心3 m处达最高5 m,如图所示建立直角坐标系. 王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1. 8 m的他站立时必须在与水池中心O距离________m以内的地方.
7
返回
返回
6. 刀削面堪称天下一绝,传统的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅里. 如图,面刚被削离时与开水锅的高度差h=0. 45 m,与锅的水平距离L=0. 3 m,锅的半径R=0. 5 m. 若将削出的面的运动轨迹视为抛物线的一部分,要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计),则其水平初速度v0不可能为(提示:h= gt2,g=10 m/s2,水平移动距离s=vt)( )
A. 2. 5 m/s B. 3 m/s
C. 3. 5 m/s D. 5 m/s
D
谢谢观看!