26.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
y＝kx＋b
y＝0
kx＋b＝0
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0） ，它们之间是否也存在一定的关系呢？
26.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 教学过程
幻灯片1：复习旧知，引发关联（5分钟）
师问1：回顾二次函数y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象特征，当a＞0和a＜0时，抛物线的开口方向、最值情况分别是什么？（学生齐答：a＞0开口向上，有最小值；a＜0开口向下，有最大值）
师问2：一元二次方程ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的解有几种情况？由什么决定？（学生回答：三种情况，由判别式Δ＝b －4ac决定，Δ＞0两不等实根，Δ＝0两相等实根，Δ＜0无实根）
师问3：同样含有“ax ＋bx＋c”，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间是否存在内在联系？今天我们就从图象视角揭开它们的关联。
设计意图：分别激活三类知识的核心内容，以“共同表达式”为纽带制造认知关联，自然引出本节课探究主题。
幻灯片2：探究一：二次函数与一元二次方程的关系（15分钟）
任务1：画出二次函数y＝x －2x－3的图象，步骤如下：
1. 配方得y＝(x－1) －4，顶点(1,-4)，对称轴x＝1；
2. 找与x轴交点：令y＝0，解方程x －2x－3＝0，得x ＝-1，x ＝3，故交点为(-1,0)、(3,0)；
3. 描点连线，画出开口向上的抛物线。
小组讨论：结合图象思考，二次函数y＝ax ＋bx＋c与x轴的交点和一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的解有什么关系？
师生归纳：
1. 当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点(x ,0)、(x ,0)，方程有两个不等实根x＝x 、x＝x （如y＝x －2x－3，Δ＝4＋12＝16＞0，交点横坐标即方程的解）；
2. 当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个公共点（顶点），方程有两个相等实根x＝x ＝x ＝-b/(2a)（举例：y＝x －2x＋1，Δ＝0，交点(1,0)，方程解为x＝1）；
3. 当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，方程无实根（举例：y＝x －2x＋2，Δ＝4－8＝-4＜0，图象与x轴无交点）。
核心结论：二次函数y＝ax ＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的实数根，判别式Δ决定了交点个数与方程根的情况。
幻灯片3：探究二：二次函数与一元二次不等式的关系（15分钟）
延续探究：以y＝x －2x－3的图象为载体，思考一元二次不等式的解集与函数图象的关系：
问题1：当x取何值时，y＞0？（即x －2x－3＞0）
图象分析：y＞0表示抛物线在x轴上方的部分，观察图象可知，当x＜-1或x＞3时，抛物线在x轴上方，故不等式x －2x－3＞0的解集为x＜-1或x＞3。
问题2：当x取何值时，y＜0？（即x －2x－3＜0）
图象分析：y＜0表示抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值范围为-1＜x＜3，故不等式x －2x－3＜0的解集为-1＜x＜3。
变式探究：以y＝-x －2x＋3（a＜0，开口向下）为例，讨论不等式的解集：
1. 找与x轴交点：令y＝0，得x ＝-3，x ＝1；
2. y＞0（-x －2x＋3＞0）：抛物线在x轴上方部分，对应-3＜x＜1；
3. y＜0（-x －2x＋3＜0）：抛物线在x轴下方部分，对应x＜-3或x＞1。
分类总结：设一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的两根为x ＜x （Δ＞0）：
函数与不等式
a＞0（开口向上）
a＜0（开口向下）
y＞0（ax ＋bx＋c＞0）
x＜x 或x＞x
x ＜x＜x
y＜0（ax ＋bx＋c＜0）
x ＜x＜x
x＜x 或x＞x
特殊情况：当Δ＝0时，y≥0（a＞0）的解集为全体实数，y≤0（a＜0）的解集为全体实数；当Δ＜0时，a＞0则y＞0恒成立，a＜0则y＜0恒成立。
幻灯片4：典例解析，强化应用（15分钟）
例题1：已知二次函数y＝2x －4x－6，回答下列问题：
1. 求该函数图象与x轴的交点坐标；（令y＝0，解方程2x －4x－6＝0→x －2x－3＝0→x＝-1或3，交点(-1,0)、(3,0)）
2. 求一元二次方程2x －4x－6＝0的根；（根为x＝-1、x＝3，与交点横坐标一致）
3. 解不等式2x －4x－6＞0和2x －4x－6＜0；（a＝2＞0，x＜-1或x＞3；-1＜x＜3）
例题2：已知不等式x －mx＋6＜0的解集为2＜x＜3，求m的值及二次函数y＝x －mx＋6的顶点坐标。
解题思路：
1. 由不等式解集可知，方程x －mx＋6＝0的根为x ＝2、x ＝3；
2. 根据韦达定理，x ＋x ＝m→2＋3＝m→m＝5；
3. 二次函数为y＝x －5x＋6，顶点横坐标x＝5/2，纵坐标y＝(25/4)－(25/2)＋6＝-1/4，顶点(5/2, -1/4)。
即时练习：已知y＝-x ＋3x＋4，解不等式-x ＋3x＋4≥0，学生独立完成后教师点评，强调a＜0时的解集特点。
幻灯片5：总结关联，构建知识网络（5分钟）
核心关联图：师生共同梳理，用“图象”作为核心纽带：
1. 二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象→与x轴交点→一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的根（Δ决定交点个数与根的情况）；
2. 二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象→在x轴上/下方的部分→一元二次不等式ax ＋bx＋c＞0/＜0的解集（a的符号决定解集方向）。
解题技巧：“数形结合”是解决三者关系问题的关键，步骤为“画图象→找交点→定范围”。
幻灯片6：分层作业，巩固提升（5分钟）
作业布置：
1. 基础题：①已知y＝x －5x＋4，求与x轴交点坐标，解方程x －5x＋4＝0，解不等式x －5x＋4＞0；②若方程x －kx＋k－1＝0有两个相等实根，求二次函数y＝x －kx＋k－1的顶点坐标；
2. 提升题：已知二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象过(1,0)、(3,0)，且与y轴交于(0,3)，解不等式ax ＋bx＋c≤0；
3. 拓展题：结合本节课内容，分析当a＞0时，不等式ax ＋bx＋c≥0的解集情况（分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种）。
问题3
画出函数 y＝x2－x－ 的图象，
根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）当x取何值时，y=0？
这里x的取值与方程 x2－x－ ＝0有什么关系？
方程 x2－x－ ＝0的解就是函数y＝x2－x－ 与x轴交点的横坐标。
（3）你能从中得到什么启发？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
结论
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系。
结论
抛物线y=ax2+bx+c与x轴
ax2+bx+c = 0 的根
△= b2 – 4ac
有两个交点
有两个不同实根
△ > 0
有一个交点
有两个相同实根
△ = 0
没有交点
没有根
△ < 0
试一试
继续回答下列问题:
（1）当x取何值时，y<0？当x取何值时，y>0？
（2）试用含有x的不等式来描述问题（1）.
x2－x－ ＜0的解集为
x2－x－ ＞0的解集为 或
练 习
1. 画出函数y = x2－2x －1的图象，利用图象求方程x2－2x－ 1 = 0的根. （精确到0. 1）
【选自教材P28下侧 练习 第1题 】
（－0.41，0）
（2.41，0）
方程x2－2x－ 1 = 0的根为－0.41或2.41
练 习
2. 试画出适当的函数图象，利用图象解方程 x2＝ x+3.
x2－ x－3＝0
【选自教材P28下侧 练习 第2题 】
（－1.5，0）
（2，0）
x2＝ x＋3的解为－1.5或2
问题4
育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习中出现了争论：解方程x2＝ x＋3时，几乎所有学生都是将方程化为x2－ x－3 =0，画出函数y=x2－ x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根. 唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y= x +3的图象，如图，认为它们的交点A、B的横坐标－ 和2就是原方程的根.
运用小刘的方法求下列方程的根，并检验小刘的方法是否合理：
（1）x2＋x－1＝0（精确到0.1）
y＝x2＋x－1
（－1.6，0）
（0.6，0）
x2＝－x＋1
y＝x2
y＝－x＋1
（－1.6，0）
（0.6，0）
运用小刘的方法求下列方程的根，并检验小刘的方法是否合理：
（2）2x2－3x－2＝0
y＝2x2－3x－2
（－0.5，0）
（2，0）
2x2＝3x＋2
y＝2x2
y＝3x＋2
（－0.5，0）
（2，0）
方程组的解就是对应两个函数图象的交点
结论
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1. 若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(　　)
A. 直线x＝－4 B. 直线x＝4
C. 直线x＝1 D. 直线x＝－1
B
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，图象与x轴相交于点(1，0)，则方程cx2＋bx＋a＝0的根为(　　)
A. x1＝1，x2＝－3 B. x1＝－1，x2＝3
【点拨】∵抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，且对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解为x1＝1，x2＝－3.
【答案】C
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3. 下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值：
则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0. 1)的是(　　)
A. 3. 0　 B. 3. 1 C. 3. 2 D. 3. 3
C
x … 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 …
y … 0. 30 0. 05 －0. 18 －0. 39 …
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D
1或0或－1或2
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6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列各题：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的
实数根，直接写出k的取值范围.
【解】(1)由题图知该二次函数的图象与x轴的交点坐标
为(1，0)和(3，0)，顶点坐标为(2，－2)，
∴该二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2.
把(1，0)的坐标代入上式，得0＝a×(1－2)2－2，解得a＝2.
∴该二次函数的表达式为y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6.
(2)由函数图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为
x＜1或x＞3.
(3)k＞－2.
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7. [2025陕西]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　　)
A. 图象的开口向下
B. 当x>0时，y的值随x值的增大而增大
C. 函数的最小值小于－3
D. 当x＝2时，y<0
【答案】D
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8. 李同学在探究函数y＝－|－x2＋x＋5|的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程－|－x2＋x＋5|＝k有两个实数根时，常数k满足的条件是(　　)
D
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9. 现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1. 例如：{1}＝1－1＝0，{－0. 5}＝－0. 5＋1＝0. 5. 已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是(　　)
A. 4≤b＜5 B. 4＜b＜5
C. 4≤b≤5 D. b＞4
【点拨】由题知y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}＝－x2－3＋1＋3(|x|＋3－1)＝－x2＋3|x|＋4，其图象如图，易知与x轴负半轴的交点为(－4，0). 令x＝0，则y＝4，∴当直线y＝x＋b过点(0，4)时，与函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}的图象有3个交点，此时b＝4. 当x＞0时，y＝－x2＋3x＋4，
【答案】B
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令x＋b＝－x2＋3x＋4，即x2－2x－4＋b＝0，当直线y＝x＋b与抛物线y＝－x2＋3x＋4有1个公共点时，(－2)2－4(－4＋b)＝0，解得b＝5. 由图象可得当4谢谢观看！