27.1.2.1 圆心角、弧、弦间的关系-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共25张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第27章　圆
27.1.2.1 圆心角、弧、
弦间的关系
圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.
O
27.1.2.1 圆心角、弧、弦间的关系 教学过程
幻灯片1：温故引新，激发思考（5分钟）
旧知回顾：上节课我们认识了圆的基本元素，谁能说说什么是圆心角？什么是等圆、等弧？（学生回答：顶点在圆心的角是圆心角；能重合的圆是等圆，同圆或等圆中能重合的弧是等弧）
情境提问：展示一个圆形钟面，时针和分针形成的圆心角在变化时，钟面上时针和分针端点间的弦长、所对的弧长也在变化。猜想一下：在同一个圆中，圆心角的大小变化会对它所对的弧和弦产生什么影响？今天我们就深入探究圆心角、弧、弦之间的关系。
设计意图：以钟面为生活化载体，通过旧知衔接和问题猜想，建立“圆心角变化→弧和弦变化”的直观感知，激发探究欲望。
幻灯片2：动手实验，探究同圆中的关系（10分钟）
实验准备：每位同学准备一个自制圆形纸片（标注圆心O）、量角器、直尺，完成以下实验：
1. 在⊙O中，画出两个相等的圆心角∠AOB和∠COD，使点A、C在圆上，点B、D在圆上；
2. 用叠合法比较⌒AB和⌒CD的大小，用直尺测量弦AB和弦CD的长度；
3. 将∠AOB绕圆心O旋转，使OA与OC重合，观察OB是否与OD重合，⌒AB是否与⌒CD重合，AB是否与CD重合。
小组交流：实验中你发现了什么规律？当两个圆心角相等时，它们所对的弧、所对的弦有什么关系？
初步结论：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
反向探究：若在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，那么∠AOB与∠COD、AB与CD的关系是什么？（引导学生同理得出：同圆中，等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等）
幻灯片3：拓展验证，归纳核心性质（15分钟）
问题延伸：如果将“同一个圆”换成“等圆”，上述结论还成立吗？
合作验证：同桌两人一组，分别在半径为3cm的⊙O 和⊙O 中，画圆心角∠AOB＝∠C'O'D'＝60°，测量并比较⌒AB与⌒C'D'、弦AB与弦C'D'的大小，发现结论依然成立。
性质归纳：师生共同完善，得出圆心角、弧、弦的核心关系定理：
1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
2. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；
3. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
关键强调：“同圆或等圆”是定理成立的前提条件，若缺少这个条件，结论不一定成立。举例：半径为2cm的圆中60°圆心角所对的弦，与半径为3cm的圆中60°圆心角所对的弦长度不相等。
符号表示：在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则⌒AB＝⌒CD，AB＝CD；反之亦然。
幻灯片4：典例解析，掌握应用方法（15分钟）
例题1：如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒AC，∠BOC＝120°，求∠AOB和∠BAC的度数。
解题步骤：
1. 由⌒AB＝⌒AC，根据“等弧所对的圆心角相等”，得∠AOB＝∠AOC；
2. ∠AOB＋∠AOC＋∠BOC＝360°，∠BOC＝120°，故2∠AOB＝240°→∠AOB＝120°；
3. OA＝OB（半径相等），△AOB为等腰三角形，∠OAB＝(180°－120°)/2＝30°；同理∠OAC＝30°；
4. 故∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝60°。
例题2：如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，且AB＝CD，求证：⌒AD＝⌒BC。
证明过程：
1. 连接OA、OB、OC、OD；
2. ∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD（等弦所对的圆心角相等）；
3. ∠AOB＋∠BOD＝∠COD＋∠BOD，即∠AOD＝∠BOC；
4. ∴⌒AD＝⌒BC（等圆心角所对的弧相等）。
方法总结：解决此类问题时，常通过连接半径构造等腰三角形，利用“圆心角、弧、弦的关系”实现角、弧、弦之间的转化，关键是找准对应关系。
幻灯片5：变式练习，强化易错点（10分钟）
基础练习：在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，则它所对的弧⌒AB的度数是多少？若⌒AB的度数为80°，则它所对的圆心角和圆周角分别是多少？（提示：弧的度数等于所对圆心角的度数，答案：80°；80°，40°）
易错辨析：判断下列说法是否正确，说明理由：
1. 两个圆心角相等，它们所对的弧一定相等；（错误，缺少“同圆或等圆”前提）
2. 在同圆中，等弦所对的弧一定相等；（错误，需明确是优弧还是劣弧，等弦所对的优弧和劣弧分别相等）
3. 在等圆中，等弧所对的弦一定相等。（正确，符合定理条件）
提升练习：在⊙O中，AB是直径，⌒AC＝⌒CD＝⌒DB，求∠AOC、∠COD的度数及弦AC与CD的关系。（答案：60°，60°，AC＝CD）
幻灯片6：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心回顾：
1. 一个前提：“同圆或等圆”是圆心角、弧、弦关系定理成立的关键；
2. 三组关系：圆心角相等 弧相等 弦相等（双向等价，需注意弧的优劣）；
3. 一种思想：转化思想，利用定理实现角、弧、弦之间的相互转化。
作业布置：
1. 基础题：①教材习题，在⊙O中，∠AOB＝100°，求⌒AB的度数及所对弦AB的弦心距（圆心到弦的距离）与半径的关系；②已知⊙O 和⊙O 是等圆，∠AOB＝∠C'O'D'，求证：AB＝C'D'；
2. 提升题：在⊙O中，弦AB＝CD，且AB与CD相交于点E，求证：⌒AC＝⌒BD；
3. 拓展题：思考“圆心角、弧、弦的关系”在生活中有哪些应用，举例说明。
圆是一个中心对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.
O
1. 在同圆（或等圆）中，如果弧相等，那么所对的圆心角、所对的弦是否相等呢？
2. 在同圆（ 或等圆）中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧是否相等呢？
想一想：
新课探究
试一试
将右图中的扇形AOB（着色部分）绕点О逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？
O
A
B
O
A
B
B ′
A′
我的发现：
∠AOB = ∠A' OB'
AB=A'B'
=
O
A
B
由于圆心角∠AOB（或弧AB，或弦AB）确定了扇形AOB 的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等.
B ′
A′
O
A
B
同样,也可以得到:
在同一个圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.
在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.
B ′
A′
例1
A
B
O
C
D
1
2
如图，在⊙O中, = , ∠1=45 .求∠2的大小.
解
∵ =
∴ =
∴ － = －
∴ ∠2 = ∠1 = 45
中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等）.
（在同一个圆
观察这个圆，试试看，你可以将这个圆多少等分？
O
经过前面的学习，我们知道了:
圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
所以我们可以这样分：
O
O
O
还可以怎样分？
……
O
O
返回
1. 下列说法正确的有(　　)
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②圆心角相等，所对的弧也相等；
③圆心角相等，所对的弦也相等；
④长度相等的两条弦所对的弧是等弧；
⑤等弧所对的圆心角相等；
⑥圆的每一条直径都是它的对称轴.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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2. 如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、圆心角(小于180°)、劣弧分别具有相等关系的量(不包含AB＝CD)共有(　　)
A. 10组 B. 7组
C. 6组 D. 5组
A
【答案】B
【点拨】如图，连结OD，OC.
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB. ∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOD＋∠DOC＋∠C
OB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°.
∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA. 同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四边形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋AB＝5OA＝5×2＝10(cm)，故选B.
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【答案】B
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5. 如图，三圆同心于O，AB＝6 cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
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3
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圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线.
1
圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中的一组量相等,那么他们对应的其余各组量都分别相等.
2
3
4
谢谢观看！